《隨機過程》第4章離散部分習題及參考答案.doc

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湖南大學本科課程《隨機過程》第4章習題及參考答案 主講教師：何松華 教授 30．設X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證： ， 證：根據離散白噪聲性質， (對于求和區(qū)間內的每個m1,在m2的區(qū)間內存在唯一的m2=m1,使得) (求和變量置換) 31．均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯(lián)系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。 解：該級聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應為 參照題30的結果可以得到 32．設離散系統(tǒng)的單位脈沖響應為，輸入為自相關函數為的白噪聲，求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關函數和功率譜密度。 解：根據離散時間隨機過程通過離散時間線性系統(tǒng)理論，有 注：對比因果連續(xù)系統(tǒng)的輸出過程與輸入過程相關函數的關系 不妨設，則只有當m1m時，求和區(qū)間內存在脈沖點，因此 令：，則 令：，則 考慮到相關函數的偶函數特性，得到： 下面求功率譜密度函數，采用頻域法。 可以通過相關函數的傅立葉變換進行驗證。典型雙邊序列的離散時間傅立葉變換對： 33．序列X(n)和Y(n)滿足差分方程 其中a為整常數，試用X(n)的相關函數表示Y(n)的相關函數。 解： 當X(n)為平穩(wěn)隨機過程時，則Y(n)也為平穩(wěn)的，且有 34．實值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程 其中a1為常數，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開始，。 (1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當n足夠大時，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關函數的平穩(wěn)解。 證：(1) 采用Wold分解方法 顯然，若V(n)均值非零，則X(n)的均值函數不是一個常數，是非平穩(wěn)的。 (2) 若V(n)均值為零，則X(n)的均值為常數0，則 根據相互獨立隨機變量的和的方差等于方差之和的性質，得到 顯然，若輸入從n=0開始，則即使在V(n)均值為零的情況下，方差也不為常數，X(n)是非平穩(wěn)的，當|a1|<1且n足夠大時，漸近平穩(wěn)，。 (3) 不妨假設時刻差m0，則根據Wold分解得到 根據求和區(qū)間內的脈沖點的存在條件：，得到： 當n足夠大時，輸出過程是漸近平穩(wěn)的，自相關函數的平穩(wěn)解為： 35．考察如下的二階自回歸過程X(n) (1)若已知隨機過程的相關函數值、、，試寫出用于計算系數a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yule-Walker方程；(2)反過來，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、、的值；(3)求相關函數的通解。 解：(1)按題意為求平穩(wěn)解。根據回歸方程(離散時間因果系統(tǒng)的差分方程)可知：對于任意的n，只與V(n)以及V(n-m) (m>0)有關，即系統(tǒng)的輸出只與當前時刻以及過去時刻的輸入有關，則有： (、與V(n)無關) 換成另外一種寫法，根據得到 即： (1) 差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數學期望，并利用V(n)與X(n-1)的不相關性以及相關函數的偶函數特性得到： (2) 同理，差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數學期望 (3) (1)(2)(3)式聯(lián)立，即得到二階AR模型的Yule-Walker方程(三個方程可以求解三個未知數,a1,a2) (2)Yule-Walker方程可以寫成如下的等效形式 代入a1,a2, 的具體數值，得到 (3) 當m>2時，差分方程兩邊分別乘X(n-m)、取數學期望,可得： 上述差分方程的特征方程：，兩個根為(共軛復根，模為，相角為)，根據差分方程理論，則相關函數的通解為： 代入、，求得：，，于是 顯然RX(0)=1.2、RX(1)=0.8、RX(2)=0.2也滿足上式；考慮到相關函數的實、偶函數特性以及m<0的情況，得： 36．察如下的二階自回歸過程X(n) 零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據Wold分解求X(n)的自相關函數；(3)求Yule-Walker方程 解：(1)方程兩邊取離散時間傅立葉變換并利用其移位特性，得到 則系統(tǒng)的傳遞函數為： 根據離散時間隨機過程通過離散時間線性系統(tǒng)理論，有 (2) 同理，自回歸方程兩邊取Z變換，得到 其中，z1,z2為系統(tǒng)特征方程的根 ，，根據題意，，系統(tǒng)穩(wěn)定。 作部分分式分解以及級數展開，得到 兩邊取逆Z變換并根據z變換的移位性質，得到 不妨設m0，則根據單位脈沖函數的求和性質得到 考慮到相關函數的偶函數特性，得到： (1) 參照題35的方法得到： 37．考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關函數和功率譜密度。 解： 先考察m0的情況，則、，于是 考慮到相關函數的偶函數特性，得到 根據差分方程得到系統(tǒng)的傳遞函數為 根據隨機過程通過線性系統(tǒng)特性，得到 38、考察如下的ARMA模型 其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關函數。 解：方法1。顯然該系統(tǒng)的Z變換形式的傳遞函數為 根據離散時間隨機過程通過線性系統(tǒng)理論，輸出隨機過程Y(n)的相關函數的Z變換(Z變換形式的功率譜)為 作部分分式分解 根據恒等關系 得到、 取逆Z變換得到(第2項對應右邊序列，第3項對應左邊序列) 當m>0時，，考慮到相關函數的偶函數特性，得到： 方法2：當m>1時，則X(n-m)與V(n),V(n-1)無關，差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數學期望，得到 該差分方程的解為： 其中A1由初始條件確定，考慮到 根據逆Z變換關系及留數定理 (單位圓內只有1個極點z=0.9) ， 考慮到 (單位圓內有2個極點z=0.9,z=0) 綜合得到 方法3：系統(tǒng)的傳遞函數為 取逆Z變換得到系統(tǒng)的單位脈沖響應為 根據離散時間隨機過程通過線性系統(tǒng)理論 先考慮m0的情況，脈沖點的出現條件： 對于m>0，有 考慮到以及相關函數的偶函數特性，得到 方法4：根據推廣的Yule-Walker方程求解 根據V(n)的白色噪聲特性、系統(tǒng)的因果特性以及輸入輸出的聯(lián)合平穩(wěn)特性，得到： 差分方程兩邊分別同乘X(n)或X(n-1)，取數學期望并利用上述相關特性，得到一階情況下的推廣的Y-W方程為： 以上兩式聯(lián)立求得：、。 對于m>1，差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數學期望得到 根據遞推關系：， 考慮到，以及相關函數的偶函數特性，得到：。