4.4 解直角三角形的應(yīng)用 第2課時

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4.4 解直角三角形的應(yīng)用 第2課時 教學(xué)目標 【知識與能力】 1．了解測量中坡度、坡角的概念； 2．掌握坡度與坡角的關(guān)系，能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關(guān)實際問題． 【過程與方法】 通過對例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠利用所學(xué)知識解決實際問題． 【情感態(tài)度價值觀】 進一步培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力． 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長有關(guān)的實際問題． 【教學(xué)難點】 能利用解直角三角形的知識，解決與坡度、與弧長的有關(guān)實際問題． 課前準備 無 教學(xué)過程 一、情景導(dǎo)入，初步認知 如圖所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一個傾斜程度比較大？顯然，斜坡A1B1的傾斜程度比較大，說明∠A1＞∠A. 從圖形可以看出，＞，即tanA1＞tanA. 【教學(xué)說明】通過實際問題的引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣． 二、思考探究，獲取新知 1．坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系． 如上圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計圖，坡面的鉛垂高度與水平前進的距離的比叫作坡度(或坡比)，記作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上圖中的1∶2的形式．坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作α.從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是i＝tanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．如圖，一山坡的坡度為i＝1∶2，小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240米到達點C，這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米？(角度精確到0.01°，長度精確到0.1米) 3．如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東30°方向上，已知在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁．問這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？ 【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件分別代表的是什么，將圖形中的信息轉(zhuǎn)化為圖形中的已知條件，再分析圖形求出問題．學(xué)生獨立完成． 三、運用新知，深化理解 1．如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)． 分析：引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題畫出圖形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB. 在Rt△ABC中，cosA＝， ∴AB＝＝≈6.0(米)． 答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米． 2．同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ＝，＝ ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)． FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． 因為斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333， 所以α≈18°26′. ∵＝sinα， ∴AB＝＝≈72.7(m)． 答：斜坡AB的坡角α約為18°26′，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長約為72.7米． 3．龐亮和李強相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發(fā)，以24米/分鐘的速度攀登，同時，李強從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，已知小山北坡的坡度i＝1∶，山坡長為240米，南坡的坡角是45°.問李強以什么速度攀登才能和龐亮同時到達山頂A？(將山路AB、AC看成線段，結(jié)果保留根號) 解：過點A作AD⊥BC于點D， 在Rt△ADC中，由i＝1∶得tanC＝＝， ∴∠C＝30°.∴AD＝AC＝×240＝120(米)． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴AB＝AD＝120(米)． 120÷(240÷24)＝120÷10＝12(米/分鐘) 答：李強以12米/分鐘的速度攀登才能和龐亮同時到達山頂A. 4．某公園有一滑梯，橫截面如圖所示，AB表示樓梯，BC表示平臺，CD表示滑道．若點E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求： (1)∠D的度數(shù)；(2)線段AE的長． 解：(1)∵四邊形BCEF是矩形， ∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE， ∴∠BFA＝∠CED＝90°， ∵CE＝BF，BF＝3米， ∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°， ∴∠D＝30°. (2)∵sin∠BAF＝， ∴＝，∵BF＝3米，∴AB＝米， ∴AF＝＝米， ∴AE＝米． 5．日本福島發(fā)生核電站事故后，我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進行現(xiàn)場監(jiān)測與海水采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環(huán)境的影響及時開展分析評估．如圖，上午9時，海檢船位于A處，觀測到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5°方向，海檢船以21海里/時的速度向正北方向行駛，下午2時海檢船到達B處，這時觀察到城市P位于海檢船的南偏西36.9°方向，求此時海檢船所在B處與城市P的距離． (參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈) 分析：過點P作PC⊥AB，構(gòu)造直角三角形，設(shè)PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，從而求出x的值，再根據(jù)三角函數(shù)值求出BP的值即可解答． 解：過點P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC＝x海里． 在Rt△APC中，∵tanA＝， ∴AC＝＝ 在Rt△PCB中，∵tanB＝， ∴BC＝＝ ∵從上午9時到下午2時要經(jīng)過五個小時， ∴AC＋BC＝AB＝21×5， ∴＋＝21×5， 解得x＝60. ∵sin∠B＝， ∴PB＝＝＝60×＝100(海里) ∴海檢船所在B處與城市P的距離為100海里． 【教學(xué)說明】通過練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容． 四、師生互動、課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié)．教師作以補充． 課后作業(yè) 布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.1”中第1、6、7題． 教學(xué)反思 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識解決與坡度、坡角有關(guān)的實際問題，特別是與梯形有關(guān)的實際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決． 5