高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公開課同課異構(gòu)ppt課件

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§2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,第二章 數(shù)列,目標(biāo)定位,,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】,1．掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路； 2．經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn) 從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思； 3．熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系， 能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)．,【重、難點(diǎn)】,重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式. 難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得．,學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點(diǎn),2,知識(shí)鏈接,在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則am＋an＝___________ . 特別地，若m+n=2p，則am＋an＝______________.,ap＋aq,2ap,3,自主探究,（一）要點(diǎn)識(shí)記,1. 教材推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法是：_______________ 2. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是： （1）_____________________； （2）_____________________.,,倒序相加法,?? ?? =?? ?? ?? + ??(?????) ?? ??,?? ?? = ??( ?? ?? + ?? ?? ) ??,4,新知探究,等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),,等差數(shù)列 ?? ?? 的公差為??，前n項(xiàng)和為 ?? ?? . （1）當(dāng) ?? ?? 的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2???1 時(shí)， ① ?? 2???1 =(2???1) ?? ?? ； ② ?? 奇 ? ?? 偶 = ?? ?? ； ③ ?? 奇 ?? 偶 = ??+1 ?? .,（二）深層探究,5,自主探究,,（2）當(dāng) ?? ?? 的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2?? 時(shí)， ① ?? 2?? =?? ?? 1 + ?? 2?? =?? ?? 2 + ?? 2???1 =?=?? ?? ?? + ?? ??+1 ② ?? 偶 ? ?? 奇 =????； ③ ?? 偶 ?? 奇 = ?? ??+1 ?? ?? . （3） ?? ?? ， ?? 2?? ? ?? ?? ， ?? 3?? ? ?? 2?? 也成等差數(shù)列，且公差為 ?? 2 ??.,（二）深層探究,6,典例突破,,例1. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”的工程通知》．某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元．為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元．那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,7,典例突破,,【解析】依題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元. ∴ 建立一個(gè)等差數(shù)列{an}，表示從2001年起各年投入的資金， 其中，a1＝500，d＝50. 則到2010年(n＝10)，投入的資金總額為 ?? 10 =10×500+ 10(10?1) 2 ×50=7250 (元)． ∴ 從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7 250 萬(wàn)元．,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,8,典例突破,,【解題反思】如何建立等差數(shù)列模型？,答：建立等差數(shù)列的模型，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，特別關(guān)于年份的問(wèn)題，一定要找準(zhǔn)n的取值與年份的對(duì)應(yīng)．,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,典例突破,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,9,典例突破,,變式1. 一支車隊(duì)有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù). 第一輛車于下午2時(shí)出發(fā)，第二輛車于下午2時(shí)10分出發(fā)，第三輛車于下午2時(shí)20分出發(fā)，以此類推. 假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在下午6時(shí)停下來(lái)休息. (1) 到下午6時(shí)，最有一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？ 如果每輛車的形式速度都是60 km/h，這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共 行駛了多少km.,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,10,典例突破,,【解析】(1) 依題意，從第2輛車到最后一輛車，每輛車都比前一輛車少行駛 1 6 小時(shí). ∴ 建立等差數(shù)列{an}，用an表示第n輛車的行駛時(shí)間，則 ?? 1 =4，??=? 1 6 . ∴ ?? 15 = ?? 1 +14??=4+14× ? 1 6 = 5 3 (h)，即到下午6時(shí)， 最有一輛車行駛了 5 3 h.,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,11,典例突破,,(2) 記 ?? ?? 為到下午6時(shí)，所有車輛的形式時(shí)間，則 ?? 15 =?? 1 +?? 2 + ?? 3 +?+ ?? 15 = 15 4+ 5 3 2 = ( 85 2 h) 記 ?? 為到下午6時(shí)，所有車輛的行駛路程，則 ??=60 ?? ?? =60× 85 2 =2550（km） ∴ 這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了2550 km.,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,12,典例突破,例2. 設(shè)等差數(shù)列 ?? ?? 的公差為??，前n項(xiàng)和為 ?? ?? . （1）若 ?? 8 = 1 2 ?? 11 +6，則 ?? 9 =______.,,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,【解析】由 ?? 8 = 1 2 ?? 11 +6得 2?? 8 ? ?? 11 =12，即 ?? 5 =12 ∴ ?? 9 =9 ?? 5 =108,??????,13,變式2-1. 若 ?? ???1 + ?? ??+1 ? ?? ?? 2 =0， ?? 2???1 =38，則??=____.,,【解析】由 ?? ???1 + ?? ??+1 ? ?? ?? 2 =0得 2 ?? ?? ? ?? ?? 2 =0， 解得 ?? ?? =0（舍）或 ?? ?? =2. …………① ∴ ?? 2???1 = 2???1 ?? ?? =38…………② 由①②得??=10,????,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,典例突破,14,（2）若 ?? 11 ?? 10 ?1， ?? ?? 有最大值，則當(dāng) ?? ?? 取小正值時(shí)，??=（） A．10 B．11 C．19 D．20,,【解析】由“ ?? 11 ?? 10 0，??0得 ?? 19 0；由 ?? 11 0得 ?? 21 0； 由 ?? 10 +?? 11 0得 ?? 20 0. 故選C,C,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,典例突破,15,再設(shè)等差數(shù)列 ?? ?? 的前n項(xiàng)和為 ?? ?? . （3）若 S ?? T ?? = 5??+2 ??+3 ，則 ?? ?? ?? ?? =_______；,,【解析】 ?? ?? ?? ?? = (2n?1) ?? ?? (2n?1) ?? ?? = S 2???1 T 2???1 = 10???3 2??+2,變式2-3. 若 ?? ?? ?? ?? = 5??+2 ??+3 ，則 S 5 T 5 =_______；,【解析】 S 5 T 5 = 5?? 3 5?? 3 = ?? 3 ?? 3 = 5×3+2 3+3 = 17 6,????????? ????+??,???? ??,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,典例突破,16,（4）一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與 奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，則公差d =______.,,【解析】由條件 ?? 奇 + ?? 偶 =354 ?? 偶 ?? 奇 = 32 27 ，解得 ?? 偶 =192 ?? 奇 =162 ∴ 由 ?? 偶 ? ?? 奇 =6??得 ??=5,??,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,典例突破,17,,變式2-4. 已知 ?? ?? 是等差數(shù)列，且其前四項(xiàng)的和為21，后四項(xiàng) 的和為67，且所有項(xiàng)的和為286，則其項(xiàng)數(shù)為_____.,【解析】由題意 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 + ?? 4 + ?? ???3 + ?? ???2 + ?? ???1 + ?? ?? =21+67=88 ∴ ?? 1 + ?? ?? = 88 4 =22 ∴由 ?? ?? = ??( ?? 1 + ?? ?? ) 2 得 11??=286，解得??=26,????,（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用,典例突破,18,【解析】將 ?? 1 = 5 6 ，??=? 1 6 ， S ?? =?5代入 ?? ?? =?? ?? 1 + ??(???1) 2 ??， 得?5= 5 6 ??+ ?? ???1 2 ×(? 1 6 )，解得??=15. ∴ ?? ?? = 5 6 + 15?1 × ? 1 6 =? 3 2,例3. 已知等差數(shù)列{an}， ?? 1 = 5 6 ，??=? 1 6 ， S ?? =?5，求?? 及 ?? ?? .,（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和中基本量的確定,典例突破,19,答：在這5個(gè)基本量中，知其三能求其二．,（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和中基本量的確定,【解題反思】 在構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的5個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn中，至少要知道幾個(gè)才能求出其他的量？,典例突破,20,典例突破,變式3. 已知等差數(shù)列{an}，??= 1 3 ，??=37， ?? ?? =629， 求 ?? 1 及 ?? ?? .,【解析】將 ??= 1 3 ，??=37， ?? ?? =629代入 ?? ?? = ?? 1 + ???1 ??， ?? ?? = ??( ?? 1 + ?? ?? ) 2 ， 得 ?? ?? = ?? 1 +12 37( ?? 1 + ?? ?? ) 2 =629 ，解得 ?? 1 =11， ?? ?? =23.,（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和中基本量的確定,21,新知探究,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,問(wèn)題1. （1）等差數(shù)列{an}中，若 ?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =60，則 ?? 4 =_____； （2）等差數(shù)列{an}中，若 ?? 2 +?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =60，則 ?? 3 +?? 4 = ____； （3）等差數(shù)列{an}中，若 ?? 1 +?? 100 =101，你會(huì)求 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? 100 的值嗎？,,????,????,22,新知探究,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,【解析】 （1）∵ 3+5=2×4∴ ?? 3 + ?? 5 = ?? 4 ∴ ?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =3 ?? 4 =60∴ ?? 4 =20,,（2）∵ 2+5=3+4∴ ?? 2 + ?? 5 = ?? 3 + ?? 4 ∴ ?? 2 +?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =2 ?? 3 + ?? 4 =60∴ ?? 3 + ?? 4 =30,（3）∵ 1+100=2+99=3+98=?=50+51 ∴ ?? 1 +?? 2 + ?? 3 +?+ ?? 100 = ?? 1 + ?? 100 + ?? 2 + ?? 98 +?+ ?? 50 + ?? 51 =50×101=5050 .,23,新知探究,（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,（4）等差數(shù)列{an}中，若 ?? 1 +?? ?? =??，如何求 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 + ?+ ?+?? ?? 的值呢？,,【解析】 ∵ 1+??=2+(???1)=3+(???2)=? ∴ 2(?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? ?? ) = ?? 1 + ?? ?? + ?? 2 + ?? ???1 +?+ ?? ???1 + ?? 2 + ?? ?? + ?? 1 =?? ?? 1 + ?? ?? =???? ∴ ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? ?? = ???? 2,24,新知探究,【解題反思】 問(wèn)題1中的幾個(gè)問(wèn)題都是對(duì)等差數(shù)列“序號(hào)和相等，則項(xiàng)數(shù)和相等”這一性質(zhì)的應(yīng)用. 對(duì)稱是求解（1）（2）（3）的主題思想，這一思想常用來(lái)研究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)；求解（4）的方法稱為倒序相加法.,（一）等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式,25,