2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差

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2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值,一、復(fù)習(xí)回顧,1、離散型隨機(jī)變量的分布列,2、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：,(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．,1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2， 3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？,把環(huán)數(shù)看成隨機(jī)變量的概率分布列：,,,,,,權(quán)數(shù),,加權(quán)平均,二、互動(dòng)探索,一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：,則稱,為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。,設(shè)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？,思考：,···,···,···,···,···,···,···,···,···,···,,,一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值,數(shù)學(xué)期望,二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),題型一、期望的性質(zhì) 的應(yīng)用,例1、已知隨機(jī)變量X的分布列如下,(1)求m的值； (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y),練習(xí)、隨機(jī)變量ξ的分布列是,(1)則Eξ= .,2.4,(2)若η=2ξ+1，則Eη= .,5.8,題型二、均值（期望）的求法,例2、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為1/2與p，且乙投球2次均未命中的概率為1/16． （1）求乙投球的命中率； （2）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中得次數(shù) 為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,練習(xí)1、籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，,則,小結(jié)：,練習(xí)2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，他連續(xù)罰球3次； （1）求他得到的分?jǐn)?shù)X的分布列； （2）求X的期望。,一般地，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B（n,p），則,小結(jié)：,例3、一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4 個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。每題選對(duì)得5 分，不選或選錯(cuò)不得分，滿分100分。學(xué)生甲選對(duì)任意 一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選 項(xiàng)中隨機(jī)地選出一個(gè)，分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè) 驗(yàn)中的成績(jī)的均值。,題型三、二項(xiàng)分布的均值（期望）,練習(xí)2、一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .,例4、 決策問題： 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下種方案： 方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)2000元，但圍墻只能擋住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。 試比較哪一種方案好。,題型四、均值的應(yīng)用問題,例5.某商場(chǎng)的促銷決策： 統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國(guó)慶節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷活動(dòng)可獲利2萬元；商場(chǎng)外促銷活動(dòng)如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨則損失4萬元。9月30日氣象預(yù)報(bào)國(guó)慶節(jié)下雨的概率為40%，商場(chǎng)應(yīng)選擇哪種促銷方式？,（07全國(guó)）某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的分起付款期數(shù) 的分布列為：,商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元，分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元，分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元， 表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)。 （1）求事件A：”購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；,（2）求 的分布列及期望 。,2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差,一、復(fù)習(xí)回顧,1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平,三、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布為,則,四、如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B（n,p）， 則,,已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)x1、 x2的 分布列如下：,試比較兩名射手的射擊水平. 應(yīng)派哪一名選手參賽？,顯然兩名選手的水平是不同的,這里要進(jìn)一步去分析他們的成績(jī)的穩(wěn)定性.,二、問題探究:,某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？,,,,,權(quán)數(shù),反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量,一、離散型隨機(jī)變量取值的方差,一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：,為隨機(jī)變量X的方差,為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,題型一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,方差的性質(zhì)：,1.已知隨機(jī)變量x的分布列如右圖、則Ex與Dx的值為 (A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21,練習(xí)1、,117,二、兩個(gè)特殊分布的方差,1、如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，,2、如果變量隨機(jī)變量X～B（n,p），則,小結(jié)：,練習(xí)2、,1.已知X~B(100,0.5),則EX=___,DX=____,sX=___. E(2X-1)=____, D(2X-1)=____, s(2X-1)=_____,3、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1％，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其次品數(shù)為X，求EX和DX,4、 一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望與方差．,題型二、實(shí)際問題的期望、方差,例2．有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：,根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？,題型二、實(shí)際問題的期望、方差,練習(xí)、甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量X、Y,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中的環(huán)數(shù) 均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5， 3a,a,0.1,乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2. （1）求X、Y的分布列； （2）試比較兩名射手的射擊技術(shù),題型三、期望、方差、分布列的綜合運(yùn)用,例3、為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè) 為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望 ， 標(biāo)準(zhǔn)差 。 （1）求n,p的值并寫出 的分布列； （2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種 沙柳的概率,