2019-2020年高考數學一輪復習 抽象函數知識梳理2 蘇教版.doc

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2019-2020年高考數學一輪復習 抽象函數知識梳理2 蘇教版 考情說明： 函數的基本性質與函數的綜合運用是高考對函數內容考查的重中之重，其中函數單調性與奇偶性是高考命題的必考內容之一，有具體函數，還會涉及抽象函數掌握抽象函數單調性的判斷方法等等。要善于挖掘抽象函數定義內涵，研究抽象函數的一些性質。會利用單調性、奇偶性解抽象函數值域問題，解抽象不等式等。 知識點說明： 抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像，只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數，如函數的定義域，解析遞推式，特定點的函數值，特定的運算性質等，它是高中函數部分的難點，也是大學高等數學函數部分的一個銜接點，由于抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題既能考查函數的概念和性質，又能考查學生的思維能力，所以備受的青睞，那么，怎樣求解抽象函數問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數性質法，特殊化方法，聯想類比轉化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數問題， 歸納梳理： 1.抽象函數與它的代表函數 抽象函數滿足條件 代表函數 （） 或 或 或 經典講練： 【1.定義域：】解決抽象函數的定義域問題——明確定義、等價轉換。 例：若函數的定義域為，求函數的定義域。 解析：由的定義域為，知中的，從而，對函數而言，有，解之得：。 所以函數的定義域為. 總結：函數的定義域是指自變量的取值范圍，求抽象函數的定義域的關鍵是括號內式子的地位等同（即同一對應法則后括號內的式子具有相同的取值范圍），如本題中的與的范圍等同。 【2.值域：】解決抽象函數的值域問題——定義域、對應法則決定. 例：若函數的值域為，求函數的值域。 解析：函數中定義域與對應法則與函數的定義域與對應法則完全相同，故函數的值域也為. 總結：當函數的定義域與對應法則不變時，函數的值域也不會改變。 【3.周期性：】解決抽象函數的周期性問題——充分理解與運用相關的抽象式是關鍵。 例：設是定義在R上的奇函數，其圖象關于直線對稱。證明是周期函數。 證明：由的圖象關于直線對稱，得， 又是定義在R上的奇函數，所以 ，則 由周期函數的定義可知4是它的一個周期。 總結：一般地，,均可斷定函數的周期為2T。 【4.奇偶性：】解決抽象函數的奇偶性問題——緊扣定義、合理賦值。 例：已知是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的，都滿足：。判斷的奇偶性，并證明你的結論。 解析：令 ，則，得； 令 ，則，得； 令 ，得，得 因此函數為奇函數。 總結：賦值是解決多變量抽象函數的重要手段。 【5.單調性：】解決抽象函數的單調性問題——緊密結合定義、適當加以配湊。 例：設是定義在[-1，1]上的奇函數，且對于任意的，當時，都有：。若，試比較與的大小。 解析：， ，，又， ，即。 總結：本題實質上是證明函數的單調性，有時也用到（或）來判斷。抽象函數的單調性，一般不用導數判斷。 【6.可解性：】由抽象式求解析式問題——視為未知數，構造方程（組）。 例：設函數滿足……①，求。 解析：以代，得，………… ② 以代，得， ………… ③ ①+③-②得： 所以 總結：在所給的抽象式中緊緊圍繞，將其余的式子替換成，構造一個或幾個方程，然后設法求解。 經典訓練： 1.已知的定義域為，則的定義域為 . 2.函數的值域，則的值域為 ．（第7屆希望杯） 3.【南通四星高中10押題】14. 己知：函數滿足，又．則函數的解析式為 ★ .2 4.【唐山一中】若奇函數f(x)為滿足，且，則 . -2 5.已知函數對任意實數，均有．且當＞０時，＞０，試判斷的單調性，并說明理由. 【判斷抽象函數的單調性，若能從“源頭”入手，設法找出此類函數的原型函數．據原型函數的單調性先作出判斷，再類比其論證方法，即可輕松獲解．】 6.設定義在R上的函數滿足，若，則= . 7.【啟東市08高三階段第一次調研】21．（本題滿分16分）求出所有的實數集到其本身的映射，使得對于任意的實數，均有 （1）求證：為奇函數； （2）求證：； （3）求的表達式。 8.已知中，且則= .-3 *9.設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足” (Ⅰ)判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由； (Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性質：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”試用這一性質證明：方程只有一個實數根； (Ⅲ)設是方程的實數根，求證：對于定義域中的任意的，當且時， ***10.已知函數滿足下列條件： ① 函數的定義域為[0，1]； ② 對于任意； ③ 對于滿足條件的任意兩個數 （1）證明：對于任意的； （2）證明：于任意的； （3）不等式對于一切x∈[0，1]都成立嗎？試說明理由.