2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案11 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教案11 新人教A版必修1 教學(xué)目標(biāo)： 使學(xué)生從所熟悉的生活、生產(chǎn)和其他學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，通過(guò)構(gòu)造出一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型而使問(wèn)題清晰化、具體化，找到有效的解題途徑——構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使實(shí)際生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．逐步把數(shù)學(xué)知識(shí)用到生產(chǎn)、生活的實(shí)際中，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)： 一是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，二是對(duì)得到的函數(shù)模型進(jìn)行解答，得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解. 教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化. 教學(xué)過(guò)程： ［例1］一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月（以30天計(jì)算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問(wèn)應(yīng)該從報(bào)社買多少份才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算每月最多能賺多少錢？ 　　解析：本題所給條件較多，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，可以列表分析： 　　設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)x份（250≤x≤400）． 數(shù)量（份） 價(jià)格（元） 金額（元） 買進(jìn) 30 0.20 6x 賣出 20x＋10250 0.30 6x＋750 退回 10（x－250） 0.08 0.8x－200 　　則每月獲利潤(rùn)y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）． 　　y在x［250，400］上是一次函數(shù)． 　　∴x＝400元時(shí)，y取得最大值870元． 　　答：每天從報(bào)社買進(jìn)400份時(shí)，每月獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為870元． 點(diǎn)評(píng)：自變量x的取值范圍［250，400］是由問(wèn)題的實(shí)際意義決定的，建立函數(shù)關(guān)系式時(shí)應(yīng)注意挖掘． 　 ［例2］某人從A地到B地乘坐出租車，有兩種方案，第一種方案：租用起步價(jià)10元，每km價(jià)為1.2元的汽車；第二種方案：租用起步價(jià)為8元，每km價(jià)為1.4元的汽車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號(hào)行駛的里程是相等的．則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適． 　　答案：當(dāng)A、B距離在起步價(jià)以內(nèi)時(shí)，選擇第二種方案； 　　當(dāng)A、B距離在（a，a＋10）時(shí)，選擇第二種方案； 　　當(dāng)A、B距離恰好為a＋10時(shí)，選擇兩種方案均可以； 　　當(dāng)A、B距離大于a＋10時(shí)，選擇第一種方案． （其中a為起步價(jià)內(nèi)汽車行駛的里程） 點(diǎn)評(píng)：信息量大是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一大特點(diǎn)，當(dāng)所給條件錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)難以理清關(guān)系時(shí)，可采用列表分析的方法，有些典型應(yīng)用題也可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，建立坐標(biāo)系等． 　?。劾?］按復(fù)利計(jì)算利率的儲(chǔ)蓄，銀行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，現(xiàn)把2萬(wàn)元存入銀行3年半，求取出后本利的和 　　解析：3年半本利和的計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)轉(zhuǎn)為3年按年息8％計(jì)算，而半年按6個(gè)月（月息2％）計(jì)算，又由于是復(fù)利問(wèn)題，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6萬(wàn)元． 　 ［例4］某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該生走法的是（　?。? 　　解析：由于d0表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離，因而首先排除A、C選項(xiàng)，又因?yàn)閳D中線段的斜率的絕對(duì)值表示前進(jìn)速度的大小，因而排除B，故只能選擇D． 　　［例5］容器中有濃度為m％的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，求這樣進(jìn)行了10次后溶液的濃度 　　　　?。?－）10m％ 　　總結(jié)解應(yīng)用題的策略： 一般思路可表示如下： 　　因此，解決應(yīng)用題的一般程序是： 　?、賹忣}：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系； 　　②建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 　?、劢饽＃呵蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； 　?、苓€原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題的意義． 　?。劾?］某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對(duì)某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅．已知這種電子產(chǎn)品國(guó)內(nèi)市場(chǎng)零售價(jià)為每件250元，每年可銷售40萬(wàn)件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時(shí)，則每年銷售量將減少 t萬(wàn)件． 　?。?）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù)； 　?。?）若在該項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中每年征收附加稅金不低于600萬(wàn)元，那么附加稅率應(yīng)控制在什么范圍？ 　　解析：（1）設(shè)每年銷售是x萬(wàn)件，則每年銷售收入為250x萬(wàn)元，征收附加稅金為y＝250xt％． 　　依題意，x＝40－t． 　　所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝250（40－t）t％． 　?。?）依題意，250（40－t）t％≥600，即t2－25t＋150≤0， 　　∴10≤t≤15． 即稅率應(yīng)控制在10％～15％之間為宜． 注意點(diǎn)： 1．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問(wèn)題的要求． 　　2．在實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，要充分使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如引入字母，列表，畫(huà)圖，建立坐標(biāo)系等，以使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)符號(hào)化． 　　3．對(duì)于建立的各種數(shù)學(xué)模型，要能夠模型識(shí)別，充分利用數(shù)學(xué)方法加以解決，并能積累一定數(shù)量的典型的函數(shù)模型，這是順利解決實(shí)際問(wèn)題的重要資本． 本節(jié)內(nèi)容主要是運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生掌握函數(shù)應(yīng)用的基本方法和步驟．函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，必須下功夫練好基本功．本節(jié)涉及的函數(shù)模型有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及較簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．其中，最重要的是二次函數(shù)模型． 　?。劾?］將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一個(gè)銷售，每天可賣出100個(gè)．若每個(gè)銷售漲價(jià)一元，則日銷售量減少10個(gè)．為獲得最大利潤(rùn)，則此商品當(dāng)日銷售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？ 　　解析：設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，則實(shí)際銷售價(jià)為（10＋x）元，銷售的個(gè)數(shù)為（100－10x），則利潤(rùn)為y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x≤10）． 　　因此x＝4，即售價(jià)定為每個(gè)14元時(shí)，利潤(rùn)最大． 　?。劾?］為保護(hù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司要在拆遷地矩形ABCD（如下圖所示）上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR（公園的兩邊分別落在BC和CD上），但不能超過(guò)文物保護(hù)三角形AEF的紅線EF．問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公園占地面積最大？并求出最大面積．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m． 解析：設(shè)PO＝x， 則S＝－（x－190）2＋1902，0＜x＜200， 即x＝190時(shí)，最大面積為24067m2． 　 總結(jié)： 解決函數(shù)應(yīng)用題的流程圖是： 　　解決函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟是： 　　第一步：認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問(wèn)題實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、概括，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題，即實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化． 　　第二步：運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問(wèn)題，得出函數(shù)問(wèn)題的解． 　　第三步：將所得函數(shù)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證，看是否符合實(shí)際，并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作答． 課后練習(xí) 　　1．某城市出租汽車統(tǒng)一價(jià)格，凡上車起步價(jià)為6元，行程不超過(guò)2km者均按此價(jià)收費(fèi)，行程超過(guò)2km，按1.8元/km收費(fèi)，另外，遇到塞車或等候時(shí)，汽車雖沒(méi)有行駛，仍按6分鐘折算1km計(jì)算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)17元，車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（　?。? 　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km 　　答案：A 　　2．某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20％，要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5％以下，則至少需要過(guò)濾的次數(shù)為（　　）（參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） 　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15 　　答案：C 　　3．有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為_(kāi)_______m2（圍墻厚度不計(jì)）． 　　解析：設(shè)矩形寬為xm，則矩形長(zhǎng)為（200－4x）m， 則矩形面積為 S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50）， 　　∴x＝25時(shí)，S有最大值2500m2． 　　4．一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個(gè)旅行社同時(shí)發(fā)出邀請(qǐng)，且有各自的優(yōu)惠政策．甲旅行社承諾，如果父親買一張全票，則其家庭成員均可享受半價(jià)，乙旅行社承諾，家庭旅行算團(tuán)體票，按原價(jià)的計(jì)算，這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的，若家庭中孩子數(shù)不同，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個(gè)數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪家更優(yōu)惠？ 　　解答：設(shè)兩家旅行社的原價(jià)為a（a＞0），家庭孩子個(gè)數(shù)為x（xN*），甲、乙兩家旅行收費(fèi)分別為f（x）和g（x）， 　　則f（x）＝a＋（x＋1）＝x＋a（xN*）， 　　g（x）＝（x＋2）＝x＋（xN*）， 　　g（x）≥f（x），得 x＋≤x＋，∴x≥1． 　　因此，當(dāng)家庭只有1個(gè)孩子時(shí)，兩家隨便選擇，當(dāng)孩子數(shù)多于1個(gè)時(shí)，應(yīng)選擇甲旅行社． 　　5．某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80％出售，同時(shí)當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按以下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券： 消費(fèi)金額的范圍 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） … 獲得獎(jiǎng)券的金額 30 60 100 130 … 　　根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為4000.2＋30＝110元，設(shè)購(gòu)買商品的優(yōu)惠率＝． 　　試問(wèn)：（1）若購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？ 　　（2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在［500，800］內(nèi)的商品，顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可獲得不小于的優(yōu)惠率？ 　　答案：（1）優(yōu)惠率為33％； 　　（2）標(biāo)價(jià)在［625，750］內(nèi)的商品，購(gòu)買時(shí)可獲得不小于的優(yōu)惠率． 　　6．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里價(jià)格為f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里價(jià)格為f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求這種商品的日銷售額的最大值． 　　解析：由題意知，當(dāng)0＜t≤40，h（t）＝－（t－10.5）2＋； 　　當(dāng)40＜t≤100，h（t）＝（t－106.5）2－；∴t＝10或11時(shí)，這種商品的日銷售額的最大值為808.5． 第30、31課時(shí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 ［例1］一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.20元，賣出的價(jià)格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月（以30天計(jì)算）有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同，問(wèn)應(yīng)該從報(bào)社買多少份才能使每月所獲得的利潤(rùn)最大？并計(jì)算每月最多能賺多少錢？ 　　 　 ［例2］某人從A地到B地乘坐出租車，有兩種方案，第一種方案：租用起步價(jià)10元，每km價(jià)為1.2元的汽車；第二種方案：租用起步價(jià)為8元，每km價(jià)為1.4元的汽車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號(hào)行駛的里程是相等的．則此人從A地到掃地選擇哪一種方案比較合適． 　　 　　［例3］按復(fù)利計(jì)算利率的儲(chǔ)蓄，銀行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，現(xiàn)把2萬(wàn)元存入銀行3年半，求取出后本利的和 　　 　 ［例4］某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該生走法的是（　?。? 　　 　　［例5］容器中有濃度為m％的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，求這樣進(jìn)行了10次后溶液的濃度 　　　　　 　　 　　［例6］某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對(duì)某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅．已知這種電子產(chǎn)品國(guó)內(nèi)市場(chǎng)零售價(jià)為每件250元，每年可銷售40萬(wàn)件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時(shí)，則每年銷售量將減少 t萬(wàn)件． 　?。?）將稅金收入表示為征收附加稅率的函數(shù)； 　?。?）若在該項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中每年征收附加稅金不低于600萬(wàn)元，那么附加稅率應(yīng)控制在什么范圍？ 　　 　?。劾?］將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一個(gè)銷售，每天可賣出100個(gè)．若每個(gè)銷售漲價(jià)一元，則日銷售量減少10個(gè)．為獲得最大利潤(rùn)，則此商品當(dāng)日銷售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？ 　　 　?。劾?］為保護(hù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)城市綠化，某房地產(chǎn)公司要在拆遷地矩形ABCD（如下圖所示）上規(guī)劃出一塊矩形地面建造住宅區(qū)小公園POCR（公園的兩邊分別落在BC和CD上），但不能超過(guò)文物保護(hù)三角形AEF的紅線EF．問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使公園占地面積最大？并求出最大面積．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m． 　 課后練習(xí) 　　1．某城市出租汽車統(tǒng)一價(jià)格，凡上車起步價(jià)為6元，行程不超過(guò)2km者均按此價(jià)收費(fèi)，行程超過(guò)2km，按1.8元/km收費(fèi)，另外，遇到塞車或等候時(shí)，汽車雖沒(méi)有行駛，仍按6分鐘折算1km計(jì)算，陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)17元，車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒，那么陳先生此趟行程介于（　?。? 　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km 　 2．某純凈水制造廠在凈化水的過(guò)程中，每增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20％，要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5％以下，則至少需要過(guò)濾的次數(shù)為（　?。▍⒖紨?shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） 　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15 　 3．有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形（如下圖所示），則圍成的矩形最大面積為_(kāi)_______m2（圍墻厚度不計(jì)）． 　 　 　　4．一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個(gè)旅行社同時(shí)發(fā)出邀請(qǐng)，且有各自的優(yōu)惠政策．甲旅行社承諾，如果父親買一張全票，則其家庭成員均可享受半價(jià)，乙旅行社承諾，家庭旅行算團(tuán)體票，按原價(jià)的計(jì)算，這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的，若家庭中孩子數(shù)不同，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個(gè)數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪家更優(yōu)惠？ 　　 　　5．某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80％出售，同時(shí)當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按以下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券： 消費(fèi)金額的范圍 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） … 獲得獎(jiǎng)券的金額 30 60 100 130 … 　　根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為4000.2＋30＝110元，設(shè)購(gòu)買商品的優(yōu)惠率＝． 　　試問(wèn)：（1）若購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？ 　　（2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在［500，800］內(nèi)的商品，顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可獲得不小于的優(yōu)惠率？ 　　 　　6．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里價(jià)格為f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里價(jià)格為f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求這種商品的日銷售額的最大值．