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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.7拋物線(xiàn)教案 理 新人教A版
xx高考會(huì)這樣考 1.考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程；2.考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題；3.考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.熟練掌握拋物線(xiàn)的定義和四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.能根據(jù)拋物線(xiàn)的方程研究拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)；3.掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題的一般解法．
1． 拋物線(xiàn)的概念
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)．點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．
2． 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱(chēng)軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線(xiàn)方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1． 拋物線(xiàn)的定義
拋物線(xiàn)的定義實(shí)質(zhì)上給出了一個(gè)重要的內(nèi)容：可將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到 準(zhǔn)線(xiàn)的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)．
2． 拋物線(xiàn)方程中，字母p的幾何意義是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．
3． 求拋物線(xiàn)方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向，正確地選擇拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
1． 動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線(xiàn)x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_________．
答案 y2＝4x
解析 設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線(xiàn)x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x.
2． 若拋物線(xiàn)y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為_(kāi)_______．
答案 4
解析 因?yàn)闄E圓＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以?huà)佄锞€(xiàn)y2＝2px的焦點(diǎn)為(2,0)，
則p＝4.
3． (xx重慶)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________.
答案
解析 由于y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1
0)，則M到焦點(diǎn)的距離為xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝42＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
5． 設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是 ( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案 C
解析 Q(－2,0)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線(xiàn)方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k24k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
題型一 拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用
例1 已知拋物線(xiàn)y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
思維啟迪：由定義知，拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離d，求|PA|＋|PF|的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的問(wèn)題．
解 將x＝3代入拋物線(xiàn)方程
y2＝2x，得y＝.
∵>2，∴A在拋物線(xiàn)內(nèi)部，如圖．
設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為，即|PA|＋|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．
探究提高 與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān)．由于拋物線(xiàn)的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類(lèi)問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線(xiàn)想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線(xiàn)”，這是解決拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．
(xx遼寧)已知F是拋物線(xiàn)y2＝x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B．1 C. D.
答案 C
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為＝.
題型二 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
例2 拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，它與圓x2＋y2＝9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2，求該拋物線(xiàn)的方程，并寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)方程．
思維啟迪：首先確定方程的形式，根據(jù)條件列方程確定方程中的系數(shù)．
解 由題意，拋物線(xiàn)方程為x2＝2ay (a≠0)．
設(shè)公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側(cè)，
則|MA|＝|AN|，而|AN|＝.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，2)．
∵N點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴5＝2a(2)，即2a＝，
故拋物線(xiàn)的方程為x2＝y(tǒng)或x2＝－y.
拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－.
拋物線(xiàn)x2＝－y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝.
探究提高 (1)由拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程．
(2)求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
如圖，已知拋物線(xiàn)y2＝2px (p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8，求拋物線(xiàn)的方程．
解 設(shè)直線(xiàn)OA的方程為y＝kx，k≠0，則直線(xiàn)OB的方程為
y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②①解方程組得k6＝64，即k2＝4.
則p2＝＝.
又p>0，則p＝，故所求拋物線(xiàn)方程為y2＝x.
題型三 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系
例3 (xx江西)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線(xiàn)過(guò)曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn))
第三步：建立關(guān)于所求問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)；
第四步：最值問(wèn)題常結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出；定值問(wèn)題只證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，與變量無(wú)關(guān)；
第五步：反思回顧，有無(wú)忽略特殊情況．
溫馨提醒 解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題，要注意以下幾點(diǎn)：
(1)理解數(shù)形結(jié)合思想，掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法；
(2)不要忽略對(duì)Δ>0的限制或驗(yàn)證；
(3)涉及平面向量運(yùn)算時(shí)，要注意垂直、中點(diǎn)等幾何性質(zhì)的應(yīng)用；
(4)最值范圍問(wèn)題，要確定目標(biāo)函數(shù)；探索性問(wèn)題要先假設(shè)存在，然后推理求解．
方法與技巧
1． 認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px (p>0)，前者不是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2． 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直線(xiàn)AB的傾斜角為θ，則|AB|＝；
(3)若F為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，則有＋＝.
失誤與防范
1． 求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般要用待定系數(shù)法求p值，但首先要判斷拋物線(xiàn)是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程．
2． 注意應(yīng)用拋物線(xiàn)的定義解決問(wèn)題．
A組 專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是 ( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．y2＝－12x D．x2＝－12y
答案 D
解析 由題意得c＝＝3，∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)或(0，－3)，∴該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y或x2＝－12y.
2． 已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABP的面積為 ( )
A．18 B．24 C．36 D．48
答案 C
解析 不妨設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，由于l垂直于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)焦點(diǎn)，故直線(xiàn)l的方程為x＝.代入y2＝2px得y＝p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－3，故S△ABP＝612＝36.
3． 設(shè)拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線(xiàn)AF的斜率為－，那么|PF|等于 ( )
A．4 B．8 C．8 D．16
答案 B
解析 設(shè)P，則A(－2，y)，
由kAF＝－，即＝－，
得y＝4，
|PF|＝|PA|＝＋2＝8.
4． 從拋物線(xiàn)y2＝4x上一點(diǎn)P引拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，則△MPF的面積為 ( )
A．5 B．10 C．20 D.
答案 B
解析 由拋物線(xiàn)方程y2＝4x易得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x＝－1，又由|PM|＝5可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，代入y2＝4x，可求得其縱坐標(biāo)為4，故S△MPF＝54＝10，選B.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 若點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0，3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是_______．
答案 x2＝12y
解析 由題意可知點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0，3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y.
6． 已知拋物線(xiàn)y2＝4x上一點(diǎn)M與該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x＝________.
答案 3
解析 拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－1.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3.
7． 設(shè)P是曲線(xiàn)y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)B(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)x＝－1的距離之和的最小值為_(kāi)_____．
答案
解析 ∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為O(0,0)，
p＝2，∴準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，∴點(diǎn)P到點(diǎn)B(－1,1)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)x＝－1的距離之和等于|PB|＋|PF|.
如圖，|PB|＋|PF|≥|BF|，當(dāng)B、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，
此時(shí)|BF|＝＝.
三、解答題(共22分)
8． (10分)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135的直線(xiàn)，被拋物線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線(xiàn)方程．
解 如圖，依題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝2px (p>0)，
則直線(xiàn)方程為y＝－x＋p.
設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線(xiàn)定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋＋x2＋＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)，
由消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.
將其代入①得p＝2，∴所求拋物線(xiàn)方程為y2＝4x.
當(dāng)拋物線(xiàn)方程設(shè)為y2＝－2px時(shí)，同理可求得拋物線(xiàn)方程為y2＝－4x.
綜上，拋物線(xiàn)的方程為y2＝4x.
9． (12分)已知定點(diǎn)A(1,0)和直線(xiàn)x＝－1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且⊥，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足∥，∥(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)B(0,2)的直線(xiàn)l與(1)中的軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，若<0，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍．
解 (1)設(shè)P(x，y)，E(－1，yE)，F(xiàn)(－1，yF)．
∵＝(－2，yE)(－2，yF)＝y(tǒng)EyF＋4＝0，
∴yEyF＝－4，①
又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，且∥，∥，∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，
∴yE＝y(tǒng)，yF＝－，代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≠0)．
(2)設(shè)l：y－2＝kx(易知k存在)，聯(lián)立y2＝4x消去x，
得ky2－4y＋8＝0，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝，
＝(x1－1，y1)(x2－1，y2)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，∴－120)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)A(0,2)，連接FA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，過(guò)B作l的垂線(xiàn)，垂足為M，若AM⊥MF，則p的值為_(kāi)_______．
答案
解析 由拋物線(xiàn)定義可知|BM|＝|BF|，又由平面幾何知識(shí)得|BM|＝|BA|，所以點(diǎn)B為AF的中點(diǎn)，又B在拋物線(xiàn)上，所以12＝2p，即p2＝2，又p>0，故p＝.
6． 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y2＝2px (p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60，則||＝________.
答案 p
解析 過(guò)A作AD垂直于x軸于點(diǎn)D，令|FD|＝m，
則|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝p.
∴||＝ ＝p.
三、解答題
7． (13分)已知A(8,0)，B、C兩點(diǎn)分別在y軸上和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿(mǎn)足＝0，＝，
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
解 (1)設(shè)B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；
則＝(－8，b)，＝(x，y－b)，
＝(c，－b)，＝(x－c，y)．
∴＝－8x＋b(y－b)＝0.①
由＝，得
∴b＝－y代入①得y2＝－4x.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－4x.
(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，x＝8與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則l：y＝k(x－8)．
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
由＝97，
得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.
即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，
∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②
將y＝k(x－8)代入y2＝－4x
得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.
∵直線(xiàn)l與y2＝－4x交于不同的兩點(diǎn)，
∴Δ＝(4－16k2)2－4k264k2>0，
即－
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