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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版
自主梳理
1. 正弦定理：____＝______＝___＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑.
由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝____ sin A∶sin B∶sin C _____；
(2)a＝___)2Rsin A _____，b＝__2Rsin B _____，c＝__2Rsin C ___；
(3)sin A＝_______，sin B＝______，sin C＝_______等形式，以解決不同的三角形問題.
2.余弦定理：a2＝__ b2＋c2－2bccos A ________，b2＝__ a2＋c2－2accos B _____，
c2＝____ a2＋b2－2abcos C ____.
余弦定理可以變形為：cos A＝___________，cos B＝_________，
cos C＝_________.
3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R、r.
4.在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角.情況(2)中結果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分.
余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)已知三邊問題.
解三角形時，三角形解的個數(shù)的判斷
在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
5．判斷三角形的形狀特征
必須從研究三角形的邊角關系入手，充分利用正、余弦定理進行轉化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一．
①等腰三角形：a＝b或A＝B.
②直角三角形： b2＋c2＝a2 或 A＝90 .
③鈍角三角形： a2＞b2＋c2 或 A＞90 .
④銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2＜b2＋c2 或A為最大角，且 A＜90 .
6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sinA＞sinB.
基礎自測
1.在△ABC中，若A＝60，a＝，則＝________.
2.(xx北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________.
3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，則cos B＝________.
4.△ABC的三個內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，則b的值為________.
5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為 ( )
A.2 B.8 C. D.
1.2 2.1 3. 4. 5.C
6．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a、b、c成等差數(shù)列，B＝30，△ABC的面積為，則b＝ .
【解析】∵S△ABC＝acsinB＝acsin30＝，∴ac＝6.
又a、b、c成等差數(shù)列，故2b＝a＋c.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac－2accos30，
∴b2＝4b2－12－6，得b2＝4＋2，∴b＝1＋.
7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解析】由a＝2bcosC得sinA＝2sinBcosC
∵A＋B＋C＝π ∴sinA＝sin(B＋C)
∴sin(B＋C)＝2sinBcosC 即sin(B－C)＝0
∵0b，∴A＝60或A＝120.
當A＝60時，C＝180－45－60＝75，c＝＝；
當A＝120時，C＝180－45－120＝15，c＝＝.
(2)∵B＝60，C＝75，∴A＝45.由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4.
(2)設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2bsinA.
①求角B的大?。?
②求cosA＋sinC的取值范圍．
解析 ①由a＝2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA＝2sinBsinA，
所以sinB＝，由△ABC為銳角三角形得B＝.
②cosA＋sinC＝cosA＋sin(π－－A)＝cosA＋sin(＋A)
＝cosA＋cosA＋sinA＝sin(A＋)．
由△ABC為銳角三角形知，＞A＞－B，又－B＝－＝.
∴＜A＋＜，∴＜sin(A＋)＜.
由此有＜sin(A＋)＜＝，所以cosA＋sinC的取值范圍為(，)．
點評 解決這類問題的關鍵是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成邊，要么把邊化成角，然后再進行三角恒等變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B型函數(shù)，從而求解單調區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題，注意限制條件A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π的應用，如本題中由△ABC為銳角三角形得到A＋B＞，從而推到＜A＋＜.
探究提高 (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意.
變式訓練1 (1) 已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為________.
(2)在△ABC中，若tan A＝，C＝150，BC＝1，則AB＝________；
（3）在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45，則B＝______
解析 (2)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150，
∴A為銳角，∴sin A＝.又∵BC＝1.
∴根據(jù)正弦定理得AB＝＝.
(3)由b>a，得B>A，由＝，
得sin B＝＝＝，
∵0a，∴B>A，∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.
方法三 ∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.
∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sin A，
∴sincos A－cossin A＝3sin A，∴cos A＋sin A＝3sin A，
∴5sin A＝cos A，∴tan A＝＝.
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ＝，
?。?. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值.
解 (1)∵cos ＝，∴cos A＝2cos2－1＝，
∴sin A＝.又＝3，∴bccos A＝3，∴bc＝5.
∴S△ABC＝bcsin A＝5＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，
根據(jù)余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝36－10－10＝20，
∴a＝2.
３．在△ABC中，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范圍；
(2)求函數(shù)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的值．
【解析】(1)∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8.
又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42
即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc
∴bc≤16，即bc的最大值為16.
而bc＝，∴≤16，∴cosθ≥
∵0<θ<π，∴0<θ≤.
(2)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－＝[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－
＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1
∵0<θ≤， ∴<2θ＋≤ ∴≤sin(2θ＋)≤1.
當2θ＋＝，即θ＝時，f(θ)min＝2＋1＝2.
當2θ＋＝，即θ＝時，f(θ)max＝21＋1＝3.
點評 有關三角形中的三角函數(shù)求值問題，既要注意內角的范圍，又要靈活利用基本不等式．
題型三 正、余弦定理的綜合應用
例3 (xx浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2.
(1)當p＝，b＝1時，求a，c的值；
(2)若角B為銳角，求p的取值范圍.
解 (1)由題設并由正弦定理，
得 解得或
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－b2－b2cos B，即p2＝＋cos B.
因為00，所以0，故cos B＝，所以B＝45.
題型四 判斷三角形的形狀
一、判斷三角形的形狀
例1在△ABC中，a、b、c分別是三內角A、B、C的對邊，已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求角A的大?。?
(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．
解析 (1)由已知得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c.
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA＝－
∵A∈(0，180)，∴A＝120.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC
又sinB＋sinC＝1得sinB＝sinC＝
∵00) 則a＝2k，b＝3k，c＝4k.
由余弦定理得cosB＝＝＝，選D.
5.若△ABC的內角A、B、C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4且C＝60，則ab的值為( )
A. B．8－4 C．1 D.
【解析】由已知得：
兩式相減得：ab＝，選A.
二、填空題
6.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，則a＝________.
7.若△ABC的面積為，BC＝2，C＝60，則邊AB的長度等于____2____.
8.在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________.4或5.
9．已知△ABC的一個內角為120，且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為 .
【解析】不妨設A＝120，c0，從而有sin A＝，
∴A＝60或120，∵A是銳角，∴A＝60.
(2)∵10＝bcsin 60，∴bc＝40，
又72＝b2＋c2－2bccos 60，∴b2＋c2＝89.
11．在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b.
解 方法一 ∵sin B＝4cos Asin C，
由正弦定理，得＝4cos A，∴b＝4ccos A，
由余弦定理得b＝4c，
∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.
方法二 由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccos A，
∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2， ①
由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A，
∴b＝4ccos A. ② 解①②得b＝4.
12．在△ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且cos2A＝，sinB＝. (1)求A＋B的值；
(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．
【解析】(1)∵A，B為銳角，且sinB＝ ∴cosB＝＝
又cos2A＝1－2sin2A＝
∴sinA＝，cosA＝＝
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－＝
又∵0b B.a90，B＝2A<90
∴300
∴sinA＝2sinAcosB，cosB＝
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB
＝a2＋c2－ac≥ac
當且僅當a＝c時“＝”成立．
又b＝2，∴ac≤12. ∴S△ABC＝acsinB≤12＝3，
當且僅當a＝c＝2時，S△ABC的最大值為3.
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