2019-2020年高中數學 第五章《數系的擴充與復數》教案 北師大版選修2-2.doc

《2019-2020年高中數學 第五章《數系的擴充與復數》教案 北師大版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數學 第五章《數系的擴充與復數》教案 北師大版選修2-2.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年高中數學 第五章《數系的擴充與復數》教案 北師大版選修2-2 一、教學目標：1、知識與技能：了解引進復數的必要性；理解并掌握虛數的單位i；2、過程與方法：理解并掌握虛數單位與實數進行四則運算的規(guī)律；3、 情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部) 理解并掌握復數相等的有關概念。 二、教學重點，難點：復數的基本概念以及復數相等的充要條件。 三、教學方法：閱讀理解，探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、問題情境 1、情境：數的概念的發(fā)展：從正整數擴充到整數，從整數擴充到有理數，從有理數擴充到實數，數的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面．①解決實際問題的需要．由于計數的需要產生了自然數；為了刻畫具有相反意義的量的需要產生了負數；由于測量等需要產生了分數；為了解決度量正方形對角線長的問題產生了無理數(即無限不循環(huán)小數)．②解方程的需要．為了使方程有解，就引進了負數，數系擴充到了整數集；為了使方程有解，就要引進分數，數系擴充到了有理數集；為了使方程有解，就要引進無理數，數系擴充到了實數集． 引進無理數以后，我們已經能使方程永遠有解．但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數范圍內無解．為了使方程有解，就必須把實數概念進一步擴大，這就必須引進新的數．（可以以分解因式：為例） 2、問題：實數集應怎樣擴充呢？ （二）、新課探析 1、為了使方程有解，使實數的開方運算總可以實施，實數集的擴充就從引入平方等于的“新數”開始．為此，我們引入一個新數，叫做虛數單位（）．并作如下規(guī)定：①；②實數可以與進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立．在這種規(guī)定下，可以與實數相乘，再同實數相加得．由于滿足乘法交換律和加法交換律，上述結果可以寫成 ()的形式． 2、復數概念及復數集 形如()的數叫做復數。全體復數構成的集合叫做復數集，一般用字母來表示， 即．顯然有N*NZQRC． 3、復數的有關概念：1) 復數的表示：通常用字母表示，即()，其中分別叫做復數的實部與虛部；2）虛數和純虛數：①復數()，當時，就是實數．②復數()，當時，叫做虛數。 特別的，當，時，叫做純虛數． 4、復數集的分類 分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一．根據上述原則，復數集的分類如下： 5、兩復數相等 如果兩個復數與（）的實部與虛部分別相等，我們就說這兩個復數相等．即，（復數相等的充要條件）， 特別地：（復數為的充要條件）． 復數相等的充要條件，提供了將復數問題化歸為實數問題來解決的途徑． 6、兩個復數不能比較大?。簝蓚€實數可以比較大小，但兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，不能比較它們的大小。 7、共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數。 (三)、知識運用，能力提高 1、例題：例1．寫出下列復數的實部與虛部，并指出哪些是實數， 哪些是虛數，哪些是純虛數． 解： 的實部分別是； 虛部分別是．是實數；是虛數，其中是純虛數． 例2、實數取什么值時，復數是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？ 分析：由可知，都是實數，根據復數是實數、虛數和純虛數的條件可以分別確定的值。 解：（1）當，即時，復數是實數；（2）當，即時，復數是虛數；（3）當，且，即時復數是純虛數。 （變式引申）：已知，復數，當為何值時： （1）；（2）是虛數；（3）是純虛數． 解：（1）當且，即時，是實數； （2）當且，即且時，是虛數； （3）當且，即或時，為純虛數． 思考：是復數為純虛數的充分條件嗎？ 答：不是，因為當且時，才是純虛數，所以是復數為純虛數的必要而非充分條件． 例3、已知，求實數的值． 解：根據兩個復數相等的充要條件，可得：，解得：． （變式引申）：已知，求復數． 解：設，則， ， 由復數相等的條件 ． 2．練習：（1）已知復數，且，則 ． 解：，則．故虛部 或．但時，，不合題意，故舍去，故． 四．回顧小結：1、能夠識別復數，并能說出復數在什么條件下是實數、虛數、純虛數；2、復數相等的充要條件。 （三）小結：復數、虛數、純虛數的概念及它們之間的關系及兩復數相等的充要條件。 （四）、鞏固練習： 1．指出下列復數哪些是實數、虛數、純虛數，是虛數的找出其實部與虛部。 2．判斷① 兩復數，若虛部都是3，則實部大的那個復數較大。②　復平面內，所有純虛數都落在虛軸上，所有虛軸上的點都是純虛數。 3若，則的值是 。 4．．已知是虛數單位，復數，當取何實數時，是： （1）實數 （2） 虛數 （3）純虛數 （4）零 （五）、課外練習：第96頁練習 （六）、課后作業(yè)：第100頁習題A:1,2,3 五、教后反思： 第二課時 復數的幾何意義 一、教學目標：理解復數與復平面內的點、平面向量是一一對應的，能根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。 二、教學重點：理解復數的幾何意義，根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。 教學難點: 根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。 三、教學方法：閱讀理解，探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習準備： 1. 說出下列復數的實部和虛部，哪些是實數，哪些是虛數。 2．復數，當取何值時為實數、虛數、純虛數？ 3. 若，試求的值，（呢？） 4.虛數單位:(1)它的平方等于-1，即　; (2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.（3）. 與－1的關系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－!?。?）. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 5.復數的定義：形如的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示*　 6. 復數的代數形式: 復數通常用字母z表示，即，把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式 7. 復數與實數、虛數、純虛數及0的關系：對于復數，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)是實數a；當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0. 8.復數集與其它數集之間的關系：NZQRC. 9. 兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等 這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 復數相等的定義是求復數值，在復數集中解方程的重要依據　一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現有一個命題：“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎？不對　如果兩個復數都是實數，就可以比較大小　只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小 (二)、探析新課： 1. 復數的幾何意義： ① 討論：實數可以與數軸上的點一一對應，類比實數，復數能與什么一一對應呢？ （分析復數的代數形式，因為它是由實部和虛部同時確定，即有順序的兩實數，不難想到有序實數對或點的坐標） 結論：復數與平面內的點或序實數一一對應。 ②復平面：以軸為實軸， 軸為虛軸建立直角坐標系，得到的平面叫復平面。 復數與復平面內的點一一對應。 ③例1、在復平面內描出復數分別對應的點。 （先建立直角坐標系，標注點時注意縱坐標是而不是） 觀察例1中我們所描出的點，從中我們可以得出什么結論？ ④實數都落在實軸上，純虛數落在虛軸上，除原點外，虛軸表示純虛數。 思考：我們所學過的知識當中，與平面內的點一一對應的東西還有哪些？ ⑤，， 注意：人們常將復數說成點或向量，規(guī)定相等的向量表示同一復數。 2．應用 例2、在我們剛才例1中，分別畫出各復數所對應的向量。 練習：在復平面內畫出所對應的向量。 （三）、小結：復數與復平面內的點及平面向量一一對應，復數的幾何意義。 (四)、課堂練習：第99頁練習 （五）、課后作業(yè)：第100頁習題A:4,5,8 五、教后反思 2復數的四則運算 第三課時 復數的加法與減法 一、教學目標：1、知識與技能：掌握復數的加法運算及意義；2、過程與方法：理解并掌握實數進行四則運算的規(guī)律；3、情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數的有關概念(復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部) 理解并掌握復數相等的有關概念。 二、教學重點：復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義 教學難點：加、減運算的幾何意義 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習準備： 1. 與復數一一對應的有？ 2. 試判斷下列復數在復平面中落在哪象限？并畫出其對應的向量。 3. 同時用坐標和幾何形式表示復數所對應的向量，并計算。向量的加減運算滿足何種法則？ 4. 類比向量坐標形式的加減運算，復數的加減運算如何？ （二）、探析新課： 1.復數的加法運算及幾何意義 ①.復數的加法法則：，則。 例1、計算（1） （2） （3） （4） ②．觀察上述計算，復數的加法運算是否滿足交換、結合律，試給予驗證。 例2、例1中的（1）、（3）兩小題，分別標出，所對應的向量，再畫出求和后所對應的向量，看有所發(fā)現。 ③復數加法的幾何意義：復數的加法可以按照向量的加法來進行（滿足平行四邊形、三角形法則） 2、復數的減法及幾何意義：類比實數，規(guī)定復數的減法運算是加法運算的逆運算,即若，則。 ④討論：若，試確定是否是一個確定的值？ （引導學生用待定系數法，結合復數的加法運算進行推導，師生一起板演） ⑤復數的加法法則及幾何意義：，復數的減法運算也可以按向量的減法來進行。 3、例題探析： 例1．計算（1） （2） （3） 練習：已知復數，試畫出，， 例2、復數=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數. 分析一：利用 ，求點D的對應復數. 解法一：設復數所對應的點為A、B、C，正方形的第四個頂點D對應的復數為x+yi(x，y∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i. 即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴ 解得∴x=2，y=－1.故點D對應的復數為2－i. 分析二：利用原點O正好是正方形ABCD的中心來解. 解法二：因為點A與點C關于原點對稱，所以原點O為正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故點D對應的復數為2－i. 點評：根據題意畫圖得到的結論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 （三）．小結：兩復數相加減，結果是實部、虛部分別相加減，復數的加減運算都可以按照向量的加減法進行。 （四）、鞏固練習： 1．計算（1）（2）（3） 2．若，求實數的取值。 變式：若表示的點在復平面的左（右）半平面，試求實數的取值。 3．三個復數，其中，是純虛數，若這三個復數所對應的向量能構成等邊三角形，試確定的值。 (五)、課外練習：第103頁練習 (六)、課后作業(yè)：第108頁習題A:1,2,3,4 五、教后反思 第四課時 復數復數的乘法與除法 一、教學目標：1、知識與技能：理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算。2、過程與方法：理解并掌握復數的除法運算實質是分母實數化類問題。3、情感、態(tài)度與價值觀：復數的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的，讓學生體會到這是生產實踐的需要從而讓學生積極主動地建構知識體系。 二、教學重點：復數的代數形式的乘除運算及共軛復數的概念 教學難點：乘除運算 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習準備 1. 復數的加減法的幾何意義是什么？ 2. 計算（1） （2） （3） 3. 計算：（1） （2） （類比多項式的乘法引入復數的乘法） （二）、探析新課 1.復數代數形式的乘法運算 ①.復數的乘法法則：。 例1．計算（1） （2） （3） （4） 探究：觀察上述計算，試驗證復數的乘法運算是否滿足交換、結合、分配律？ 例2．1、計算（1） （2）（3） 2、已知復數，若，試求的值。變：若，試求的值。 ②共軛復數：兩復數叫做互為共軛復數，當時，它們叫做共軛虛數。 注：兩復數互為共軛復數，則它們的乘積為實數。 練習：說出下列復數的共軛復數。 ③類比，試寫出復數的除法法則。 2．復數的除法法則： 其中叫做實數化因子 除法運算規(guī)則：①設復數a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復數相等定義可知 解這個方程組，得于是有:(a+bi)(c+di)= i. ②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將的分母有理化得： 原式= .∴(a+bi)(c+di)=. 例3．計算，（師生共同板演一道，再學生練習） 練習：計算， （三）．小結：兩復數的乘除法，共軛復數，共軛虛數。 （四）、鞏固練習： 1．計算（1） （2） （3） 2．若，且為純虛數，求實數的取值。變：在復平面的下方，求 （五）、課外練習：第106頁練習 （六）、課后作業(yè)：第108頁習題A:5,6,7 五、教后反思 第五章《數系的擴充與復數的引入》全章小結與復習 一、教學目標：1、了解數的概念發(fā)展和數系擴充的過程，了解引進虛數單位的必要性和作用，體會數學發(fā)現和創(chuàng)造的過程，以及數學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；2、理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件；3、理解并掌握復數的代數形式四則運算法則與規(guī)律 二、教學重難點：復數的基本概念以及復數相等的充要條件；復數的代數形式四則運算法則與規(guī)律。 三、教學方法：探究歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、基礎梳理 1、復數的概念及其表示形式： 通常復數z的實部記作Rez；復數z的虛部記作Imz. 兩個重要命題： （2）復數的幾何形式：復數集與平面上的點集之間能建立一一對應關系，故可用平 這是解決復數問題時進行虛實轉化的工具： 在復平面上，互為共軛復數的兩個點關于實軸對稱： 2.、復數的運算： （1）四則運算法則（可類比多項式的運算） 簡記為“分母實數化”。 特例： 利用復數相等的充要條件轉化為解實方程組。 （二）、例題探析 例1、1、若，其中a、b∈R，i是虛數單位，則= 。 答案5 2、已知復數，則在復平面內所對應的點位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 答案：Ａ 3、已知，復數，當為何值時： （1）；（2）是虛數；（3）是純虛數． 解：（1）當且，即時，是實數； （2）當且，即且時，是虛數； （3）當且，即或時，為純虛數． 學生練習，教師準對問題講評。 例2、計算①； ②；③+ 答案：①；②；③-1 學生練習，教師準對問題講評。 例3、已知復數z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1z2|的最大值和最小值。 解：|z1z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i| = ==. 故|z1z2|的最大值為，最小值為 （三）、小結：本課要求1、了解數的概念發(fā)展和數系擴充的過程，了解引進虛數單位的必要性和作用，體會數學發(fā)現和創(chuàng)造的過程，以及數學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；2、理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件；3、理解并掌握復數的代數形式四則運算法則與規(guī)律。 （四）作業(yè)布置：課本P112頁復習題五中A組4、6 B組1、2 五、教后反思：