2019-2020年高中數學《直線的交點坐標與距離公式》教案11新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數學《直線的交點坐標與距離公式》教案11新人教A版必修2 “點到直線的距離”是新課標《數學必修2》第三章第3節(jié)“直線的交點與距離公式”中的重要知識點。教材按照“提出問題（如何求點到直線的距離）、解決問題（推導公式）、應用公式”的線索展開研究，既是直線方程應用的延續(xù)，又是坐標法這一核心知識的發(fā)展，同時還是充分展現用代數方法研究幾何問題優(yōu)越性的載體。作為直線方程的一個應用，公式的推導過程蘊涵了豐富的數學思想方法，轉化思想，數形結合，分類討論，屬于具有較高思維價值和探究價值的教學內容。同時，該公式還將在學生今后的代數、立體幾何及圓錐曲線學習過程中，作為解析幾何的一個重要工具廣泛用之于問題的求解過程當中，因此，該內容又具有很大的應用價值。不僅如此，該內容還是剛剛學過的兩直線交點及兩點間距離公式的用武之地。就內容本身來說，作為公式的學習與應用又是引領學生運用平面幾何知識、強化直線方程的建立過程的好素材。因此，這是一節(jié)具有承上啟下、繼往開來作用的一個重要基礎內容，是今后進一步學習研究解析幾何的重要工具。 二．重、難點及教學目標解析 本節(jié)課是在學生已經積累了兩點間的距離公式、直線的傾斜角、斜率、直線方程的各種形式，兩直線間位置關系判斷的依據等知識，并且經歷了建立這些公式、解決這些問題的過程，積累了一定的用坐標法思想解決問題的經驗與各種具體方法的前提下來探究點到直線的距離公式的。學生要經歷從平面幾何的定性作圖過渡到高中解析幾何的定量計算這樣一個認識過程，其學習平臺是學生已經掌握了直線的傾角、斜率、直線的位置關系、直線方程、兩直線的交點等相關知識。因此，這節(jié)課既是問題教學，又是公式教學。要著力解決的問題是如何在已知點的坐標及直線方程的情況下求的點到直線的距離。為此: 教學重點：公式的推導和應用。 教學難點：公式的推導。 教學關鍵：怎樣發(fā)現并理出推導公式的思路。 根據本節(jié)課在教材中所處的地位和作用，結合本節(jié)知識容量，將這節(jié)課的教學目標確定為： 知識培養(yǎng)目標：在經歷發(fā)現推導公式的基礎上，理解推導方法，掌握公式特點，學會公式的運用，領會蘊涵在公式推導及范例解決過程中的數學思想與方法。 情感教育目標：讓學生在問題的探究與解決中體驗數學的魅力，感受解決問題的愉悅，有效培養(yǎng)勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力資源，培養(yǎng)其良好的數學學習品質，激發(fā)學生學習數學的熱情。 能力培養(yǎng)目標：讓學生在對教學過程的充分參與中，體會由特殊到一般、從具體到抽象的數學研究方法，從而有效培養(yǎng)學生分析、探究能力、靈活運用公式能力及用解析法分析解決問題的能力。通過問題的多解教學培養(yǎng)學生發(fā)散性思維品質。 三．教學問題診斷分析 本節(jié)課有兩個難點需要加以突破：一是公式推導的思路的發(fā)現。畢竟學生對坐標法接觸時間不長，知識的遷移與靈活運用水平還十分有限，教師必須著力精心創(chuàng)設良好的思維情景才能讓學生在“憤”“悱”狀態(tài)下發(fā)現問題解決的思路；二是找到求解思路后，推導公式需要進行較為煩瑣的運算和化簡過程，這一過程是學生的知識、能力、意志品質等得以發(fā)展的過程，同時又是耗時費力的過程。而運算化簡能力又往往是學生的弱項。時間運用上的矛盾，思維品質上的欠缺，都需要教者在設計教學時認真考慮，合理取舍，作出精心安排。 四．教學支持條件分析 新課程理念的新穎與超前，坐標法處理問題的簡潔明快，現代多媒體教學手段的運用，數學核心概念與方法的突出可以讓我們在短短的四十分鐘內演繹出一幕精彩的教學活劇來。而以下諸多條件有利于本節(jié)教學目標的實施與完成。 1．作為兩直線的位置關系的最后一個內容，在這之前學生已經系統(tǒng)學習了直線方程的各種形式，有了對兩直線位置關系的定性認識和對兩直線相交的定量認識，特別是兩點間距離公式及直線方程的學習已經為本節(jié)內容的學習做好了知識和方法上的準備。同時，學生對解析幾何的的實質中，用坐標系溝通直線與方程的研究辦法有了初步的認識，數形結合的思想正逐步趨于成熟。對杭四中的學生來說，基礎知識應該比較扎實，思維比較活躍。 2．又見到：“點到直線的距離”（初中已經學習并定義），學生會產生“似曾相識燕歸來”之感：既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探學尋動機由此產生。學生通過前一段時間的學習尤其用斜率對兩直線方程位置關系的判斷已經初步感悟到坐標法研究幾何問題的優(yōu)越性，學生學習興趣比較濃厚。 3．數學源于生活，生活中的點線距隨處可見，這將為學生學習探究本節(jié)內容提供感性支持。 五．教學策略與手段 1．根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，采取問題教學法模式。從學生熟知的簡單問題出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂方式，引導學生探索點到直線的距離的求法。讓學生在師生互動、合作交流、共同探討的氛圍中，理解公式推導的過程及知識應用，進一步提高學生把幾何問題代數化的數學能力。 2．采取現代化的教學手段，增大教學的容量和直觀性，有效提升教學效率和教學質量。 3．以反饋調空為手段，力求反饋的全面性（優(yōu)、中、差）與實效性（及時、中肯）。 4．教師進行教學設計、準備課件，搜集資料。 六．教學過程設計 1．舊知鋪墊，引入新課 問題1。上節(jié)課我們學習了平面上兩點之間的距離公式。這個公式的形式是怎樣的？它是怎樣推導的？如何用？用該公式求距離與以往的方法有哪些不同？ ① ②公式是用構造直角三角形的方法結合勾股定理導出的。 ③知道坐標直接代入。 設計意圖：一為推導公式（轉化為點點距）打伏筆，二為新知識提供一個“最近發(fā)現區(qū)” 三為學生提供一個知識生長點，四是點出這部分內容涉及到的核心方法——坐標法。 問題2。距離是幾何中的一項重要內容。你認為，除兩點間的距離外，解析幾何中還應該有哪些距離？ 學生思考后回答：點到直線的距離，平行直線之間的距離。從而引出本節(jié)課題。 設計意圖：讓學生自己發(fā)現問題，提出問題，讓學生在對教學活動的參與中引出本節(jié)課要研究的新課題，教自然地導入新課。 2．創(chuàng)設情景，知識發(fā)展。 問題3。平面幾何中，點到直線的距離是怎樣定義？ 設計意圖：通過回憶初中對點到直線距離的定性作圖，新舊聯系，以舊引新，為距離的定量描述做好鋪墊。 問題4。解析幾何中，你認為要求得點到直線的距離，需要擁有哪些條件？ 設計意圖：讓學生感悟解析法的特點，進一步知曉用代數方法研究幾何問題的手段與方法。 問題5。如何在知道點P坐標和直線方程的情況下求得P到該直線的距離？ 情形1。點到坐標軸的距離。 情形2點到與坐標軸平行的直線之間的距離 情形3。點（1，1）到直線 的距離 設計意圖：從簡單問題入手，讓學生能沿著教師設置的高而可攀的梯子拾級而上，在由特殊到一般、由抽象到具體的思維活動過程中提出問題，并逐步解決問題。 問題6。上面問題的問題都很特殊，你能由此提出一個更據一般性和挑戰(zhàn)性的問題嗎？ 設計意圖：把提問的主動權也交給學生，讓學生提出下面問題： 已知點，求點P到直線之間的距離。 教師引導：這是本節(jié)課我們要徹底解決的核心問題。我們不能總用最原始的方法解決問題。怎么辦？推導公式。 問題7。求直線的斜率，我們應該考慮哪些情況？相應的，所要求的距離應該怎樣具體地求出來？ 1． 讓學生探究、發(fā)現思路。 2． 教師點撥，總結思路 設計意圖：發(fā)揮教師在教學中的主導作用， 問題8。上面的推導方法清晰自然，大家都能想得到，但有點繁。有別的處理方法嗎？ 設計意圖：給學生探索的主動權，給學生在公式推導中自主創(chuàng)新的機會。 用直角三角形中的等面積法來求。 解：設，則與軸、軸都相交。如圖，過點分別作兩坐標軸的平行線交于R，S，則直線PR的方程為，R 直線PS的方程為 ， S 那么 由得 問題9。該公式推導中用到數學方法了嗎？如果有，涉及到哪些？ 讓學生感悟到：公式推導過程中不僅用到了化歸、數形結合、分類討論等十分重要的數學思想，還蘊涵著探索與創(chuàng)造，這使我們能感覺到數學的生機與樂趣。 設計意圖：引導學生從數學思想方法的高度來認識所參與的數學活動，可以使思維層次提升到一個新的高度。 問題10。公式有哪些結構特征？公式在或者時還成立嗎？ 公式的分子：保留直線方程一般式的風格，充分表明公式與直線方程有關。 公式的分母：有點距離公式的味道。 象其他我們學過的一些公式一樣，公式簡潔明了，給我們一種端莊秀麗的美感。 設計意圖：讓學生快速記住公式，同時讓學生感受數學美。 3．范例選講，知識應用 問題11。求點P（-1，2）到直線之間的距離。 設計意圖：讓學生在剛剛學習新知后運用新知，同時進一步了解公式的適應范圍。 變式一。求點P（-1，2）到直線之間的距離。 變式二。求點P（1，1）到直線之間的距離。 設計意圖：（1）熟練掌握公式的用法。 （2）通過（3）讓學生既能體會到公式適用的更廣范圍，又讓學生發(fā)現一種判定點是否在直線上的新方法，同時也為判斷三點共線問題拓展思路。 問題12。已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0）， 求的面積 師生活動：（1）怎樣求三角形面積？需要具備那些條件？ （2）你能否設計該問題的一個求解方案？ （3）如何實施求解方案？有別的解法嗎？ 解法1。求底、求高解決。 解法2。割補法處理 解法3。用余弦定理求內角，然后用解決 解法4。向量法處理. 問題13。求平行線2x-7y+8=0與2x-7y-6=0的距離。（備用范例） 4．課堂小結 知識建構 （1）你這節(jié)課學到了什么？ （2）本節(jié)課有哪些收獲？給你最大的感受是什么？ （3）解析幾何研究問題的特點是什么？有哪些優(yōu)越性？ 5．布置作業(yè)，強化與鞏固 （1）．用求垂足的方法推導點到直線的距離公式. （2）．請用本節(jié)課所學的內容推導兩條平行線之間的距離公式. （3）．作業(yè)本.《點到直線的距離》