天津理工大學(xué)理論力學(xué).ppt

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第十二章 動能定理,功是代數(shù)量,12-1 力的功,常力在直線運動中的功,單位 J（焦耳） 1 J = 1 Nm,元功,即,變力在曲線運動中的功,力 在 路程上的功為,記,則,1、重力的功,質(zhì)點系,由,重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,得,2、彈性力的功,彈簧剛度系數(shù)k(N/m),彈性力,彈性力的功為,因,式中,得,即,彈性力的功也與路徑無關(guān),3. 定軸轉(zhuǎn)動剛物體上的功,則,若 常量,由,得,從角 轉(zhuǎn)動到角 過程中力 的功為,作用在 點的力 的元功為,力系全部力的元功之和為,4. 平面運動剛體上力系的功,其中,由 兩端乘dt，有,其中: 為力系主失， 為力系對質(zhì)心的主矩。,當(dāng)質(zhì)心由 ，轉(zhuǎn)角由 時，力系的功為,即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。,說明：1、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；,2、C點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上述結(jié)論也成立；,3、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。,12-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能,2、質(zhì)點系的動能,1、質(zhì)點的動能,單位：J（焦耳）,（1）平移剛體的動能,（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能,即,即,即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能 與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。,得,速度瞬心為P,（3）平面運動剛體的動能,上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。,將 兩端點乘 ，,由于,12-3 動能定理,1、質(zhì)點的動能定理,因此,得,上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。,稱質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。,積分之，有,2、質(zhì)點系的動能定理,稱質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。,由,求和,得,稱質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。,積分之，有,3、理想約束,光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零。,稱約束力作功等于零的約束為理想約束。,對理想約束，在動能定理中只計入主動力的 功即可。,內(nèi)力作功之和不一定等于零。,例12-3 已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運動，f,初靜止,求：O走過S路程時ω、α,圓盤速度瞬心為C,,解：,均不作功。,注意：,1、摩擦力Fd 的功 S 是力在空間的位移，不是 受力作用點的位移。,將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用,得,不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：,2、亦可將力系向點O簡化，即,例12-5 已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上; 均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動, 初始靜止 ;θ, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時的速度和加速度,輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點系,解：,式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo)，得,例12-5：已知：r1 ， m1 均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l , M=常量，純滾動，處于水平面內(nèi)，初始靜止。,求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α,研究整個系統(tǒng),解：,式(a)對任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得,注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動的，但作用于速度瞬心，故不作功。,例12-6：均質(zhì)桿OB=AB=l, m在鉛垂面內(nèi)；M=常 量，初始靜止，不計摩擦。,解：,求：當(dāng)A運動到O點時，,12-4 功率、功率方程、機(jī)械效率,由 ，得,1、功率：單位時間力所作的功稱功率,即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。,單位W（瓦特），1W=1J/S,作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為,2、功率方程,稱功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。,或,3、機(jī)械效率,機(jī)械效率,有效功率,多級轉(zhuǎn)動系統(tǒng),例12-7 已知：,若 ，求F的最大值。,求：切削力F的最大值,解:,當(dāng),時,例12-8: 已知 m . l0 .k . R .J,求：系統(tǒng)的運動微分方程。,解：,令 為彈簧靜伸長，即mg=k ,以平衡位置為原點,12-5 勢力場.勢能.機(jī)械能守恒定律,1.勢力場,勢力場： 場力的功只與力作用點的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,2.勢能,稱勢能零點,力場,（1）重力場中心勢能,（2）彈性力場的勢能,（3）萬有引力場中的勢能,取零勢能點在無窮遠(yuǎn),質(zhì)點,重力場,例如： 已知:均質(zhì)桿l, m 彈簧強(qiáng)度 k, AB水平時平衡，彈簧變形,取彈簧自然位置O為零勢能點:,取桿平衡位置為零勢能點:,即,質(zhì)點系在勢力場中運動,有勢力功為,3. 機(jī)械能守恒定律,由,即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機(jī)械能守恒。此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng),及,得,例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s勻速下降，鋼索 k=3.35 N/m,求: 輪D突然卡住時，鋼索的最大張力,卡住前,卡住時：,解：,得,即,由 有,取水平位置為零勢能位置,例：已知：m, , k水平位置平衡 OD=CD=b,求：初速 時， =?,解：,＊4. 勢力場的其他性質(zhì)：,( 1 ),（2）勢能相等的點構(gòu)成等勢面,（3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向,12-6 普遍定理的綜合應(yīng)用,例：已知 均質(zhì)園輪m,r,R ，純滾動,求：輪心Ｃ的運動微分方程,解:,重力的功率,（ 很?。?本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。,得,例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m, ｋ，純滾動，于彈簧原長處無初速釋放。,求：重物下降h時 ，v、a及滾輪與地面的摩擦力。,,解：,將式（a）對t 求導(dǎo),（a）,得,其中,例：已知 l, m,求：桿由鉛直倒下，剛到達(dá)地面時的角速度和地面約束力。,解：,成 角時,（ a ）,（ b）,時,由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得,由,其中： 鉛直 水平,(c),例：已知 輪I ：r, m1; 輪III :r，m3; 輪II ：R=2r, m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度，物塊：mA；摩擦力不計。,求：O1 O2處的約束力。,其中,解:,利用,其中,研究 I 輪,壓力角為,研究物塊A,研究II輪,例9：已知，m， R, k, CA=2R為彈簧原長，M為常力偶。,求：圓心C無初速度由最低點到達(dá)最高點時，O處約束力,解：,得,例 均質(zhì)桿AB，l, m,初始鉛直靜止，無摩擦,求：1.B端未脫離墻時，擺至θ角位 置時的 ， ，F(xiàn)Bx , FBy,3.桿著地時的vC及 2,解：（ 1 ）,（ 2 ）.脫離瞬間時,（ 3 ）.脫離后，水平動量守恒， 脫離瞬時,桿著地時，AC水平,由鉛直——水平全過程,式中,例12-1 已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計。,求：,解：,