天津理工大學(xué)理論力學(xué).ppt

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第十二章 動(dòng)能定理,功是代數(shù)量,12-1 力的功,常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功,單位 J（焦耳） 1 J = 1 Nm,元功,即,變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功,力 在 路程上的功為,記,則,1、重力的功,質(zhì)點(diǎn)系,由,重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,得,2、彈性力的功,彈簧剛度系數(shù)k(N/m),彈性力,彈性力的功為,因,式中,得,即,彈性力的功也與路徑無關(guān),3. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛物體上的功,則,若 常量,由,得,從角 轉(zhuǎn)動(dòng)到角 過程中力 的功為,作用在 點(diǎn)的力 的元功為,力系全部力的元功之和為,4. 平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功,其中,由 兩端乘dt，有,其中: 為力系主失， 為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。,當(dāng)質(zhì)心由 ，轉(zhuǎn)角由 時(shí)，力系的功為,即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的力和力偶作功之和。,說明：1、對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體，上述結(jié)論都適用；,2、C點(diǎn)不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí)，上述結(jié)論也成立；,3、計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不作功的力。,12-2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,單位：J（焦耳）,（1）平移剛體的動(dòng)能,（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,即,即,即：平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能 與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。,得,速度瞬心為P,（3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,上面結(jié)論也適用于剛體的任意運(yùn)動(dòng)。,將 兩端點(diǎn)乘 ，,由于,12-3 動(dòng)能定理,1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理,因此,得,上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。,稱質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。,積分之，有,2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。,由,求和,得,稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。,積分之，有,3、理想約束,光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零。,稱約束力作功等于零的約束為理想約束。,對(duì)理想約束，在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的 功即可。,內(nèi)力作功之和不一定等于零。,例12-3 已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運(yùn)動(dòng)，f,初靜止,求：O走過S路程時(shí)ω、α,圓盤速度瞬心為C,,解：,均不作功。,注意：,1、摩擦力Fd 的功 S 是力在空間的位移，不是 受力作用點(diǎn)的位移。,將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用,得,不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算：,2、亦可將力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化，即,例12-5 已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上; 均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動(dòng), 初始靜止 ;θ, M為常力偶。,求：輪心C走過路程S時(shí)的速度和加速度,輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,解：,式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)，得,例12-5：已知：r1 ， m1 均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l , M=常量，純滾動(dòng)，處于水平面內(nèi)，初始靜止。,求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α,研究整個(gè)系統(tǒng),解：,式(a)對(duì)任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得,注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動(dòng)的，但作用于速度瞬心，故不作功。,例12-6：均質(zhì)桿OB=AB=l, m在鉛垂面內(nèi)；M=常 量，初始靜止，不計(jì)摩擦。,解：,求：當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，,12-4 功率、功率方程、機(jī)械效率,由 ，得,1、功率：?jiǎn)挝粫r(shí)間力所作的功稱功率,即：功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。,單位W（瓦特），1W=1J/S,作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為,2、功率方程,稱功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。,或,3、機(jī)械效率,機(jī)械效率,有效功率,多級(jí)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng),例12-7 已知：,若 ，求F的最大值。,求：切削力F的最大值,解:,當(dāng),時(shí),例12-8: 已知 m . l0 .k . R .J,求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,解：,令 為彈簧靜伸長(zhǎng)，即mg=k ,以平衡位置為原點(diǎn),12-5 勢(shì)力場(chǎng).勢(shì)能.機(jī)械能守恒定律,1.勢(shì)力場(chǎng),勢(shì)力場(chǎng)： 場(chǎng)力的功只與力作用點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。,2.勢(shì)能,稱勢(shì)能零點(diǎn),力場(chǎng),（1）重力場(chǎng)中心勢(shì)能,（2）彈性力場(chǎng)的勢(shì)能,（3）萬有引力場(chǎng)中的勢(shì)能,取零勢(shì)能點(diǎn)在無窮遠(yuǎn),質(zhì)點(diǎn),重力場(chǎng),例如： 已知:均質(zhì)桿l, m 彈簧強(qiáng)度 k, AB水平時(shí)平衡，彈簧變形,取彈簧自然位置O為零勢(shì)能點(diǎn):,取桿平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn):,即,質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),有勢(shì)力功為,3. 機(jī)械能守恒定律,由,即：質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng),及,得,例：已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s勻速下降，鋼索 k=3.35 N/m,求: 輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力,卡住前,卡住時(shí)：,解：,得,即,由 有,取水平位置為零勢(shì)能位置,例：已知：m, , k水平位置平衡 OD=CD=b,求：初速 時(shí)， =?,解：,＊4. 勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：,( 1 ),（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢(shì)面,（3）有勢(shì)力方向垂直于等勢(shì)能面，指向勢(shì)能減小的方向,12-6 普遍定理的綜合應(yīng)用,例：已知 均質(zhì)園輪m,r,R ，純滾動(dòng),求：輪心Ｃ的運(yùn)動(dòng)微分方程,解:,重力的功率,（ 很小）,本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。,得,例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m, ｋ，純滾動(dòng)，于彈簧原長(zhǎng)處無初速釋放。,求：重物下降h時(shí) ，v、a及滾輪與地面的摩擦力。,,解：,將式（a）對(duì)t 求導(dǎo),（a）,得,其中,例：已知 l, m,求：桿由鉛直倒下，剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。,解：,成 角時(shí),（ a ）,（ b）,時(shí),由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得,由,其中： 鉛直 水平,(c),例：已知 輪I ：r, m1; 輪III :r，m3; 輪II ：R=2r, m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度，物塊：mA；摩擦力不計(jì)。,求：O1 O2處的約束力。,其中,解:,利用,其中,研究 I 輪,壓力角為,研究物塊A,研究II輪,例9：已知，m， R, k, CA=2R為彈簧原長(zhǎng)，M為常力偶。,求：圓心C無初速度由最低點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，O處約束力,解：,得,例 均質(zhì)桿AB，l, m,初始鉛直靜止，無摩擦,求：1.B端未脫離墻時(shí)，擺至θ角位 置時(shí)的 ， ，F(xiàn)Bx , FBy,3.桿著地時(shí)的vC及 2,解：（ 1 ）,（ 2 ）.脫離瞬間時(shí),（ 3 ）.脫離后，水平動(dòng)量守恒， 脫離瞬時(shí),桿著地時(shí)，AC水平,由鉛直——水平全過程,式中,例12-1 已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì)。,求：,解：,