2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 3 基本不等式 第2課時 基本不等式與最大(小)值同步練習 北師大版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第3章 不等式 3 基本不等式 第2課時 基本不等式與最大(小)值同步練習 北師大版必修5 一、選擇題 1.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則( ) A.a(chǎn)b≤ B.a(chǎn)b≥ C.a(chǎn)2+b2≥2 D.a(chǎn)2+b2≤2 [答案] C [解析] 由a+b=2,得ab≤()2=1,排除A、B;又≥()2,∴a2+b2≥2.故選C. 2.設函數(shù)f(x)=2x+-1(x<0),則f(x)( ) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函數(shù) D.是減函數(shù) [答案] A [解析] 令2x=,由x<0得x=-, ∴在x=-兩側(cè),函數(shù)f(x)的單調(diào)性不同,排除C、D. f(x)=2x+-1=--1 ≤-2-1=-2-1, 等號在x=-時成立,排除B. 3.已知a、b是正數(shù),則、和的大小順序是( ) A.≥≥ B.≥≥ C.≥≥ D.≥≥ [答案] D [解析] a、b是正數(shù),顯然有≥(當且僅當a=b時,取等號);再比較與, ∵()-=-=-()2≤0, ∴≤,故選D. 4.(xx云南師大附中高三月考)已知a+b=t(a>0,b>0),t為常數(shù),且ab的最大值為2,則t等于( ) A.2 B.4 C.2 D.2 [答案] C [解析] 當a>0,b>0時,ab≤=,當且僅當a=b=時取等號.因為ab的最大值為2,所以=2,t2=8,所以t==2.故選C. 5.用長度為24米的材料圍成一矩形場地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為( ) A.3米 B.4米 C.6米 D.12米 [答案] A [解析] 解法一:設隔墻的長度為xm,則矩形的寬為xm,長為=(12-2x)m, 矩形的面積為 S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, ∴當x=3時,S取最大值,故選A. 解法二:(接解法一)S=(12-2x)x=2(6-x)x ≤22=18 當且僅當6-x=x即x=3時取“=”.故選A. 6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 [答案] D [解析] 因為x,a,b,y成等差數(shù)列,所以a+b=x+y.因為x,c,d,y成等比數(shù)列,所以cd=xy,所以===+2.因為x>0,y>0,所以+2≥+2=4,當且僅當x=y(tǒng)時,等號成立. 二、填空題 7.已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為________. [答案] 18 [解析] 本題考查利用均值不等式求最值的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)條件靈活變形,構(gòu)造定值. ∵log2a+log2b≥1 ∴l(xiāng)og2ab≥1,ab≥2. ∴a2b≥4,∴a+2b≥2≥4(當且僅當a=2b=2時取“=”) 3a+9b=3a+32b≥2=2≥2=18. (當且僅當a=2b=2時取“=”) 8.若x<3,則實數(shù)f(x)=+x的最大值為________. [答案] -1 [解析] ∵x<3,∴x-3<0. ∴f(x)=+x=+(x-3)+3 =-[+(3-x)]+3 ≤-2+3=-1, 當且僅當=3-x,即x=1時取“=”號. ∴f(x)的最大值為-1. 三、解答題 9.已知a、b、c∈(0,+∞),且a+b+c=1, 求證:(-1)(-1)(-1)≥8. [證明] ∵a+b+c=1,代入不等式的左端, ∴(-1)(-1)(-1) =(-1)(-1)(-1) =(+)(+)(+) =++++++2 =(+)+(+)+(+)+2. ∵a、b、c∈(0,+∞),∴+≥2, +≥2,+≥2, ∴(+)+(+)+(+)≥6, ∴(-1)(-1)(-1)≥8, 當且僅當a=b=c=時,等號成立. 10.設a≥0,b≥0,a2+=1,求a的最大值. [解析] ∵a2+=1, ∴a2+=,a=a ≤==. ∴當a2+=1且a=, 即a=,b=時,a的最大值為. 一、選擇題 1.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),則a+b的取值范圍是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) [答案] C [解析] 由條件得|lga|=|lgb|, ∴l(xiāng)ga=lgb或lga=-lgb, ∵a≠b,∴l(xiāng)ga=lgb不成立. ∴只有l(wèi)ga=-lgb. 即lga+lgb=0,∴ab=1,b=. 又a>0,∴a+b=a+>2,故選C. 2.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] [答案] D [解析] 因為2x>0,2y>0,所以1=2x+2y≥2=2,故≤,即2x+y≤=2-2. 所以x+y≤-2,故選D. 3.下列命題中正確的是( ) A.函數(shù)y=x+的最小值為2 B.函數(shù)y=的最小值為2 C.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最小值為2-4 D.函數(shù)y=2-3x-(x>0)的最大值為2-4 [答案] D [解析] 對于A,當x<0時,不成立;對于B,若設=2,則無實數(shù)解;對于C、D,y=2-3x-≤2-4(x>0),當且僅當3x=時,等號成立,故選D. 4.若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則+的最小值為( ) A. B. C.2 D.4 [答案] D [解析] 圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,∴圓的直徑為4,而直線被圓截得的弦長為4,則直線應過圓心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即a+b=1, ∴+=(a+b)=1+1++ ≥2+2=4 (等號在a=b=時成立). 故所求最小值為4,選D. 二、填空題 5.(xx北京市東城區(qū)高三期末)某種飲料分兩次提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價%,若p>q>0,則提價多的方案是________. [答案] 乙 [解析] 設原價為1,則提價后的價格,方案甲:(1+p%)(1+q%),乙:(1+%)2,因為 ≤=1+%,因為p>q>0,所以<1+%,即(1+p%)(1+q%)<(1+%)2,所以提價多的方案是乙. 6.(xx山東文,14)定義運算“?”:x?y=(x,y∈R,xy≠0).當x>0,y>0時,x?y+(2y)?x的最小值為________. [答案] [解析] 由新定義運算知,x?y=, 所以(2y)?x==,因為,x>0,y>0, 所以,x?y+(2y)?x=+=≥=,當且僅當x=y(tǒng)時,x?y+(2y)?x的最小值是. 三、解答題 7.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0. 求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最大值. [解析] (1)xy=2x+8y≥2,當且僅當2x=8y,即x=16,y=4時等號成立, ∴≥8,∴xy≥64. 故xy的最小值為64. (2)由2x+8y=xy,得+=1, ∴x+y=(x+y)1=(x+y)(+) =10++≥10+8=18,當且僅當=, 即x=12,y=6時等號成立, 故x+y的最小值為18. 8.某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈,第一年需要各種費用12萬元.從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元.該船每年捕撈總收入50萬元. (1)問捕撈幾年后總盈利最大,最大是多少? (2)問捕撈幾年后的平均利潤最大,最大是多少? [解析] (1)設船捕撈n年后的總盈利y萬元.則 y=50n-98-[12n+4] =-2n2+40n-98 =-2(n-10)2+102 ∴捕撈10年后總盈利最大,最大是102萬元. (2)年平均利潤為=-2 ≤-2=12 當且僅當n=,即n=7時上式取等號. 所以,捕撈7年后的平均利潤最大,最大是12萬元.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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