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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 2.2第2課時 反證法課時作業(yè) 新人教B版選修2-2
一、選擇題
1．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個數(shù)a＋、b＋、c＋( )
A．都大于2 B．至少有一個大于2
C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2
[答案] C
[解析] a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6.故選C.
2．異面直線在同一個平面的射影不可能是( )
A．兩條平行直線 B．兩條相交直線
C．一點與一直線 D．同一條直線
[答案] D
[解析] 舉反例的方法
如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中
A1A與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是點A和直線BC，故排除C；
BA1與B1C1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和BC，故排除B；
BA1與C1D1是兩條異面直線，它們在平面ABCD內(nèi)的射影分別是直線AB和CD，故排除A.故選D.
3．已知x、y∈R，且x2＋y2＝1，則(1－xy)(1＋xy)有( )
A．最小值，而無最大值
B．最小值1，而無最大值
C．最小值和最大值1
D．最大值1和最小值
[答案] D
[解析] 設(shè)x＝cosα，y＝sinα，則(1－xy)(1＋xy)
＝(1－sinαcosα)(1＋sinαcosα)＝1－sin2αcos2α
＝1－sin22α∈[，1]．
4．用反證法證明命題“如果a>b>0，那么a2>b2”時，假設(shè)的內(nèi)容應是( )
A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2
0”是“P、Q、R同時大于零”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 首先若P、Q、R同時大于零，則必有PQR>0成立．
其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，則必有兩個為負，不妨設(shè)P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故選C.
8．用反證法證明某命題時，對其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為( )
A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)
B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)
C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)
D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
[答案] D
[解析] “自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶，故其反面應為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù)，故選D.
二、填空題
9．設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.用反證法證明此題時應假設(shè)____________________．
[答案] |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于
10．完成反證法證題的全過程．
題目：設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個排列．
求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．
證明：反設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．①
因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有
奇數(shù)＝________________________________②
＝________________________________③
＝0.
[答案] ①a1－1，a2－2，…，a7－7
②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)
11．設(shè)實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個數(shù)不小于________．
[答案]
[解析] 假設(shè)a、b、c都小于，則a＋b＋c<1.
故a、b、c中至少有一個數(shù)不小于.
三、解答題
12．求證：若x，y，z均為實數(shù)，且a＝4y－x2－，b＝4z－y2－，c＝4x－z2－2π，求證：a，b，c中至少有一個小于零．
[證明] 假設(shè)a，b，c都不小于零，則a＋b＋c≥0.
所以a＋b＋c＝(4y－x2－)＋(4z－y2－)＋(4x－z2－2π)＝－[(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]－4π＋12≥0.
因為－[(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]≤0，
所以－4π＋12≥0，
即4π≤12，這與基本事實4π>12矛盾．
故a，b，c中至少有一個小于零.
一、選擇題
1．實數(shù)a，b，c不全為0的含義是( )
A．a(chǎn)，b，c均不為0
B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0
C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0
D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0
[答案] D
[解析] “不全為0”即“至少有一個不為0”．
2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
[答案] A
[解析] 本題考查命題的非的寫法．
至少有一個實根的否定為：沒有實根．
反證法的假設(shè)為原命題的否定．
3．已知x>0，y>0，x＋y≤4，則有( )
A.≤ B．＋≥1
C.≥2 D．≥1
[答案] B
[解析] 由x>0，y>0，x＋y≤4得≥，A錯；x＋y≥2，∴≤2，C錯；xy≤4，∴≥，D錯．
4．已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a>b，那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項的個數(shù)是( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．無窮多個
[答案] A
[解析] 假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的兩項，即存在n∈N*，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有an>bn，從而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n∈N*，使得an＝bn.故應選A.
二、填空題
5．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是________．
[答案] 存在一個三角形，其外角至多有一個鈍角
6．用反證法證明命題“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個步驟是________．
[答案] 假設(shè)CD與EF不平行
7．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應為__________________．
[答案] 假設(shè)a、b都不能被5整除
三、解答題
8．若x>0，y>0，且x＋y>2，求證<2和<2中至少有一個成立．
[解析] 假設(shè)都不成立，即有≥2且≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2矛盾．
∴假設(shè)不成立，原命題成立，
即<2和<2中至少有一個成立．
9．求證：當x2＋bx＋c2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根時，bc≠0.
[證明] 假設(shè)bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程變?yōu)閤2＝0；則x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的兩根，這與方程有兩個不相等的實數(shù)根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程變?yōu)閤2＋c2＝0；但c≠0，此時方程無解，與x2＋bx＋c2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程變?yōu)閤2＋bx＝0，方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與方程有兩個非零實根矛盾．
綜上所述，可知bc≠0.
10．(xx湖南理，16)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．
[證明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2；
(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0得0
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第2章
2.2第2課時
反證法課時作業(yè)
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