蘇教版高三數學復習課件數列的綜合應用.ppt

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1．了解數列的概念和幾種簡單的表示方法． 2．了解數列是自變量為正整數的一類函數． 3．能在具體的問題情境中，識別數列的等差、等比關系，并能用有 關知識解決相應的問題．,第5課時 數列的綜合應用,【命題預測】,有關等差、等比數列的考查在高考中主要是探索題、綜合題和應用 題．考生應具有針對 性地進行訓練，并從“注重數學思想方法、強化運算能力、重點知識重 點練”的角度做 好充分準備．同時，對于數列與解析幾何的綜合題型要予以充分重視．,【應試對策】,1．在解決有關數列的具體應用問題時： (1)要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數學實質，舍棄與解題無關的非本質性東西； (2)準確地歸納其中的數量關系，建立數學模型； (3)根據所建立的數學模型的知識系統(tǒng)，解出數學模型的結果； (4)最后再回到實際問題中去，從而得到答案．,2．在求數列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：(1)直接用公式求 和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程． (2)注意觀察數列的特點和規(guī)律，在分析數列通項的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和． (3)求一般數列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數列的前n項和的求法，觸類旁通．,3．在用觀察法歸納數列的通項公式(尤其是在處理客觀題目時)時，要注 意適當地根據具體問題多計算相應的數列的前幾項，否則會因為所計算的數列的項數過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結論．,【知識拓展】,1．求由遞推公式所確定的數列的通項，通?？赏ㄟ^對遞推關系的一系列變換， 構造出一個新數列，轉化成等差或等比數列或與之類似的問題來求解． (1)遞推式為an＋1＝pan＋qn(其中p，q是常數)通?？梢詢蛇呁瑫r除以 qn＋1(q≠0)，得到數列 ，令bn＝ ，得到數列bn＋1＝ ，從而問題可解．,(2)遞推式為an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q是常數)，通常設 ＝ ，則可由α＋β＝p，αβ＝－q，求得α，β，從而構 造出數列{ }得以求解． (3)遞推式為Sn與an間的關系式時，通常要考慮利用an＝ 將已 知關系轉化為{an}或{Sn}的項間的關系，從而求解．,1．數列的概念：按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一 個數叫做這個數列的項． 2．數列中排在第一位的數稱為這個數列的第1項(或首項)，排在第二位的 數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項． 3．數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}． 4．數列的分類：有窮數列與無窮數列，遞增數列、遞減數列、常數列與擺動數列． 5．數列的通項公式：如果數列的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．,6．數列的遞推公式：如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一 項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的 遞推公式．,8．數列作為特殊的函數，在解決實際問題過程中有著廣泛的應 用，如人口增長問題、存款利率問題、分期付款問題．利用等差數列和等比數列還可以解決一些簡單的已知數列的遞推關系求其通項公式等問題．,7．數列的表示方法：列表法、圖象法、通項公式法、遞推公式法．,1．某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6 個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律進行下去， 6小時后細胞存活的個數是________． 解析：設開始的細胞數和n小時后的細胞數構成的數列為{an}． 則 即 ＝2.則{an－1}構成等比數列 ∴an－1＝12n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65. 答案：65,2．已知等差數列{an}的公差為－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋ a6＋a9＋…＋a99＝________. 解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33(－4) ＝50＋(－132)＝－82. 答案：－82,3．數列{an}中，若a1＝ ，an＝ (n≥2，n∈N)，則a2 007的值為________． 解析：a1＝ ，a2＝2，a3＝－1，a4＝ ，…，可推測數列{an}以3為周期， ∵2 007＝3669，∴a2 007＝a3＝－1.也可直接推出an＋3＝an. 答案：－1,4．在數列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)， 則a2 007等于________． 解析：∵ ∴an＋3＝－an， ∴an＋6＝ －an＋3＝an.即an是周期為 6的數列． ∴a2 007＝a6334＋3＝a3＝a2－a1＝4. 答案：4,5．北京市為成功舉辦2008年奧運會，決定從2003年到2007年5年間更新市內現(xiàn) 有全部出租車，若每年更新的車輛數比前一年遞增10%，則2003年底更新的 車輛數約為現(xiàn)有總車輛數的________(參考數據1.14＝1.46,1.15＝1.61)． 解析：設市內全部出租車輛為b,2003年底更新的車輛為a，則2004年更新的 車輛為a(1＋10%)，2005年更新的車輛為a(1＋10%)2,2006年更新的車輛為 a (1＋10%)3,2007年更新的車輛為a(1＋10%)4，由題意可知： a＋a(1＋10%) ＋a(1＋10%)2＋a(1＋10%)3＋a(1＋10%)4＝b， ∴a(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝b?a＝b， ∴ ≈16.4%.故2003年底更新的車輛數約為現(xiàn)有總車輛數的16.4%. 答案：16.4%,1．等差數列與等比數列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是 等差、等比數列的通項公式，前n項和公式以及等差中項，等比中項 問題是歷年命題的熱點． 2．利用等比數列前n項和公式時注意公比q的取值．同時對兩種數列的 性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質，可降低題目的難度，解 題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解．,,【例1】 設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和， 已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數列． (1)求數列{an}的通項；(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求數 列{bn}的前n項和Tn. 思路點撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項a1； (2)結合對數的運算，判斷數列{bn}是等差數列，再求和．,解：(1)由已知得： 解得a2＝2. 設數列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝ ，a3＝2q，又S3＝7， 可知 ＋2＋2q＝7， 即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝ . 由題意得q1，∴q＝2.∴a1＝1.故數列{an}的通項為an＝2n－1. (2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n. ∴bn＝ln 23n＝3nln 2，又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝ln 2.故Tn＝ln 2.,【例2】 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項 為4，公差為2的等差數列． (1)設a為常數，求證：{an}成等比數列； (2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項和是Sn，當a＝ 時，求Sn. 思路點撥：利用函數的有關知識得出an的表達式，再利用表達式解決 其他問題．,解：(1)證明：f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2. ∴ ＝a2(n≥2)，為定值．∴{an}為等比數列． (2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2. 當a＝ 時，bn＝(2n＋2)( )2n＋2＝(n＋1)2n＋2. Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2 ① 2Sn＝224＋325＋426＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3 ② ①－②得－Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3 ＝16＋ －(n＋1)2n＋3＝16＋2n＋3－24－n2n＋3－2n＋3＝ －n2n＋3.∴Sn＝n2n＋3.,變式1：已知實數列{an}是等比數列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差 數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)數列{an}的前n項和記為Sn，證明Sn＜128(n＝1,2,3，…)．,解：(1)設等比數列{an}的公比為q(q∈R)， 由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2， a6＝a1q5＝q－1. 因為a4，a5＋1，a6成等差數列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)， 即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)． 所以q＝ .故an＝a1qn－1＝q－6qn－1＝64 n－1. (2)證明：Sn＝ ＝ ＜128.,2．已知數列{an}滿足a1＝2，且點(an，an＋1)在函數f(x)＝x2＋2x的圖象 上，其中n＝1,2,3，…. (1)證明：數列{lg(1＋an)}是等比數列； (2)設Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數列{an}的通項．,解：(1)證明：由已知an＋1＝ ＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1＞1， ∴l(xiāng)g(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)．∴數列{lg(an＋1)}是公比為2的等比數列． (2)由(1)知 ∴Tn＝ ，an＝,解決數列的應用問題必須準確探索問題所涉及的數列類型： (1)如果問題所涉及的數列是特殊數列(如等差數列、等比數列， 或與等差、等比有關的數列等)，應首先找出數列的通項公式． (2)如果問題所涉及的數列不是某種特殊數列，一般應考慮先建立 數列的遞推關系(即an與an－1的關系)． (3)解決數列的應用問題必須準確計算項數，例如與“年數”有關的問題， 必須確定起算的年份，而且應準確定義an是表示“第n年”還是“n年后”．,【例3】 從社會效益和經濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設， 并以此發(fā)展旅游產業(yè)．根據規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將會 比上年減少 .本年度當地旅游業(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游 業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 .,(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出 an，bn的表達式； (2)至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 思路點撥：(1)寫出a1，b1，a2，b2，…，由此得出an，bn的表達式． (2)解不等式bn－an0，求n的最小值．,解：(1)第1年投入800萬元，第2年投入為800 萬元，…，第n年投入為800 n－1萬元，所以，n年內的總投入an＝800＋800 ＋…＋800n－1＝4 000 . 第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400 萬元，… 第n年旅游業(yè)收入為400 n－1萬元．所以，n年內的旅游業(yè)總收入 bn＝400＋400 ＋…＋400 n－1＝1 600 .,(2)設至少經過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0， 即1 600 －4 000 ＞0，化簡得，5 n＋2 n －7＞0， 設x＝ n，代入上式得5x2－7x＋2＞0， 解此不等式，得x＜ ，x＞1(舍去)，即 n＜ ，由此得n≥5. ∴至少經過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．,變式3：如下圖所示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？,解：設將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走路程為 10(x－1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x－2)，…，從第x面處到第(x＋1)面處的路程為20，從第x面處到第(x＋2)面取旗再到第x面處，路程為202，…，總的路程為S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋202＋201＋20＋202＋…＋20(13－x),＝10(x－1)＋20 ＋20 ＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1) ＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝ 20 ∵x∈N*，∴x＝7時，S有最小值S＝780(m)．∴將旗集中到第7面小旗處， 所走路程最短.,1．深刻理解等差(比)數列的性質，熟悉它們的推導過程是解題的關 鍵．兩類數列性質有類似的部分，又有區(qū)別，要在應用中加強記 憶．同時，用好性質也會降低解題的運算量，從而減少差錯． 2．等比數列的前n項和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1， 最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習． 3．在等差數列與等比數列中，經常要根據條件列方程(組)求解，在解方程 組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處．,【規(guī)律方法總結】,4．數列的滲透力很強，它和函數、方程、三角、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu) 化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對蘊藏在數列概念和 方法中的數學思想有所了解，深刻領悟它在解題中的重大作用，常用的數學思 想方法有：“函數與方程”“數形結合”“分類討論”“等價轉換”等． 5．在現(xiàn)實生活中，人口的增長，產量的增加、成本的降低、存貸款利息的 算、分期付款問題等，都可以利用數列解決，因此要會在實際問題中抽象出數 學模型，并用它解決問題.,【高考真題】,【例4】 (2009全國卷Ⅱ)設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證明數列{bn}是等比數列； (2)求數列{an}的通項公式． 分析：本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以得到an的遞推式，再用 bn＝an＋1－2an代入即證；第(2)問將bn的通項公式代入bn＝an＋1－2an，可得an的遞推式，再依照題型模式求解即可．,規(guī)范解答：(1)由已知得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5， 故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2) ＝4an＋1－4an， 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， 即bn＋1＝2bn. 因此數列{bn}是首項為3，公比為2的等比數列．,(2)由(1)知等比數列{bn}中b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝32n－1，于是 因此數列 是首項為 ，公差為 的等差數列， 所以an＝(3n－1)2n－2.,【命題探究】,【全解密】,求解等差、等比數列的通項公式是高考的常考題型．但是，作為以“能力立意”為命題思路的高考試題，往往會在試題的命制上對考生的思維能力提出更高的要求．本題的命題構思非常簡捷，給出數列{an}的初始值a1＝1和一個遞推關系式Sn＋1＝4an＋2，由此可以探究數列{an}的通項公式，但思維的跨度較大，且考查形式單一．于是，命題人設計了一個過渡關系式bn＝an＋1－2an，由此可以考查等比數列．,【誤點警示】,本題的求解過程有兩個常見的思維錯誤： (1)由于在平時的學習中，我們常常接觸到an與Sn的遞推式an＝ Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)，于是沒有注意到本題的題目形式特點， 將an＝Sn－Sn－1直接代入，從而出現(xiàn)下標的混亂．其實只要將an＋1＝ Sn＋1－Sn(n∈N*)代入就不會使下標不一致了．所以注意下標的特點是求 解這類問題的關鍵．,(2)得到遞推式an＋1－2an＝32n－1后，不會轉化成等差數列 求解，只是看到等式右邊是一個等比數列的形式，可以求和，于是結合平時的做題經驗，企圖利用疊加法求和，使計算繁瑣且不能成功．所以我們在平時的學習時要注意積累并理解常見題型的特點、求解的基本思路和方法，高考時才不會出現(xiàn)思維混亂，顧此失彼.,1．設等比數列{an}的公比為q，前n項和Sn＞0(n＝1,2，…) (1)求q的取值范圍； (2)設bn＝an＋2－ an＋1，記{bn}的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小． 分析：對于第一個問題，應依據等比數列的前n項和公式將和表示出 來，從而問題轉化為解不等式；對于第二個問題，要注意兩個數列間的 關系，表示出bn，從而找到兩個數列的前n項和間的關系，從而比較其大?。?解：(1)由于數列{an}是等比數列，且Sn＞0，∴a1＝S10，q≠0， 當q＝1時，Sn＝na1＞0；當q≠1時，Sn＝ ＞0， 即 ＞0(n＝1,2,3，…)， 上式等價于 ，(n＝1,2,3，…)， ① 或 ，(n＝1,2,3，…)， ② 解①，得q＞1；解②，由于n可為偶數，得－1＜q＜1. 綜上所述，q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)．,(2)由bn＝an＋2－ an＋1，得bn＝an ，Tn＝ Sn 于是Tn－Sn＝Sn (q－2)Sn，又∵Sn＞0， 且－1＜q＜0或q＞0， 當－1＜q＜－ 或q＞2時，Tn－Sn＞0即Tn＞Sn； 當－ ＜q＜2且q≠0時，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn； 當q＝－或q＝2時，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn.,2．已知{an}，{bn}為兩個數列，點M(1,2)，An(2，an)，Bn 為平面直 角坐標系上的點． (1)對n∈N*，若點M，An，Bn在同一直線上，求數列{an}的通項an； (2)在(1)的條件下若數列{an}滿足 ＝2n－3(n∈N*)，求數列{bn}的 前n項和Sn. 分析：三點共線可以利用斜率相等列出等式，求出數列{an}的通項an.,解：(1)由題設知kMAn＝kMBn，由斜率公式得＝ ，解得an＝ 2n(n∈N*)． (2)由題設知a1＋a2＋…＋an＝n(n＋1)，條件中的等式可化為 a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝n(n＋1)(2n－3)， ① 有a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－1)n(2n－5)． ② ①－②得bn＝3n－4(n≥2)．當n＝1時，a1b1＝12(－1)，得b1＝－1. ∴bn＝3n－4(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝3(n∈N*)則數列{bn}是公差為3的等差數列． ∴Sn＝,