2019年高中數學 第四章 導數應用 4.2.1 實際問題中導數的意義學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數學 第四章 導數應用 4.2.1 實際問題中導數的意義學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．一物體運動的路程s與時間t之間的關系為s＝2t，則該物體(　　) A．做勻加速運動 B．做勻減速運動 C．做勻速運動 D．處于靜止狀態(tài) 【解析】　∵s′＝2，∴物體做勻速運動． 【答案】　C 2．圓的面積S是半徑r的函數S(r)＝πr2，那么在r＝3時，面積的變化率是(　　) A．6 B．9 C．9π D．6π 【解析】　面積S在r＝3時的變化率即為S′(3)＝2π3＝6π. 【答案】　D 3．一次降雨過程中，降雨量y是時間t的函數，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示(　　) A．t＝10時的降雨強度 B．t＝10時的降雨量 C．t＝10時的時間 D．t＝10時的溫度 【解析】　f′(t)表示t時刻的降雨強度． 【答案】　A 4．從時刻t＝0開始的t s內，通過某導體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，則第3 s時電流強度為(　　) A．10 C/s B．11 C/s C．12 C/s D．13 C/s 【解析】　∵q′＝4t＋1，∴q′|t＝3＝13，即第3 s時的電流強度為13 C/s. 【答案】　D 5．人在吹氣球時，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加的速度(　　) A．越來越慢 B．越來越快 C．先慢后快 D．先快后慢 【解析】　∵氣球半徑與體積的關系式為r(V)＝， r′(V)＝ 隨著V的增加，r′(V)越來越?。? 【答案】　A 二、填空題 6．某人拉動一物體前行，他所做的功W是時間t的函數W＝W(t)，則W′(t0)表示________． 【解析】　因為功率是功關于時間的導數，故W′(t0)表示t＝t0時的功率． 【答案】　t＝t0時的功率 7．某物體的運動速度與時間的關系為v(t)＝2t2－1，則t＝2時的加速度為________． 【解析】　v(t)＝4t，∴v′(2)＝8. 【答案】　8 8．某收音機制造廠的管理者通過對上午上班工人工作效率的研究表明：一個中等技術水平的工人，從8：00開始工作，t小時后可裝配晶體管收音機的臺數為Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實際意義是________． 【解析】　Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，Q′(2)＝36臺/小時． 【答案】　36臺/小時　10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時 三、解答題 9．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(時間：s)間的關系式為h(t)＝－4t2＋7t＋16. (1)求t從2 s到3 s時，高度關于時間t的平均變化率； (2)求h′(2)，h′(3)，并解釋它們的實際意義． 【解】　(1)∵h(2)＝14，h(3)＝1， ∴t從2 s到3 s時，h關于t的平均變化率為 ＝＝－13(m/s)． (2)∵h′(t)＝－8t＋7， ∴h′(2)＝－9 m/s，h′(3)＝－17 m/s. h′(2)和h′(3)分別表示t＝2 s和t＝3 s時，運動員每秒向下運動的高度為9 m和17 m. 10．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關，其關系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時間(單位：min)． (1)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫下降了多少？ (2)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫下降的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？ (3)求T′(5)，并解釋它的實際意義． 【解】　(1)∵T(10)－T(0)＝＋15－＝－16(℃)， ∴從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的體溫下降了16 ℃. (2)從t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴體溫下降的平均變化率是：＝＝－1.6(℃/min)， 它表示從t＝0 min到t＝10 min這段時間內，蜥蜴體溫平均每分鐘下降1.6 ℃. (3)∵T′(t)＝＝， ∴T′(5)＝－＝－1.2(℃/min)． 它表示t＝5 min時，蜥蜴體溫的下降速度為1.2 ℃/min. [能力提升] 1．設一輛汽車在公路上做加速直線運動，已知速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的函數關系為v＝v(t)＝t3＋2t，則t＝t0時汽車的加速度為(　　) A．t＋2t0 B．3t＋2t0 C．3t＋2 D．t＋2 【解析】　v′(t)＝3t2＋2，當t＝t0時，速度的變化率v′(t0)＝3t＋2(m/s2)，則t＝t0時，汽車的加速度為(3t＋2)m/s2. 【答案】　C 2．如圖421所示，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90 )時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，則函數的圖像大致是(　　) 圖421 【解析】　由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快． 選項A表示面積的增速是常數，與實際不符； 選項B表示最后時段面積的增速較快，與實際不符； 選項C表示開始和最后時段面積的增速比中間時段面積的增速快，與實際不符； 選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際． 【答案】　D 3．一物體按規(guī)律s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若物體在t＝2 s時的瞬時速度為8 m/s，則常數a＝________. 【解析】　∵s′(t)＝2at， ∴物體在t＝2 s時的瞬時速度為4a，即4a＝8， ∴a＝2. 【答案】　2 4．某食品廠生產某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單元：元)都是日產量x(單位：kg)的函數，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤函數，以及當日產量分別為200 kg,250 kg,300 kg時的邊際利潤，并說明其經濟意義． 【解】　(1)根據定義知，總利潤函數為L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2. 所以邊際利潤函數為L′(x)＝5－0.02x. (2)當日產量分別為200 kg,250 kg,300 kg時，邊際利潤分別為L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)． 其經濟意義是：當日產量為200 kg時，再增加1 kg，則總利潤可增加1元；當日產量為250 kg時，再增加1 kg，則總利潤無增加；當日產量為300 kg時，再增加1 kg，則總利潤反而減少1元． 由此可得：當企業(yè)的某一產品的生產量超過了邊際利潤的零點時，反而會使企業(yè)“無利可圖”．