講協(xié)方差相關系數(shù)矩正態(tài)分布.ppt

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,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第十三講,主講教師：張冬梅副教授,浙江工業(yè)大學理學院,4.3 協(xié)方差與相關系數(shù),對于二維隨機向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望與方差之外, 還有一些數(shù)字特征, 用以刻畫X與Y之間的相關程度，其中最主要的就是協(xié)方差和相關系數(shù)。,定義1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，則稱其為X 與Y 的協(xié)方差，記為Cov(X,Y), 即,4.3.1 協(xié)方差,Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1),(3). Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；,(1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；,協(xié)方差性質(zhì),(2). 設 a, b, c, d 是常數(shù)，則 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；,(4). Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ，,(5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) .,當 X 和 Y 相互獨立時，Cov(X, Y)=0；,若 X1, X2, …, Xn 兩兩獨立，則,性質(zhì)(5)可推廣到 n 個隨機變量的情形：,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互間的關系，但它還受X 和Y 本身度量單位的影響。 例如：,Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y).,為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這就引入了相關系數(shù) 。,4.3.2 相關系數(shù),為隨機變量X 和Y 的相關系數(shù) 。,定義2: 設Var(X) 0, Var(Y) 0, 則稱,在不致引起混淆時，記 為 。,相關系數(shù)性質(zhì),證：由方差與協(xié)方差關系，,對任意實數(shù)b, 有,0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)-2b Cov(X,Y ) +Var(Y ), 利用韋達定理得到,1-ρ 2≥ 0, 所以 | ρ |≤1。,由于當 X 和 Y 獨立時，Cov(X, Y)= 0 .,反例：,(2). X 和Y 獨立時, ρ=0，但其逆不真；,但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 獨立。,所以，,證明:,例 1：設 (X,Y) 服從單位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均勻分布，證明： ?XY = 0。,所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 .,同樣，得 E(Y)=0,,此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .,所以，?XY = 0，即 X 與 Y 不相關。,但是，X與Y不獨立。,存在常數(shù)a, b(b≠0)，,使 P{ Y = a+bX } = 1 ，即 X 和 Y 以概率 1 線性相關。,,(3). |ρ|=1,但對下述情形，獨立與不相關是一回事：,前面, 我們已經(jīng)看到：,若X 與Y 獨立，則X 與Y 不相關；但由X與Y 不相關，不一定能推出X與Y獨立。,若(X, Y )服從二維正態(tài)分布，則X 與Y 獨立的充分必要條件是X與Y不相關。,定義1：設X是隨機變量, 若E(Xk) 存在(k =1, 2, …), 則稱其為X 的 k 階原點矩；若 E{[X-E(X)]k} 存在(k = 1,2, …), 則稱其為X的 k 階中心矩。,4.3 矩與協(xié)方差矩陣,4.3.1 矩,易知：X 的期望 E(X) 是 X 的一階原點 矩，方差Var(X) 是 X 的二階中心矩。,4.4 n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：,(1). X =(X1, X2, …, Xn) 服從 n 元正態(tài)分布,,對一切不全為 0 的實數(shù) a1, a2, …, an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 服從正態(tài)分布。,(2). 若 X=(X1,X2, …,Xn)服從n 元正態(tài)分布，,Y1,Y2,…,Yk 是 Xj (j=1, 2,…, n)的線性組合,,則(Y1,Y2, …, Yk)服從k 元正態(tài)分布。,這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性。,,,(3). 設(X1,X2, …,Xn)服從n元正態(tài)分布，則,“X1,X2, …,Xn兩兩不相關”。,“X1, X2, …, Xn 相互獨立” 等價于,例2: 設隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(1, 2), Y~N(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。,,知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且,解: 由X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X與Y相互獨立,,Var(Z) = 4Var(X)+Var(Y) = 8+1 = 9,,E(Z) = 2E(X)-E(Y)+3 = 2-0+3=5 ，,故，Z~N(5, 32) .,Z 的概率密度為,小結,協(xié)方差及相關系數(shù)的概念、性質(zhì)和計算； 隨機變量矩(k 階原點矩、 k 階中心矩)； n 元正態(tài)分布的概念和三條重要性質(zhì)。,