八年級數(shù)學上冊13全等三角形教學案冀教版.doc

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教學資料參考范本 八年級數(shù)學上冊 13 全等三角形教學案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.了解逆命題與逆定理的含義,能夠判斷真命題與假命題,感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結(jié)論的確定性. 2.了解全等圖形的概念,能識別全等多邊形(三角形)的對應頂點、對應角、對應邊,知道全等多邊形(三角形)的對應邊、對應角分別相等. 3.熟練掌握三角形全等的判定方法,并會運用這些判定方法判定兩個三角形全等. 4.了解尺規(guī)作圖的步驟,能利用基本作圖方法作三角形. 5.在教學中,注意知識的形成過程和所學內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系;注重讓學生經(jīng)歷操作、觀察、推理、想象等探索過程. 1.通過探究知識的過程,了解全等圖形和全等三角形的判定,以及尺規(guī)作圖之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.使學生有效地使用邏輯推理的方式認識幾何圖形,知道證明的過程可以有不同的表達方式,學會演繹推理證明的格式. 3.掌握全等三角形的證明思路和方法. 1.讓學生通過動手操作,感受知識的形成過程,樹立認真的學習態(tài)度,激發(fā)學生的學習熱情. 2.利用小組合作學習的方法,在學習中多與同學進行交流,多種感官參與教學,主動探索,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,歸納概括,形成能力,養(yǎng)成學數(shù)學、愛數(shù)學的情感. 學生已經(jīng)學過線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關(guān)知識,這些為學習命題和全等三角形的有關(guān)內(nèi)容做了準備.通過本章的學習,可以豐富和加深學生對已學圖形的認識.全等三角形是研究圖形的重要工具,學生只有掌握了全等三角形的相關(guān)知識,并且能夠靈活運用它,才能學好以后要學的四邊形.在本章中,全等三角形的判定既是重點,也是難點,同時也是中考的熱點.全等三角形在中考中主要考查全等三角形的判定證明,并會將有關(guān)知識應用到綜合題的解題過程中去,如把某些問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題求解,能從復雜的圖形中尋求全等的三角形以獲得自己需要的信息也是中考的要點. 【重點】 1.命題、定理的有關(guān)概念. 2.全等三角形的性質(zhì)及各種判定三角形全等的方法. 3.證明的基本過程. 4.尺規(guī)作圖. 【難點】 1.根據(jù)不同條件合理選用三角形全等的判定方法,特別是對“SSA”不能判定三角形全等的認識. 2.證明的格式. 1.在命題與證明的教學中,要讓學生通過大量的例子,分清命題的條件和結(jié)論,讓學生逐步熟悉命題的形式,要通過學生自主探索、合作交流,讓學生歸納出舉反例判斷假命題的方法,在進行定理的教學時,還應讓學生確認可以通過邏輯推理證明的真命題才有可能作為定理,成為以后證明的依據(jù). 2.對全等三角形的教學時,要引導學生正確分類,能根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出三角形,通過比較,直觀感知全等三角形的判定方法,同時也要讓學生能通過說理確認全等三角形的判定方法的正確性.在證明的過程中要指導學生注意規(guī)范書寫格式,規(guī)范推理過程,讓學生的推理過程有理有據(jù),同時要注重分析思路,讓學生學會思考問題,讓學生學會對問題有清晰的思路過程.有必要養(yǎng)成固定的思考過程模式,如:證等角——全等三角形——找到相關(guān)三角形——找全等條件——聯(lián)系已知條件. 3.在教學尺規(guī)作圖時,應要求學生采用先畫草圖分析作法,再進行尺規(guī)作圖;對于“作一個角等于已知角”的教學時,要注意引導學生進行分析,要讓學生先自主探究,后合作交流,同時要讓學生在動手操作的基礎上總結(jié)作圖的步驟. 13.1命題與證明 1課時 13.2全等圖形 1課時 13.3全等三角形的判定 4課時 13.4三角形的尺規(guī)作圖 1課時 回顧與思考 1課時 13.1　命題與證明 1.理解逆命題的概念,能夠判斷命題的真假. 2.會把命題改寫成“如果……那么……”的形式. 3.了解逆定理及證明的概念,會對一個真命題進行證明. 1.感受幾何中推理的嚴謹性,掌握推理的方法. 2.通過對幾何問題的演繹推理,體會證明的必要性,培養(yǎng)學生的邏輯推理能力. 通過積極參與,獲取正確的數(shù)學推理方法,理解數(shù)學的嚴謹性,并培養(yǎng)與他人合作的意識. 【重點】 1.讓學生弄清命題的條件和結(jié)論,熟悉命題的形式. 2.理解逆定理和證明的概念,能進行簡單的證明. 【難點】　理解證明的必要性. 【教師準備】　課件1~5. 【學生準備】　復習以前學過的幾何定理等知識. 導入一: 情境:小亮和小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學》. 小亮:“哈!這個黑客終于被逮住了.” 小剛:“是的,現(xiàn)在網(wǎng)絡廣泛應用于我們的生活中,給我們帶來了方便,但…”. 坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話,一邊也在悄悄議論著. “這個黑客是小偷嗎?” “可能是喜歡穿黑衣服的賊.” 你聽完這節(jié)片段的故事,有何想法? 同學們各抒己見,老師給予同學的各種回答評價后,發(fā)表自己的看法:在日常生活中,我們會遇到許多概念,假如不對這些概念下定義,別人就無法理解這些概念的含義,以致無法正常地進行交流.同樣,在數(shù)學學習中,要進行嚴格的論證,也必須首先對所涉及的概念下定義.本節(jié)我們就一起學習命題與證明. 導入二: 在電影《流浪者》中,法官和流浪者有這樣一段對話,法官說:“賊的兒子永遠是賊,因為你是賊的兒子,所以永遠是賊.”同學們,法官這個推理對嗎?顯然是錯誤的,你知道這個荒謬的結(jié)論錯在哪里嗎?學完本節(jié)課“命題與證明”你就會明白了. [設計意圖]　通過風趣幽默的對話,讓學生感知證明的重要性,從而激發(fā)學生的求知欲望,能夠更好地投入到本節(jié)課的學習之中,為學習本節(jié)課的知識做好鋪墊. 導入三: 師:我們已經(jīng)學過一些圖形的特性,如“三角形的內(nèi)角和等于180度”“三條邊相等的三角形是等邊三角形”等.根據(jù)我們已學過的圖形的特性,試判斷下列句子是否正確. 1.如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等. 2.兩直線平行,同位角相等. 3.同旁內(nèi)角相等,兩直線平行. 4.平行四邊形的四條邊相等. 5.直角都相等. [設計意圖]　通過對以前學過知識的掌握能夠判斷一個命題的真假,初步感知真命題和假命題,從而自然地引入新知. 活動一:真假命題與互逆命題 思路一 【課件1】　觀察下面兩個命題: (1)兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行; (2)兩條直線被第三條直線所截,如果這兩條直線平行,那么同位角相等. 引導學生思考: (1)在這兩個命題中,其中一個命題的條件和結(jié)論,與另一個命題的條件和結(jié)論有怎樣的關(guān)系? (2)請再舉例說明兩個具有這種關(guān)系的命題. 歸納:像這樣,一個命題的條件和結(jié)論分別為另一個命題的結(jié)論和條件的兩個命題,稱為互逆命題. 在兩個互逆的命題中,如果我們將其中一個命題稱為原命題,那么另一個命題就是這個原命題的逆命題. 讓學生完成教材第32頁“做一做”,指出原命題和逆命題的真假性. 教師在學生思考的基礎上指導學生注意語言的規(guī)范性和邏輯性. [知識拓展]　每一個命題都有逆命題,只要將原命題的條件改成結(jié)論,并將結(jié)論改成條件,便可得到原命題的逆命題,但有很多命題的逆命題并不是簡單地將原命題的條件與結(jié)論互換,必須正確運用數(shù)學語言. 強調(diào):每個命題都有逆命題,但原命題正確,它的逆命題未必正確.要說明一個命題是假命題,只要舉出反例就可以了. 例如:“若,則a=b”這個命題是假命題,只要舉出兩個數(shù)的絕對值相等,但這兩個數(shù)不相等的情況就可以判斷這個命題是假命題.如:,但5≠-5. 讓學生舉出反例說明:“如果a+b>0,那么a-b>0”是個假命題. [設計意圖]　明確真、假命題與互逆命題,通過區(qū)分兩類概念,從中體會要說明一個命題是假命題,只要舉出一個反例就可以了,培養(yǎng)學生舉反例進行說明的能力. 思路二 　　[過渡語]　剛才通過實例,我們初步了解了推理的重要性,首先我們來學習真假命題與互逆命題. 1.命題的條件和結(jié)論 教師講解:在數(shù)學中,許多命題是由已知條件、結(jié)論兩部分組成的.條件是已知事項,結(jié)論是由已知事項推出的事項.這樣的命題?？梢愿膶懗伞叭绻敲础钡男问?用“如果”開始的部分是條件,“那么”開始的部分是結(jié)論. 有的命題的條件和結(jié)論不十分明顯,可以將它寫成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的條件和結(jié)論了.例如:命題“直角都相等”可以寫成“如果兩個角是直角,那么這兩個角相等”. 【課件2】　下列命題的條件是什么?結(jié)論是什么? (1)對頂角相等. (2)如果a>b,b>c,那么a=c. 引導學生把(1)先改寫成“如果……那么……”的形式,再確定條件和結(jié)論. 解:(1)條件:兩個角是對頂角.結(jié)論:這兩個角相等. (2)條件:a>b,b>c,結(jié)論:a=c. 2.真假命題 　　[過渡語]　命題有真命題和假命題,真命題就是條件成立,結(jié)論也一定成立的命題;而假命題是條件成立時,不能保證結(jié)論總是成立的命題.請同學們看下面的問題. 【課件3】　判斷下列句子是否正確. (1)三角形的內(nèi)角和是180度. (2)同位角相等. (3)同角的余角相等. (4)一個銳角與一個鈍角的和是180度. 讓學生根據(jù)已有的知識進行判斷,并說明理由. 3.互逆命題 教師講解:例如“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”這個命題,條件為“如果兩條直線被第三條直線所截,且兩直線平行”,結(jié)論是“那么內(nèi)錯角相等”.如果把這個命題的條件和結(jié)論互換一下位置,新句子也是一個命題,這時條件為“如果兩條直線被第三條直線所截,內(nèi)錯角相等”,結(jié)論變?yōu)椤澳敲催@兩條直線平行”.這樣我們就說后一個命題是前一個命題的逆命題,前一個命題也是后一個命題的逆命題.這兩個命題互為逆命題. 一般來說,在兩個命題中,如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個命題叫做這個原命題的逆命題. 活動二:證明與互逆定理 　　[過渡語]　要說明一個命題是真命題,則要從命題的條件出發(fā),根據(jù)已經(jīng)學過的基本事實、定義、性質(zhì)和定理等,進行有理有據(jù)的推理,這種推理叫做證明. 【課件4】　證明:平行于同一條直線的兩條直線平行. 讓學生首先判斷這個命題的真假性,引導學生分析討論證明的方法. 說明:教師要重點關(guān)注學生的證明過程的書寫是否符合要求. 已知:如圖所示,直線a,b,c,a∥c,b∥c. 求證:a∥b. 證明:如圖所示,作直線d,分別與直線a,b,c相交. ∵a∥c(已知), ∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等). ∵b∥c(已知), ∴∠2=∠3(兩直線平行,同位角相等). ∴∠1=∠3(等量代換). ∴a∥b(同位角相等,兩直線平行). 即平行于同一條直線的兩條直線平行. 一般地,證明命題按如下步驟進行: (1)依據(jù)題意畫圖,將文字語言轉(zhuǎn)換為符號(圖形)語言;(2)根據(jù)圖形寫出已知、求證;(3)根據(jù)基本事實、已有定理等進行證明. 教師講解:如果一個定理的逆命題是真命題,那么這個逆命題也就成了定理.這兩個定理叫做互逆定理,其中一個定理叫做另一個定理的逆定理. 我們已經(jīng)知道命題“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”和它的逆命題“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”都是真命題,所以它們都是定理,因此它們就是互逆定理. 你能舉出我們學過的一些互逆定理嗎? 一個假命題的逆命題可以是真命題,甚至可以是定理.例如:“相等的角是對頂角”是假命題,但它的逆命題“對頂角相等”是真命題,且是定理. 指導學生完成教材第33頁“做一做”. 【課件5】　已知:如圖所示,點O在直線AB上,OD,OE分別是∠AOC,∠BOC的平分線. 求證:OD⊥OE. 證明:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC, ∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC, ∴∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=180=90, 即∠DOE=90, ∴OD⊥OE. [設計意圖]　通過做一做鍛煉學生的邏輯思維能力,鞏固所學的知識,同時培養(yǎng)學生的合作探究精神和歸納總結(jié)的能力,讓學生理解定理可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù). 命題的組成 每一個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成的,條件是已知事項,結(jié)論是由已知事項推斷出的事項. 注意:對每一個討論的命題,其條件和結(jié)論不一定只有一個. 真命題、假命題、反例 正確的命題稱為真命題;錯誤的命題稱為假命題;舉一個例子,其具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,這種例子稱為反例. 注意:要說明一個命題是假命題,通常舉出反例來說明. 互逆命題與互逆定理 一般來說,在兩個命題中,如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫做互逆命題.如果一個定理的逆命題是真命題,那么這個逆命題也就成了定理,這兩個定理叫做互逆定理,其中一個定理叫做另一個定理的逆定理. 注意:任何一個命題都有逆命題,但任何一個定理不一定有逆定理. 證明的一般步驟 (1)畫圖;(2)寫出已知、求證;(3)證明. 注意:證明要做到有理有據(jù). 1.下列命題的逆命題一定成立的是 (　　) ①對頂角相等; ②同位角相等,兩直線平行; ③若a=b,則|a|=|b|; ④若x=3,則x2-3x=0. A.①②③ B.①④ C.②④ D.② 解析:①對頂角相等,逆命題為:相等的角為對頂角,錯誤;②同位角相等,兩直線平行,逆命題為:兩直線平行,同位角相等,正確;③若a=b,則|a|=|b|,逆命題為:若|a|=|b|,則a=b,錯誤;④若x=3,則x2-3x=0,逆命題為:若x2-3x=0,則x=3,錯誤.故選D. 2.命題:①對頂角相等;②垂直于同一條直線的兩直線平行;③相等的角是對頂角;④同位角相等.其中假命題有 (　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析:對頂角相等,所以①為真命題;在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩直線平行,所以②為假命題;相等的角不一定是對頂角,所以③為假命題;兩直線平行,同位角相等,所以④為假命題.故選C. 3.已知三條不同的直線a,b,c在同一平面內(nèi),下列四個命題: ①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c; ③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c; ④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c. 其中真命題的是　　　　.(填寫所有真命題的序號) 解析:分析所給命題是否為真命題,需要分析條件是否能推出結(jié)論,從而利用排除法得出答案.故填①②④. 4.命題“如果n是整數(shù),那么2n是偶數(shù)”的條件是　　　　,結(jié)論是　　　　,這是　　　　命題(填“真”或“假”). 解析:命題寫成“如果…,那么…”的形式時,“如果”后面接的部分是條件,“那么”后面接的部分是結(jié)論.依此可寫出命題“如果n是整數(shù),那么2n是偶數(shù)”的條件和結(jié)論.根據(jù)偶數(shù)的定義可知該命題是真命題. 答案:n是整數(shù)　2n是偶數(shù)　真 5.如圖所示,直線AB和直線CD、直線BE和直線CF都被直線BC所截.在下面三個條件中,請你選擇其中兩個作為條件,剩下的一個作為結(jié)論,組成一個真命題并證明. ①AB⊥BC,CD⊥BC,②BE∥CF,③∠1=∠2. 解析:可以由①②得到③:由AB⊥BC,CD⊥BC得到AB∥CD,利用平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠DCB,又BE∥CF,所以∠EBC=∠FCB,所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,即∠1=∠2. 解:(答案不唯一)已知:如圖所示,AB⊥BC,CD⊥BC,BE∥CF. 求證:∠1=∠2. 證明:∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB, 又∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB, ∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB, ∴∠1=∠2. 13.1　命題與證明 活動一:真假命題與互逆命題 活動二:證明與互逆定理 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第34頁練習第1,2題. 【選做題】 教材第34頁習題第1,2,3題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.下列語句中,不是命題的是 (　　) A.兩點之間線段最短 B.對頂角相等 C.不是對頂角不相等 D.連接A,B兩點 2.舉一個反例說明“一個角的余角大于這個角”是假命題,其中錯誤的是 (　　) A.設這個角是45,它的余角是45,但45=45 B.設這個角是30,它的余角是60,但30<60 C.設這個角是60,它的余角是30,但30<60 D.設這個角是50,它的余角是40,但40<50 3.以下說法正確的有:　　　　(只填序號). ①垂線段最短; ②在平面內(nèi),若a⊥b,b⊥c,則a∥c; ③“同旁內(nèi)角互補,兩直線平行”的條件是“同旁內(nèi)角互補”,結(jié)論是“兩直線平行”; ④過一點有且只有一條直線平行于已知直線. 4.已知下列命題:①相等的角是對頂角;②互補的兩個角一定是一個銳角,另一個是鈍角;③在同一平面內(nèi),平行于同一條直線的兩條直線平行;④互為鄰補角的兩角的平分線互相垂直.其中正確命題的序號是　　　　. 【能力提升】 5.命題:若a>b,則. (1)請判斷這個命題的真假,若是真命題,請證明;若是假命題,請舉一個反例. (2)若這個命題是假命題,請你適當修改命題的條件,使其成為一個真命題. 【拓展探究】 6.對于有理數(shù)a,b,規(guī)定一種新運算:a??b=ab+b.有下列命題: ①(-3)??4=-8; ②a??b=b??a; ③方程(x-4)??3=6的解為x=5; ④(4??3)??2=4??(3??2). 其中正確命題的序號是　　　　.(把所有正確命題的序號都填上) 7.如圖所示,現(xiàn)有以下3個條件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.請以其中2個作為條件,第3個作為結(jié)論構(gòu)造命題. (1)你構(gòu)造的是哪幾個命題? (2)你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題?請加以證明. 【答案與解析】 1.D(解析:命題是能夠判斷出正確或錯誤的句子,所以它必須對某件事情進行判斷.) 2.B(解析:反例一般是舉符合條件但結(jié)論不成立的例子.) 3.①②③(解析:垂線段最短,所以①正確;在平面內(nèi),若a⊥b,b⊥c,則a∥c,所以②正確;“同旁內(nèi)角互補,兩直線平行”的條件是“同旁內(nèi)角互補”,結(jié)論是“兩直線平行”,所以③正確;過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線,所以④錯誤.) 4.③④(解析:①相等的角是對頂角,錯誤,因為對頂角既要考慮大小,還要考慮位置;②互補的兩個角,一個為銳角,另一個為鈍角,錯誤,還有可能是兩個直角;③在同一平面內(nèi),平行于同一條直線的兩條直線平行,是平行公理,正確;④互為鄰補角的兩角的平分線互相垂直,正確.所以只有③④命題正確.) 5.解:(1)假命題.如a=1,b=-2符合a>b,但不滿足.　(2)改成:若a>b>0,則或若0>a>b,則. 6.①③(解析:(-3)??4=-34+4=-8,所以① 正確;a??b=ab+b,b??a=ab+a,所以②錯誤;方程(x-4)??3=6可化為3(x-4)+3=6,解得x=5,所以③正確;(4??3)??2=(43+3)??2=15??2=152+2=32,4??(3??2)=4??(32+2)=4??8=48+8=40,所以④錯誤.故填①③.) 7.解:(1)①②為條件,③為結(jié)論;①③為條件,②為結(jié)論;②③為條件,①為結(jié)論.　(2)∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠C=∠CDF,∴CE∥BF,∴∠E=∠F,所以由①②為條件,③為結(jié)論組成的命題是真命題.∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∴∠B=∠C,所以由①③為條件,②為結(jié)論組成的命題是真命題.∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠B=∠CDF,∴AB∥CD,所以由②③為條件,①為結(jié)論組成的命題是真命題. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是命題、定理、證明.為此,在導入時讓學生通過生動的情境導入,提高了學生學習的興趣,激發(fā)了學生的好奇心.整個過程以學生與學生、學生與教師之間的“對話”“討論”為出發(fā)點,以互助、合作為手段,以解決問題為目的,讓學生在一個較為寬松的環(huán)境中自主選擇獲得成功的方向,判斷發(fā)現(xiàn)的價值.本課的內(nèi)容比較簡單,但概念較多,因此在學習之后設計了大量練習,讓學生在練習中鞏固所學知識,加深對概念的理解和運用. 本節(jié)涉及的概念較多,在概念的傳授上,教師沒有做到成功引導,雖然有引導的內(nèi)容,但實際效果不佳.在判斷一些較難命題的條件和結(jié)論時判斷不夠準確,語言表達不夠清晰,對于定理部分的內(nèi)容介紹較少. 1.加強對概念的剖析和引導,要注意它們的聯(lián)系和區(qū)別,可組織學生討論發(fā)現(xiàn),這樣學生通過小組的研討,能夠增強他們對概念的認識和理解. 2.通過多舉例,讓學生發(fā)現(xiàn)命題、定理的區(qū)別,掌握定理的應用價值. 3.對于命題的剖析,要讓學生盡量做到語言表述的嚴謹性,鼓勵學生互相補充,同時,多加練習. 練習(教材第34頁) 1.解:(1)如果兩個角相等,那么這兩個角是直角.它是假命題,如∠1=50,∠2=50,∠1=∠2≠90. (2)如果兩個角的和是平角,那么這兩個角一個是銳角,一個是鈍角.它是假命題,如∠1=90,∠2=90,∠1+∠2=180,但∠1和∠2都是直角.　(3)如果兩個角相等,那么這兩個角是同角(或等角)的余角.它是假命題,如∠α=∠β=130>90,∠α和∠β不可能是某個角(或某兩個相等的角)的余角.　(4)如果兩個角相等,那么這兩個角是同角(或等角)的補角.它是假命題,如∠α=∠β=200>180,∠α和∠β不可能是某個角(或某兩個相等的角)的補角.　(5)如果兩個數(shù)的和等于0,那么這兩個數(shù)是互為相反數(shù)的兩個非0數(shù).它是假命題,如a=0,b=0,a+b=0,但a,b不為非0數(shù).　(6)能被2整除的數(shù)一定是偶數(shù).它是真命題.(證明略) 2.證明:如圖所示,∵∠1+∠2=180(已知),∠1=∠3(對頂角相等),∴∠3+∠2=180(等量代換),∴a∥b(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行). 習題(教材第34頁) 1.證明:∵點C是線段AD的中點(已知),∴AD=2CD(線段中點的定義).又∵點D是線段CB的中點,∴CB=2CD(線段中點的定義),∴AD=CB(等量代換). 2.證明:∵∠AOB=∠AOB(已知),∠1=∠3(已知),∴∠AOB-∠1=∠AOB-∠3(等式的性質(zhì)),即∠2=∠4. 3.解:∵DE∥BC(已知),∠ADE=50(已知),∠C=70(已知),∴∠B=∠ADE=50(兩直線平行, 同位角相等),∠DEC+∠C=180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補),∴∠DEC=180-∠C=180-70=110. 1.初中數(shù)學命題的三個特征 命題是對某一事件作出正確或不正確判斷的語句.正確理解命題的關(guān)鍵是要抓住它的三個特征,下面舉例分析. 　下列各語句中,哪些是命題?哪些不是命題? (1)相等的角是直角. (2)直線是沒有長度的. (3)明天會下雨嗎? (4)兩條直線被第三條直線所截. (5)作直線AB∥CD. 解:(1)(2)是命題,因為它們都是具有判斷性的語句.(3)(4)(5)都不是命題,因為它們都不是判斷性語句,(3)是疑問句,(5)是敘述一個過程的語句. 2.數(shù)學命題有真假之分 正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.要判斷一個命題是真命題需要進行證明,而判斷一個命題是假命題只要舉出一個反例就可以. 　下列各命題是真命題還是假命題? (1)有公共頂點的兩個角是對頂角. (2)四邊形的內(nèi)角和是360度. (3)內(nèi)錯角相等. 解:不能認為肯定的命題就是真命題,否定的命題就是假命題.(1)假命題.如圖1所示,∠1和∠2是有公共頂點的兩個角,但∠1和∠2并不是對頂角.　(2)真命題.如圖2所示,一條對角線可以把一個四邊形分成兩個三角形,由每個三角形內(nèi)角和是180度可知四邊形內(nèi)角和是360度.　(3)假命題.如圖3所示,若直線AB與CD不平行,則∠1≠∠2. 3.命題的結(jié)構(gòu)有固定的形式 每個命題都是由題設(條件)和結(jié)論兩部分構(gòu)成的,有些命題常常寫成“如果…,那么…”的形式,具有這種形式的命題中,“如果”部分是條件,就是命題證明中的“已知”;“那么”部分是結(jié)論,就是命題證明中的“求證”. 　如圖所示,下列六個條件:①∠1=∠E;②∠2=∠F;③∠A+∠1=180;④∠B+∠2=180;⑤∠DCE+∠E=180;⑥∠CDF+∠F=180.從中選取兩個作為條件,使得命題“如果　　　　,　　　　,那么AB∥EF”是一個真命題,并證明你的結(jié)論.(填序號) 解:(本題答案不唯一)可選①④.如果∠1=∠E,∠B+∠2=180,那么CD∥EF,AB∥CD,∴AB∥EF. 13.2　全等圖形 1.了解全等圖形以及全等圖形的對應點、對應線段、對應角. 2.了解全等三角形,知道全等三角形的對應邊相等,對應角也相等. 通過觀察圖形,找到全等三角形的對應邊、對應角,利用全等三角形對應邊相等,對應角相等的性質(zhì)進行簡單的推理和計算. 培養(yǎng)學生的觀察和動手能力,發(fā)展學生的幾何觀念. 【重點】　掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等的性質(zhì). 【難點】　用全等三角形的性質(zhì)進行簡單的推理和計算. 【教師準備】　課件1~7. 【學生準備】　搜集日常生活中形狀、大小相同的圖形. 導入一: 1.做一做:指導學生畫邊長為4 cm的等邊三角形和邊長為4 cm的正方形,并將它們剪下來. 2.交流討論:同桌兩人為一組,將剪下的圖形放在一塊,觀察重合情況. 3.得出結(jié)論:兩個三角形完全重合,兩個正方形完全重合. 4.出示教材第35頁圖13-2-1中(1)(4)(5),及思考“觀察與思考”中的兩個問題. 5.如圖所示,找出圖中全等的圖形:　　　　和　　　　全等. 6.學生畫三邊長分別為4 cm、5 cm、6 cm的三角形,剪下后兩人一組放在一起,觀察討論,兩個三角形是否全等? [設計意圖]　讓學生觀察圖形,對圖形有一個感性的認識.通過學生的動手操作,感知圖形的全等,培養(yǎng)學生的操作能力. 導入二: 【課件1】　教師出示圖片　觀察思考:如圖所示,每組的兩個圖形有什么特點? 教師多媒體演示,實際操作把每組的兩個圖形沿同一水平方向平移使每組中的兩個圖形疊放在一起. 學生討論. 生1:每組的兩個圖形大小都一樣. 生2:每組的兩個圖形都可以重合. 師:同學們的觀察力很棒,上面的兩組圖形,每組中的兩個圖形能夠完全重合.那么現(xiàn)實生活中還有哪些能夠完全重合的圖形的例子呢? 學生舉例. 師:很好,我們今天就來學習全等圖形的相關(guān)知識(板書課題). [設計意圖]　通過簡單的生活圖例和教師的演示,導出本節(jié)課的教學內(nèi)容,有利于提高學生學習的積極性. 導入三: 如圖所示,正方形網(wǎng)格中有12棵樹,請你把這個正方形網(wǎng)格劃分為四小塊,要求每塊的形狀、大小都相同,并且每塊中恰好有三棵樹. 要想劃分相等的幾部分,就需要用到全等的有關(guān)知識,也就是我們今天要學習的內(nèi)容. [設計意圖]　通過問題情境的設計,激發(fā)學生對全等知識的探究欲望,從而積極地投入到本節(jié)課的教學中. 　　[過渡語]　圖形的形狀和大小是幾何研究的重要內(nèi)容,全等圖形研究的是圖形形狀和大小的相互關(guān)系. 探究一:全等圖形的概念 思路一 師:我們把能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形. 【課件2】　觀察下面兩組圖形,它們是不是全等圖形?并指出它們的相同點與不同點. 學生觀察討論. 生:它們不是全等圖形. 師:為什么? 生:在圖(1)里的兩個圖形都是八邊形,但是它們的大小不相等.在圖(2)中的兩個圖形都是由三個大小相同的小正方形組合而成的,它們的大小相等,但形狀不相同. 師:回答得很好,這位同學不僅觀察力很棒,并且語言組織能力也很強.同學們也要像他一樣不僅要善于觀察更要善于總結(jié).如果上面兩組圖形不是全等圖形,那么全等圖形有什么樣的特征呢? 生:全等圖形的形狀、大小都相同. 師:全等圖形的形狀、大小都相同.當兩個全等的圖形重合時,互相重合的點叫做對應點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角. 【課件3】　觀察下面的全等圖形,找出圖形的對應邊、對應點和對應角. [設計意圖]　理解和掌握全等圖形的定義,明確全等圖形必須具備的條件:一是形狀相同;二是大小相等.另外通過練習讓學生明確兩個全等圖形點、角、邊的對應關(guān)系. 思路二 師:我們身邊經(jīng)?？吹健耙荒Ｒ粯印钡膱D形,比如兩張由同一底片沖印出來的完全相同的照片,用兩張紙重疊在一起剪出的兩張窗花等,你還能舉一些這樣的“一模一樣”的例子嗎? 問題:幾何中,我們把上面所列舉的“一模一樣”的圖形叫做“全等圖形”,那么我們怎么給“全等圖形”下一個幾何定義呢?是: (1)形狀相同的兩個圖形? (2)大小相等的兩個圖形? (3)能夠完全重合的兩個圖形? 討論結(jié)果:能夠完全重合的兩個圖形叫全等圖形. 【課件4】　(1)你能把如圖(a)所示的長方形分成2個全等圖形嗎?把如圖(b)所示的等邊三角形分成3個全等三角形嗎?把如圖(c)所示的長方形分成4個全等三角形嗎? (2)你會把下圖(d)和(f)分別分成四個全等的圖形嗎?試一試.(保留你畫的痕跡) 指導學生小組討論完成. 說明:當兩個全等的圖形重合時,互相重合的點叫做對應點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角. [知識拓展]　兩個全等圖形,它們的形狀和大小應該是完全相同的,缺一不可.兩個全等圖形與它們的相對位置無關(guān).全等多邊形是全等圖形的特例,所以如果兩個全等多邊形能夠達到重合狀態(tài),那么它們重合的邊(對應邊)、重合的角(對應角)分別相等. 探究二:全等三角形 　　[過渡語]　在全等多邊形中,最常見的就是全等三角形,下面我們來研究一下全等三角形的有關(guān)知識. 1.全等三角形的性質(zhì)的探究 思路一 1.全等三角形的定義及性質(zhì) (1)定義:全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形,是形狀相同、大小相等的兩個三角形. (2)反例:舉出不全等的三角形的例子,利用教師和學生手中的含有30度角的三角板說明只滿足形狀相同的兩個圖形不是全等圖形,強調(diào)定義的條件. 師:請同學們觀察周圍有沒有能完全重合的兩個平面圖形? 學生在生活中找圖形. (3)對應元素及性質(zhì):教師結(jié)合手中的教具說明全等三角形的對應邊、對應角、對應頂點,引導學生發(fā)現(xiàn)全等三角形的對應邊相等,對應角相等. 2.學習全等三角形的表示符號 解釋“≌”的含義及讀法,并強調(diào)對應頂點寫在對應位置上. 　　舉例說明: 如圖所示,∵ΔABC≌ΔDFE(已知),∴AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的對應邊相等),∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的對應角相等). 教師小結(jié): 在書寫全等三角形時,如果將對應頂點寫在對應位置上,那么將兩個三角形的頂點同時按順序輪換,可寫出所有對應邊和對應角相等的式子,而不會找錯,并節(jié)省觀察圖形的時間. 總結(jié)尋找全等三角形對應元素的方法,滲透全等變換的思想. 思路二 學生動手制作,先做一個三角形,然后將做好的三角形按在紙上沿它的各邊做第二個三角形. 師:與學生交流,做好的同學試著把你們手中的兩個三角形疊放在一起看看,它們會怎樣? 生:完全重合. 師:嗯,對.我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形. 【課件5】　出示將ΔABC沿直線平移后得到的ΔABC(如圖所示). 師:現(xiàn)在請同學們認真觀察并指出圖中的對應頂點、對應邊、對應角. 學生小組討論后得出: 對應頂點是A和A,B和B,C和C. 對應邊是AB和AB,BC和BC,AC和AC. 對應角是∠A和∠A,∠B和∠ABC,∠C和∠C. 師:ΔABC與ΔABC全等記作ΔABC≌ΔABC.想一想:全等三角形的對應邊有什么關(guān)系?對應角有什么關(guān)系? 生:全等三角形的對應邊相等、對應角相等. 師:非常準確,這就是全等三角形的性質(zhì).知道兩三角形全等,那么我們就可以得出以上結(jié)論,三組對應邊分別相等,三組對應角分別相等.可是在找全等三角形的對應元素時,一般有什么規(guī)律呢? 教師多媒體出示【課件6】 有公共邊的,公共邊是對應邊. 　 有公共角的,公共角是對應角.有對頂角的,對頂角是對應角. 在兩個全等的三角形中:一對最長的邊是對應邊,一對最短的邊是對應邊.一對最大的角是對應角,一對最小的角是對應角. [設計意圖]　通過教師的多媒體演示和學生的觀察學習及小組的合作交流,認識全等三角形的性質(zhì). 2.例題講解 　　[過渡語]　剛才通過探究我們學習了全等三角形的性質(zhì),利用這個性質(zhì)我們可以求邊的長度和角的大小. 【課件7】 　已知:如圖所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=78,∠B=35,BC=18. (1)寫出ΔABC和ΔDEF的對應邊和對應角. (2)求∠F的度數(shù)和邊EF的長. 讓學生說出對應邊和對應角. 引導學生分析:∠F的對應角是∠ACB,可先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù). [設計意圖]　通過例題的講解,使學生進一步掌握全等三角形的性質(zhì),并能熟練應用性質(zhì)解決相關(guān)問題,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力. 1.全等圖形:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形,這里的重合是指完全重合,這里的全等不等同于相等,全等指兩個圖形完全重合,而相等是對兩個量而言,可以是長度、重量,也可以是面積、體積. 2.全等三角形的對應邊相等,對應角相等,這些性質(zhì)是探討全等三角形的基礎,也是今后探索其他較復雜圖形的性質(zhì)的重要依據(jù).在利用全等三角形的性質(zhì)進行計算和證明時,要注意對應元素相等. 1.如圖所示,ΔABC≌ΔAEF,AB和AE,AC和AF是對應邊,那么∠EAF等于 (　　) A.∠ACB B.∠BAC C.∠F D.∠CAF 解析:∵ΔABC≌ΔAEF,∴∠EAF=∠BAC.故選B. 2.下列說法正確的是 (　　) A.面積相等的兩個圖形全等 B.周長相等的兩個圖形全等 C.形狀相同的兩個圖形全等 D.全等圖形的形狀和大小都相同 解析:根據(jù)全等圖形的概念:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形進行分析即可.故選D. 3.如圖所示的四個圖形中,全等的圖形是(　　) A.①和② B.①和③ C.②和③ D.③和④ 解析:③和④可以完全重合,因此全等的圖形是③和④.故選D. 4.如圖所示,若ΔABE≌ΔACF,且AB=5,AE=3,則EC的長為 (　　) A.2 B.3 C.5 D.2.5 解析:∵ΔABE≌ΔACF,AB=5,∴AC=AB=5,∵AE=3,∴EC=AC-AE=5-3=2.故選A. 5.如圖所示,已知ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,則另外兩組相等的對應邊為　　　　,另外兩組相等的對應角為　　　　. 解析:∵ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,∴AC=AE,BC=DE,∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE. 答案:AC=AE,BC=DE　∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE 6.如圖所示,若ΔOAD≌ΔOBC,且∠O=65,∠BEA=135,求∠C的度數(shù).(提示:四邊形的內(nèi)角和為360) 解析:根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180表示出∠OBC,然后利用四邊形的內(nèi)角和等于360列式求解即可. 解:∵ΔOAD≌ΔOBC, ∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD, ∵∠O=65, ∴∠OBC=180-65-∠C=115-∠C, 在四邊形AOBE中, ∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360, ∴65+115-∠C+135+115-∠C=360, ∴∠C=35. 13.2　全等圖形 探究一:全等圖形的概念 探究二:全等三角形 1.全等三角形的定義及性質(zhì) (1)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形 (2)全等三角形的對應邊相等、對應角相等 2.例題講解 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第36~37頁練習第1,2題. 2.教材第37頁習題A組第1,2題. 【選做題】 教材第37頁習題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.在如圖所示的各組圖形中,是全等圖形的是 (　　) 2.如圖所示,ΔABC≌ΔAEF,AB=AE,∠B=∠E,則對于結(jié)論:①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是 (　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 3.如圖所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=50,∠C=30,則∠E的度數(shù)為 (　　) A.30 B.50 C.60 D.100 4.如圖所示,點F,A,D,C在同一條直線上,ΔABC≌ΔDEF,AD=4,CF=10,則AC等于 (　　) A.7 B.6.5 C.6 D.5 5.如圖所示,ΔABC≌ΔDBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是對應角,請寫出三組對應邊: (1)　　　　;(2)　　　　;(3)　　　　;另一組對應角:(4)　　　　. 【能力提升】 6.根據(jù)下列解題過程填空. (1)如圖1所示,已知直線EF與AB,CD都相交,且AB∥CD,試說明∠1=∠2的理由. 20 / 20