2019-2020年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)試題匯編 專(zhuān)題4 數(shù)列、推理與證明 第2講 推理與證明（B卷）理（含解析）.DOC

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2019-2020 年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)試題匯編 專(zhuān)題 4 數(shù)列、推理與證明 第 2 講 推理與證明（B 卷）理（含解析） 一、選擇題（每題 5 分，共 20 分） 1． （xx肇慶市高中畢業(yè)班第三次統(tǒng)一檢測(cè)題8）對(duì)于非空集合 A、 B，定義運(yùn)算：． 已 知， ，其中 a、 b、 c、 d 滿足， ，則（ ） A． B． C． D． 2． （xx佛山市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）8）若集合 P 具有以下性質(zhì)： ① ； ② 若，則，且時(shí)， ． 則稱(chēng)集合 P 是“Γ 集” ，則下列結(jié)論不正確的是（ ） A．整數(shù)集 Z 是“Γ 集” B．有理數(shù)集 Q 是“Γ 集” C．對(duì)任意的一個(gè)“Γ 集”P(pán)，若，則必有 D．對(duì)任意的一個(gè)“Γ 集”P(pán)，若，且，則必有 3． （xx廈門(mén)市高三適應(yīng)性考試10）如圖所示，由直線及軸圍成的曲邊梯形的面積介于 相應(yīng)小矩形與大矩形的面積之間，即.類(lèi)比之， , 11122Annn????? ? 恒成立, 則實(shí)數(shù)等于（ ） A. B. C. D. 4.（xx陜西省咸陽(yáng)市高考模擬考試（三）12） 二、非選擇題（80 分） 5. (xx濟(jì)寧市 5 月高考模擬考試15) Oxa+1y 6．(xx日照市高三校際聯(lián)合 5 月檢測(cè)15)函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)處的切線的斜率分別是， 規(guī)定（為線段 AB 的長(zhǎng)度）叫做曲線在點(diǎn) A 與點(diǎn) B 之間的“彎曲度” ，給出以下命題： ①函數(shù)圖象上兩點(diǎn) A 與 B 的橫坐標(biāo)分別為 1 和 2，則； ②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)； ③設(shè)點(diǎn) A,B 是拋物線上不同的兩點(diǎn)，則； ④設(shè)曲線（e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上不同兩點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是． 其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_______． （將所有真命題的序號(hào)都填上） 7．(xx黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題16)設(shè)為正整數(shù)， ，計(jì)算得， ， ， ，觀察上述結(jié)果，按照上面規(guī)律，可以推測(cè) ． 8． （xx山東省濟(jì)寧市兗州第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)考試15）在平面上有如下命題：“為直線 外的一點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)滿足，且” ，我們把它稱(chēng)為平面中三點(diǎn)共 線定理，請(qǐng)嘗試類(lèi)比此命題，給出空間中四點(diǎn)共面定理，應(yīng)描述為： 9． （xx合肥市高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)15）已知向量滿足,動(dòng)點(diǎn)滿足,給出以下命題: ①若,則點(diǎn)的軌跡是直線; ②若,則點(diǎn)的軌跡是矩形; ③若,則點(diǎn)的軌跡是拋物線; ④若,則點(diǎn)的軌跡是直線; l1l2OM(p,q) ⑤若,則點(diǎn)的軌跡是圓． 以上命題正確的是 （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有命題 的序號(hào)） 10．(xx豐臺(tái)區(qū)學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)二14）已知非空集合，滿足以下四個(gè)條件： ①；②；③中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素；④中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素． （?。┤绻现兄挥?1 個(gè)元素，那么______； （ⅱ）有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是______． 11.(xx北京市東城區(qū)綜合練習(xí)二14）如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)，對(duì)于平面上 任意一點(diǎn)，若分別是到直線和的距離，則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)” ．給出下列 四個(gè)命題： ① 若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有個(gè)． ② 若，且，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有個(gè)． ③若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有個(gè)． ④若，則點(diǎn)的軌跡是一條過(guò)點(diǎn)的直線． 其中所有正確命題的序號(hào)為 ． 12.(xx. .21) (本小題滿分 10 分)已知函數(shù) ． （1）當(dāng)時(shí)，求證： ； （2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的值． 13. (xx.山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次診斷考試.20) (本小題滿分 12 分)定義：若兩個(gè)橢圓 的離心率相等，則稱(chēng)兩個(gè)橢圓是“相似”的.如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個(gè)橢圓，并且相 交于上下兩個(gè)頂點(diǎn).橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 4，橢圓短軸長(zhǎng)是，點(diǎn)分別是橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn). （I）求橢圓的方程； （II）過(guò)的直線交橢圓于點(diǎn) M，N，求面積的最大值. 14.(xx 徐州、連云港、宿遷三市高三第三次模擬23) (本小題滿分 10 分)設(shè)且對(duì)于二 項(xiàng)式 （1）當(dāng)時(shí)，分別將該二項(xiàng)式表示為的形式； （2）求證：存在使得等式與同時(shí)成立. 15．(xx鹽城市高三年級(jí)第三次模擬考試20)（本小題滿分 13 分）設(shè)函數(shù)（其中） ，且 存在無(wú)窮數(shù)列，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為． （1）求（用表示） ； （2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：； （3）若數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式． 專(zhuān)題 4 數(shù)列、推理與證明 第 2 講 推理與證明 (B 卷)答案與解析 1.【答案】D 【命題立意】本題綜合考查了新定義、不等式的性質(zhì)、集合的子集與交集并集的轉(zhuǎn)換． 【解析】由已知 M={x|a＜x＜b}，∴a＜b，又 ab＜0，∴a＜0＜b，同理可得 c＜0＜d， 由 ab＜cd＜0，c＜0，b＞0，∴，∴， 又∵a+b=c+d，∴a-c=d-b，∴， 又∵c＜0，b＞0，∴d-b＜0，因此，a-c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b， ∴M∩N=N，∴M⊕N={x|a＜x≤c，或 d≤x＜b}=（a，c]∪[d，b） ． 故選 D 2.【答案】A 【命題立意】本題旨在考查信息給予題的做法． 【解析】當(dāng) x＝2 時(shí)， ，所以整數(shù)集 Z 不是“Γ 集”故 B 項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B． 3.【答案】C 【命題立意】本題旨在考查類(lèi)比推理和微積分基本定理. 【解析】由題可得， ∴ ????12211ln1ln2l1nnnAdxdx??????????????lll??? .故選：C 4.【答案】 C. 【命題立意】 新定義的理解與應(yīng)用 【解析】由題中所給定的關(guān)于的定義可知 16312(x)62331kxkfkxk????????????? 將分成 ，代入 k 的取值即可判斷出結(jié)果,故選 C. 5.【答案】 【命題立意】本題是一個(gè)小綜合題，主要考查含有邏輯連接詞的命題真假判斷，函數(shù)的零 點(diǎn)，直線和圓的位置關(guān)系及數(shù)學(xué)歸納法 【解析】對(duì)于①，由于 p，q 都是真命題，故正確；對(duì)于②，由于函數(shù)是單調(diào)的，且，所以 命題正確；對(duì)于③，由于圓心到直線的距離，又因?yàn)?，故圓上的點(diǎn)到直線的距離為 1 的點(diǎn) 為 4 個(gè)，故命題錯(cuò)誤；對(duì)于④，由所給出的等式可知命題正確. 6.【答案】②③． 【命題立意】本題旨在考查新定義問(wèn)題、距離公式和恒成立問(wèn)題． 【解析】①錯(cuò)： ②對(duì)：如； ③對(duì)； 222||(,)()()1()ABABxABx???????；④錯(cuò)；12 1212||||(,)()()()x xxee? ，12121 ,(,)||()xxABee??????? 因?yàn)楹愠闪?，故?7.【答案】6 【命題立意】考查歸納推理，考查分析能力，轉(zhuǎn)化能力，中等題． 【解析】由已知等式得，所以． 8.【答案】為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的充要條件是：存在實(shí)數(shù)滿足且 【命題立意】本題重點(diǎn)考查類(lèi)比推理以及空間向量基本定理，難度中等. 【解析】將直線類(lèi)比為平面，將“存在實(shí)數(shù)滿足，且”類(lèi)比為“存在實(shí)數(shù)滿足且” ，所以給 出空間中四點(diǎn)共面定理，可描述為“為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的充要條件是：存在實(shí) 數(shù)滿足且”. 9.【答案】①②⑤ 【命題立意】本題重點(diǎn)考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，難度較大． 【解析】因?yàn)?，所以?，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)， ，則，因?yàn)?，所以，得，得?當(dāng)時(shí)，得，得，故①正確，若，即，因?yàn)?時(shí)， ， ，此時(shí)， ， ，即，此時(shí) 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，其軌跡為矩形，故②正確，若，則，整理得表示雙曲線，故③錯(cuò)誤，若， 由于，所以其不能表示直線只能表示兩條射線，故④錯(cuò)誤，當(dāng) 時(shí)， ，所以，整理得表示圓，故⑤正確． 10.【答案】 ；32 【命題立意】考查子集、真子集概念，考查分類(lèi)討論思想，中等題． 【解析】 （?。┮李}意，當(dāng)時(shí)， ，滿足條件； （ⅱ）如果集合中只有 1 個(gè)元素， ， ，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 1 對(duì)； 如果集合中只有 2 個(gè)元素，中必含有元素 5，有中取法，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 5 對(duì)； 如果集合中只有 3 個(gè)元素，中必含有元素 4，有中取法，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 10 對(duì)； 如果集合中只有 4 個(gè)元素，中必含有元素 3，有中取法，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 10 對(duì)； 如果集合中只有 5 個(gè)元素，中必含有元素 2，有中取法，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 5 對(duì)； 如果集合中只有 6 個(gè)元素，中必含有元素 1，有中取法，有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是 1 對(duì)； 所以滿足條件的有序集合對(duì)（， ）的個(gè)數(shù)是個(gè)． 11.【答案】①②③ 【命題立意】本題重點(diǎn)考查新定義和邏輯推理能力，難度中等． 【解析】①正確，此點(diǎn)為點(diǎn)； ②正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個(gè)為零，另一個(gè)非零， 從而可知有且僅有 2 個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或） ； ③ 正確，四個(gè)交點(diǎn)為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點(diǎn)；若， 則點(diǎn)的軌跡是兩條過(guò)點(diǎn)的角分線，故④錯(cuò)誤． 12.【答案】 （1）證明略；（2）. 【命題立意】本題旨在考查證明不等式以及恒成立的問(wèn)題. 【思路分析】 （1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這 個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)， 然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個(gè)重要的技巧就是找到函數(shù)在 什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口，觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證 明不等式. 【解析】 （1） ， --------------1 分????????22214ln 01x xgxgx?????????? -------3 分 遞增，所以，所以-------------------4 分 （2）當(dāng)不等式 ?? 211lnkfxxk?????ln2,2+1hxkhkx????? ， 因?yàn)?若， ， ，所以 ，----------------------------------------------7 分 若，存在，使得 當(dāng)， ， ，所以 ，這與矛盾-------------9 分 當(dāng)不等式 ????211lnkxf xkx??????ln2,+1hxkxh??? ， 若， ， ，所以 ， ，所以不等式成立---------------------------12 分 若，存在，使得 當(dāng)， ， ，所以 ，這與矛盾 綜上所述： ????1110, ;0,22kxkxxf f?????????? ，恒成立時(shí) ，----------------------14 分 13.【答案】(I) 橢圓的方程為，橢圓的方程為（II） 【命題立意】本題考查了對(duì)新定義的概念的理解，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直線與橢 圓的位置關(guān)系及運(yùn)算能力. 【解析】 （Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓 2的半焦距為．由題意知， 橢圓與橢圓的離心率相等， ，即， 則橢圓的方程為，橢圓的方程為. （Ⅱ）顯然直線的斜率不為 0，故可設(shè)直線的方程為 ， 聯(lián)立，得， 22194()1640mm????????， 設(shè)，則， ， ， 又的高即為點(diǎn)到直線的距離， ∴的面積 2221413||312 4mSMNhm?????? ，224114m???? ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. ，即的面積的最大值為. 14.【答案】 （1）當(dāng) n=3 時(shí)， ，當(dāng) n=4 時(shí)， （－） 4；（2）略． 【命題立意】本題旨在考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思維． 【解析】 （1）當(dāng) n=3 時(shí)， ， ． ……2 分 當(dāng) n=4 時(shí)， 42 22()64(6)4()ababababba????????， ． ……………4 分 （2）證明：由二項(xiàng)式定理得， 若為奇數(shù)，則 ])()()()([)( 1133220 ???? ????? nnnnnn baCbaCbaCba ? 13322)()]nab? ?? ， 分析各項(xiàng)指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為 的形式，其中， 也即，其中， ， ， ………………………………6 分 若為偶數(shù)，則 ])()()()([)( 22220 nnnnnn bCaCbaCba ????? ???? 1333311nnnnbba? ?? 類(lèi)似地，可將上式表示為的形式，其中， 也即，其中， ，. 所以存在，使得等式． ………………………8 分 同理可得可表示為， 從而有， 綜上可知結(jié)論成立． …………………………………10 分 15.【答案】 （1） ；（2）略；（3） ． 【命題立意】本題旨在考查函數(shù)及其應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列求和，等差數(shù)列 的通項(xiàng)及其應(yīng)用，考查分析法、反證法等． 【解析】 （1）由題意，得 221(1)( )1npxqaxax????? ? ， 顯然的系數(shù)為 0，所以，從而， ．……………4 分 （2）由，考慮的系數(shù)，則有， 得，即， 所以數(shù)列單調(diào)遞增，且， 所以 132435211()()()()n nSaaa??????? ， 當(dāng)時(shí)， 12+12+123nnn????．…………………………10 分 （3）由（2） ， 因數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以對(duì)一切都成立， 若，則，與矛盾， 若數(shù)列是等比數(shù)列，又據(jù)題意是等差數(shù)列，則是常數(shù)列，這與數(shù)列的公差不為零矛盾， 所以，即，由（1）知， ，所以．………16 分 （其他方法：根據(jù)題意可以用、表示出， ， ， ，由數(shù)列為等差數(shù)列，利用，解方程組也可求 得． ） 解法 2：由（1）可知， ，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為 ， ， ．又由（2） ， 所以得，若即時(shí)， ， ，與條件公差不為零相矛盾，因此則．由,可得2223()()0pqpqpq?????? ,整理可得 代入,,或 若,則，與矛盾， 若,則,滿足題意, 所以．