2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1．(xx四川高考)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5 000名居民的閱讀時間的全體是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．總體 B．個體 C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本 【解析】　5 000名居民的閱讀時間的全體為總體，故選A. 【答案】　A 2．(xx重慶高考)某中學(xué)有高中生3 500人，初中生1 500人．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為(　　) A．100　　　 B．150　　　 C．200　　　 D．250 【解析】　樣本抽取比例為＝，該?？?cè)藬?shù)為1 500＋3 500＝5 000，則＝，故n＝100，選A. 【答案】　A 3．(xx湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a(chǎn)>0，b>0 　　　　　　　　 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 　　　　　　　　 D．a(chǎn)<0，b<0 【解析】　回歸直線方程過中心點(5.5,1.5)，即1.5＝5.5b＋a， 由題意，兩個變量負(fù)相關(guān)，b<0，∴a>0，故選B. 【答案】　B 4．(xx廣東高考)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： 年齡(歲) 工人數(shù)(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合計 20 (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 【解】　(1)由題可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21. (2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示： (3)這20名工人年齡的平均數(shù)為＝(19＋328＋329＋530＋431＋332＋40)＝30， ∴這20名工人年齡的方差為s2＝ (xi－)2＝＝＝12.6. 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．隨機(jī)抽樣 ①隨機(jī)抽樣問題與實際生活緊密相連，是高考考查的熱點之一．主要考查系統(tǒng)抽樣中號碼的確定和分層抽樣中各層人數(shù)的確定． ②多以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，屬容易題． 2．用樣本估計總體 ①該考向重點考查樣本特征數(shù)的計算，樣本頻率分布直方圖和莖葉圖等知識．特別是莖葉圖是新課標(biāo)中的新增內(nèi)容，與實際生活聯(lián)系密切，可方便處理數(shù)據(jù)，是高考中新的熱點． ②多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題． 3．線性回歸分析 ①線性回歸分析是新增內(nèi)容，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，應(yīng)引起重視． ②多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，屬中、低檔題目． 4．獨(dú)立性檢驗 ①獨(dú)立性檢驗也是新增內(nèi)容，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，近幾年許多省的高考題涉及本考向，應(yīng)引起關(guān)注． ②既可以以選擇題、填空題的形式考查，也可以以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔題目. 【例1】　(1)(xx天津高考)某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學(xué)生． (2)(xx廣東高考)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本 ，則分段的間隔為(　　) A．50　　　　B．40　　　C．25　　　D．20 【解析】　(1)由題意知應(yīng)抽取人數(shù)為300＝60. (2)由＝25，可得分段的間隔為25.故選C. 【答案】　(1)60　(2)C 【規(guī)律方法】　解答與抽樣方法有關(guān)的問題時應(yīng)注意： (1)要深刻理解各種抽樣方法的特點和實施步驟． (2)熟練掌握系統(tǒng)抽樣中被抽個體號碼的確定方法． (3)熟練掌握分層抽樣中各層人數(shù)的計算方法． 注意：抽樣方法常和概率、頻率分布直方圖等知識結(jié)合在一起考查． [創(chuàng)新預(yù)測] 1．(1)(xx湖南高考)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件、80件、60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．9 B．10 C．12 D．13 (2)(xx江西高考)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為(　　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 　　　　　　　　 B．07 C．02 　　　　　　　 D．01 【解析】　(1)根據(jù)分層抽樣的特點，用比例法求解．依題意得＝，故n＝13. (2)由隨機(jī)數(shù)表法的隨機(jī)抽樣的過程可知選出的5個個體是08,02,14,07,01，所以第5個個體的編號是01. 【答案】　(1)D　(2)D 【例2】　(xx北京高考)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖： 組號 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計 100 (1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率； (2)求頻率分布直方圖中的a，b的值； (3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組．(只需寫出結(jié)論) 【解】　(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時間不少于12小時的學(xué)生共有6＋2＋2＝10名，所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－＝0.9. 從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9. (2)課外閱讀時間落在組[4,6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝＝＝0.085. 課外閱讀時間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝＝＝0.125. (3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組． 【規(guī)律方法】　1.用樣本估計總體時應(yīng)注意的問題： (1)理解在抽樣具有代表性的前提下，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，用樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)，這是統(tǒng)計的基本思想． (2)反映樣本數(shù)據(jù)分布的主要方式，一個是頻率分布表，一個是頻率分布直方圖．要學(xué)會根據(jù)頻率分布直方圖估計總體的概率分布以及總體的特征數(shù)，特別是均值、眾數(shù)和中位數(shù)． 2．樣本數(shù)字特征及莖葉圖： (1)要掌握好樣本均值和方差的實際意義，并在具體的應(yīng)用問題中會根據(jù)所計算出的樣本數(shù)據(jù)的均值和方差對實際問題作出解釋． (2)莖葉圖是表示樣本數(shù)據(jù)分布的一種方法，其特點是保留了所有的原始數(shù)據(jù)，這是莖葉圖的優(yōu)勢． [創(chuàng)新預(yù)測] 2．(1)(xx福建高考)某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為(　　) A．588 B．480 C．450 D．120 (2)(xx山東高考)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示： 8 7 7 9 4 0 1 0 x 9 1 則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為(　　) A. 　　　 B. 　　　C．36 　　　 D. 【解析】　(1)先求出頻率，再求樣本容量． 不少于60分的學(xué)生的頻率為 (0.030＋0.025＋0.015＋0.010)10＝0.8， ∴該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)應(yīng)為6000.8＝480.故選B. (2)利用平均數(shù)為91，求出x的值，利用方差的定義，計算方差． 根據(jù)莖葉圖，去掉1個最低分87,1個最高分99， 則[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91， ∴x＝4. ∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝. 【答案】　(1)B　(2)B 【例3】　(xx全國新課標(biāo)Ⅱ高考)某地區(qū)xx年至xx年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 年份 xx xx xx xx 2011 xx xx 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析xx年至xx年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)xx年農(nóng)村居民家庭人均純收入． 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ＝，＝－. 【解】　(1)由所給數(shù)據(jù)計算得 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， ＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3 (ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， (ti－)(yi－)＝(－3)(－1.4)＋(－2)(－1)＋(－1)(－0.7)＋00.1＋10.5＋20.9＋31.6＝14， ＝＝＝0.5， ＝－＝4.3－0.54＝2.3， 所求回歸方程為＝0.5t＋2.3. (2)由(1)知，＝0.5>0，故xx至xx年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 將xx年的年份代號t＝9代入(Ⅰ)中的回歸方程，得＝0.59＋2.3＝6.8， 故預(yù)測該地區(qū)xx年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元． 【規(guī)律方法】　進(jìn)行線性回歸分析時應(yīng)注意的問題 (1)正確理解計算b，a的公式和準(zhǔn)確的計算，是求回歸直線方程的關(guān)鍵． (2)在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值． (3)在散點圖中，若所有點大部分都集中在斜向上(自左向右看)的直線的附近，則為正相關(guān)；若大部分都集中在斜向下(自左向右看)的直線的附近，則為負(fù)相關(guān)． [創(chuàng)新預(yù)測] 3．(xx重慶高考)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中， b＝，a＝－b， 其中，為樣本平均值．線性回歸方程也可寫為＝x＋. 【解】　(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2， 又lxx＝－n2＝720－1082＝80， lxy＝iyi－n ＝184－1082＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4， 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 【例4】　(xx遼寧高考)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 合計 70 30 100 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”； (2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品．現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【解】　(1)將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 χ2＝＝＝≈4.762. 由于4.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”． (2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 其中ai表示喜歡甜品的學(xué)生，i＝1,2.bj表示不喜歡甜品的學(xué)生，j＝1,2,3. Ω由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則 A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 事件A是由7個基本事件組成，因而P(A)＝. 【規(guī)律方法】　1.獨(dú)立性檢驗的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算K2(χ2)，而計算k2(χ2)時，要正確繪制22列聯(lián)表． 2．兩個變量的獨(dú)立性檢驗，在統(tǒng)計學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)時一定要結(jié)合實際問題，從現(xiàn)實中尋找例子，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力． [創(chuàng)新預(yù)測] 4．(xx安徽高考)某高校共有學(xué)生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)． (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率； (3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”． 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解】　(1)300＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)． (2)由題中頻率分布直方圖得1－2(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率的估計值為0.75. (3)由(2)知，300位學(xué)生中有3000.75＝225人的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，75人的每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時．又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的．所以每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時 45 30 75 每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時 165 60 225 總計 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841. 所以，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”． [總結(jié)提升] 失分盲點 (1)混淆簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的區(qū)別，不能正確地選擇抽樣方法． (2)不能正確地從頻率分布直方圖中提取相關(guān)的信息，混淆了頻數(shù)與頻率的差異． 答題指導(dǎo) (1)看到抽樣問題，想到三種抽樣的定義以及適用范圍和三者的區(qū)別． (2)看到頻率分布直方圖，想到頻數(shù)與頻率的區(qū)別以及計算方法． 方法規(guī)律 (1)分層抽樣： ①抽樣原則：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取n＝n(i＝1,2，…，k)個個體： ②分層原則：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊． (2)利用統(tǒng)計量K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗的步驟： ①根據(jù)數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表． ②根據(jù)公式計算K2的觀測值k. ③比較觀測值k與臨界值表中相應(yīng)的檢驗水平，作出統(tǒng)計判斷． 通過數(shù)據(jù)分析事物蘊(yùn)含的規(guī)律 1．?dāng)?shù)據(jù)的作用是為了說明實際問題中存在的問題，通過對數(shù)據(jù)的處理(如計算樣本數(shù)據(jù)的均值、方差、極差、中位數(shù)、眾數(shù)等)，看出實際問題中蘊(yùn)含的某種規(guī)律，根據(jù)規(guī)律的利弊確定未來的發(fā)展方向，這是數(shù)據(jù)處理的一個主要方面． 2．在統(tǒng)計中通過對抽取的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，根據(jù)樣本估計總體的思想，可以對總體作出估計，從而對總體作出評價，給出令人信服的結(jié)論，這就是用數(shù)據(jù)說話． 【典例】　(xx全國新課標(biāo)Ⅱ高考)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民．根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下： (1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)； (2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率； (3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價． 【解】　(1)由題中所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75. 50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67. (2)由題中所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為＝0.1，＝0.16，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16. (3)由題中所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由題中莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大．(注：考生利用其他統(tǒng)計量進(jìn)行分析，結(jié)論合理的同樣給分．) 【規(guī)律感悟】　樣本數(shù)據(jù)的均值體現(xiàn)了一種整體的態(tài)勢，樣本數(shù)據(jù)的方差則說明了整體態(tài)勢的穩(wěn)定性，整體態(tài)勢(均值)及其穩(wěn)定性(方差)是樣本數(shù)據(jù)的兩個重要特征數(shù).