數(shù)學(xué)物理方程課件第一章數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù).ppt

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數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù),☆課程的內(nèi)容,三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù),分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法,波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程,貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù),☆數(shù)學(xué)物理方程定義,描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。,,,,一、基本方程的建立,第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo),二、定解條件的推導(dǎo),三、定解問題的概念,一、基本方程的建立,條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。,例1、弦的振動(dòng),簡化假設(shè)：,(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。,(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。,牛頓運(yùn)動(dòng)定律：,橫向：,縱向：,其中：,,,,,,,其中：,,其中：,,,,,………一維波動(dòng)方程,令：,,------非齊次方程,自由項(xiàng),------齊次方程,忽略重力作用：,從麥克斯韋方程出發(fā)：,在自由空間：,,,,例2、時(shí)變電磁場,對(duì)第一方程兩邊取旋度，,根據(jù)矢量運(yùn)算：,由此得：,得：,,,拉普拉斯算子：,,同理可得：,——電場的三維波動(dòng)方程,——磁場的三維波動(dòng)方程,例3、靜電場,電勢u,確定所要研究的物理量：,根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：,對(duì)方程進(jìn)行化簡：,拉普拉斯方程(無源場),泊松方程,例4、熱傳導(dǎo),所要研究的物理量：,溫度,根據(jù)熱學(xué)中的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律,在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：,,從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為,高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。,,,,流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化,,,,,,流入的熱量：,?,溫度發(fā)生變化需要的熱量為：,熱傳導(dǎo)方程,穩(wěn)恒溫度場：,有熱源：,有界桿上的熱傳導(dǎo)（桿的兩端絕熱）,,同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。,初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。,邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。,二、定解條件的推導(dǎo),其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。,初始時(shí)刻的溫度分布：,B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與初始狀態(tài)無關(guān)，不含初始條件,A、波動(dòng)方程的初始條件,1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度,(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,A、波動(dòng)方程的邊界條件,(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：,或：,(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承。,或,B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件,(1)給定溫度在邊界上的值,S——給定區(qū)域v的邊界,(2)絕熱狀態(tài),(3)熱交換狀態(tài),牛頓冷卻定律：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。,熱交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度,,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,1、定解問題,三、定解問題的概念,(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。,把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。,定解問題的檢驗(yàn),解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。,,,,,,,,,3、線性偏微分方程的分類按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程,2、微分方程一般分類,(1)按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。,線性方程的解具有疊加特性,4、疊加原理,,幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上),判斷下列方程的類型,思考,5、微分方程的解,古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。,形式解：未經(jīng)過驗(yàn)證的解為形式解。,6、求解方法,分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法,