七年級數學下冊 第五章 生活中的軸對稱 2 探索軸對稱的性質 將軍飲馬模型試題（新版）北師大版.doc

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探索軸對稱的性質 將軍飲馬模型 一、背景知識： 【傳說】 早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題． 將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今． 【問題原型】將軍飲馬 造橋選址 費馬點 【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短； 三角形兩邊三邊關系； 軸對稱 ；平移； 【解題思路】找對稱點，實現折轉直 二、將軍飲馬問題常見模型 1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小 例1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小. 作法：連接AB，與直線l的交點Q， Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：兩點之間線段最短。 證明：連接AB，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點， 在⊿PAB中，由三角形三邊關系可知：AP+PB≧AB(當且僅當PQ重合時取﹦) 例2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小， 即PA+PB的和最小. 關鍵：找對稱點 作法：作定點B關于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：兩點之間，線段最短 證明：連接AC，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點， 在⊿PAC中，由三角形三邊關系可知：AP+PC≧AC(當且僅當PQ重合時取﹦) 2.兩動一定型 例3：在∠MON的內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短． 作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點A關于ON的對稱點A’’，連接A’ A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求． 原理：兩點之間，線段最短 例4：在∠MON的內部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短． 作法：作點A關于OM的對稱點A’，作點B關于ON的對稱點B’，連接A’ B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求． 原理：兩點之間，線段最短 3. 兩定兩動型最值 例5：已知A.B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側），使AM+MN+NB的值最小. 提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移 作法一：將點A向右平移長度d得到點A’， 作A’關于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。 作法二：作點A關于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2 B， 交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。 原理：兩點之間，線段最短，最小值為A’’B+MN 例6：（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？ 例6：直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2, 且 AC＋BD＋CD最短． 作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD 原理：兩點之間，線段最短， 4. 垂線段最短型 例7：在∠MON的內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短． 原理：垂線段最短 點A是定點，OM，ON是定線， 點B.點C是OM、ON上要找的點，是動點． 作法：作點A關于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON， 交OM于點B，B.C即為所求。 例8：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即PA-PB最小. 作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P 此時|PA-PB |=0 原理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 例9：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大 作法：延長BA交l于點C，點C即為所求， 即點B.A.C三點共線時，最大值為AB的長度。 原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊 例10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大 作法：作點B關于l的對稱點B，連接AB， 交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。 原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊 典型例題 三角形 1．如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值 解：點C關于直線AD的對稱點是點B，連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小， 過點B作BH⊥AC于點H， 則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3 在直角△BHE中，BE = = = 2