七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專(zhuān)題27 以形借數(shù)-借助圖形思考試題 （新版）新人教版.doc

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27 以形借數(shù)——借助圖形思考 閱讀與思考 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常常有助于問(wèn)題的解決，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思考問(wèn)題的解法”．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問(wèn)題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來(lái)，是一個(gè)十分重要的解題方法，現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個(gè)方面： 1．從給定的圖形獲取解題信息 數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述方法很多，既有用文字?jǐn)⑹龅?，也有通過(guò)圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來(lái)呈現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個(gè)重要技能． 2．有意地畫(huà)圖輔助解題 圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系，解題中有意地畫(huà)圖（如畫(huà)直線圖、列表、構(gòu)造圖 形等）能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解． 閱讀與思考 【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一個(gè)三角形，所有可以套出來(lái)的三角形中，不同 形狀的共有____________種。 （“五羊杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：圓周長(zhǎng)保持不變，設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為則。不妨設(shè)，借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可。 【例2】一列快車(chē)從甲地駛往乙地，一列慢車(chē)從乙地駛往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車(chē)行駛的時(shí)間為（h），兩車(chē)之間的距離為（km），圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進(jìn)行一下探究： 信息讀取 （1）甲、乙兩地之間的距離為_(kāi)__________km。 （2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義。 圖像理解 （3）求慢車(chē)和快車(chē)的速度。 （4）求線段BC所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍。 問(wèn)題解決 （5）若第二列快車(chē)也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車(chē)相同。在第一列快車(chē)與慢車(chē)相遇30分鐘后，第二列快車(chē)與慢車(chē)相遇。求第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚車(chē)發(fā)多少小時(shí)？ （江蘇省南京市中考試題） 解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車(chē)行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息，也有在0～4小時(shí)之間以及稍后的一段時(shí)間內(nèi)，快車(chē)和慢車(chē)的速度之和為定值和C點(diǎn)表示快車(chē)在某一時(shí)刻已到達(dá)終點(diǎn)等需要經(jīng)過(guò)分析或運(yùn)算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息。 【例3】某電視臺(tái)為了解三個(gè)特色欄目的收視情況，向28位觀眾進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查后得知：每位觀眾至少收看了其中的一個(gè)欄目；沒(méi)有收看欄目的觀眾中，收看欄目人數(shù)為收看欄目的兩倍；在收看欄目的觀眾中，只收看欄目的觀眾人數(shù)比除了收看欄目之外同時(shí)還收看其他欄目的人數(shù)多1；只收看一個(gè)欄目的觀眾中，有一半沒(méi)有收看或欄目，求欄目的收視率。 （“《數(shù)學(xué)周報(bào)》”杯全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系。 【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè)。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說(shuō)每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問(wèn)：出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)？ （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：文字羅列出來(lái)的條件，其相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀地表示研究對(duì)象及其關(guān)系。 【例5】某班有50名同學(xué)，期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表： 一科 二科 三科 科目 數(shù) 外 語(yǔ) 數(shù)、語(yǔ) 數(shù)、外 語(yǔ)外 數(shù)、語(yǔ)、外 人數(shù) 32 31 29 16 17 18 10 這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說(shuō)明上述統(tǒng)計(jì)表有錯(cuò)誤。 （“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、語(yǔ)文優(yōu)秀學(xué)生的集合，有利于分析與推斷。 能力訓(xùn)練 1．甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了________盤(pán)。 （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題） 2．某市儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進(jìn)物資共用4小時(shí)，調(diào)進(jìn)物資2小時(shí)后開(kāi)始調(diào)出物資（調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲(chǔ)運(yùn)部庫(kù)存物資與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物資從開(kāi)始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時(shí)間是___________________。 （山東省濟(jì)南市中考試題） 3．甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車(chē)到地后原地休息，甲、乙兩人的距離與乙騎車(chē)的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則兩地的距離為_(kāi)_____________________千米。 4．一臺(tái)計(jì)算機(jī)的硬盤(pán)分為3個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)的使用情況如圖所示，則這個(gè)硬盤(pán)的使用率為_(kāi)_____________________。 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 5．三支足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽（每支隊(duì)與另一支隊(duì)只比賽一場(chǎng)，共三場(chǎng)），下表給出的是比賽的部分結(jié)果： 球隊(duì) 比賽場(chǎng)數(shù) 勝 負(fù) 平 總進(jìn)球數(shù) 總失球數(shù) 2 2 1 2 1 2 4 2 3 7 請(qǐng)根據(jù)上表，填上隊(duì)與隊(duì)比賽時(shí)的比分為_(kāi)______________。 （重慶市競(jìng)賽試題） 6．如圖是某班全體學(xué)生外出時(shí)乘車(chē)、步行、騎車(chē)的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（兩圖都不完整），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．該班總?cè)藬?shù)為50人 B．騎車(chē)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20％ C．步行人數(shù)30人 D．乘車(chē)人數(shù)是騎車(chē)人數(shù)的2.5倍 7．某人騎車(chē)沿直線旅行，先前進(jìn)了千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回千米（），再前進(jìn)千米，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖為（ ）。 A． B． C． D． 8．一圓形地塊，打算分四個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰（有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個(gè)數(shù)為 ( )。 A．66 B．68 C．60 D．84 （重慶市競(jìng)賽試題） 9．某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生；參加英語(yǔ)競(jìng)賽有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學(xué)生參加了競(jìng)賽，其中有75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，問(wèn)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)有多少人？ （“祖沖之杯”邀賽試題） 10．某人租用一輛汽車(chē)由城前往城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間（單位：h）如圖所示。若汽車(chē)行駛的平均速度為km/h。而汽車(chē)每行駛 km需要的平均費(fèi)用為元。試指出此人從城出發(fā)到城的最短線路，并求出所需費(fèi)用最少多少元？ （全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 11.剛回到營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息小時(shí)再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營(yíng)地10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊(duì)用1小時(shí)打通．已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度是千米/時(shí)． （1）若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問(wèn)二分隊(duì)幾個(gè)小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？ （2）若需要二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾個(gè)小時(shí)？ （3）下列圖中，①②分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離（千米）和時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為所有可能合理圖像的代號(hào)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義． A B C D (安徽省中考題) 12.已知函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。． （1）在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象． （2）已知關(guān)于的方程錯(cuò)誤！未找到引用源。有三解.求的取值范圍． （“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽試題） 27 以形助數(shù) ——借助圖形思考 例1 7 提示：設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)的弧長(zhǎng)分別為x，y，z，則x+y+z=9，不妨設(shè)，則（x，y，z）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）這7種情形. 例2（1）900 （2）圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇.（3）由圖像可知，慢車(chē)12h行駛的路程為900km，所以慢車(chē)的速度為=75km/h；當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇，兩車(chē)行駛的路程之和為900km，所以慢車(chē)和快車(chē)行駛的速度之和為=225km/h,所以快車(chē)的速度為150km/h.（4）根據(jù)題意快車(chē)行駛900km到達(dá)乙地，所以快車(chē)行駛=6h到達(dá)乙地，此時(shí)兩車(chē)之間的距離為675=450km，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，450）.設(shè)線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，把（4，0），（6，450）帶入得，解得 所以，線段BC所標(biāo)示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=225x-900.自變量x的取值范圍是. （5）慢車(chē)與第一列快車(chē)相遇30分鐘后與第二列快車(chē)相遇，此時(shí)，慢車(chē)的行駛時(shí)間是4.5h，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此時(shí)，慢車(chē)與第一列快車(chē)之間的距離等于兩列快車(chē)之間的距離112.5km，所以兩列快車(chē)出發(fā)間隔的時(shí)間是112.5150=0.75h，即第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚出發(fā)0.75h. 例3 設(shè)只收看A,B,C三個(gè)欄目的觀眾人數(shù)分別為x，y，z，沒(méi)有收看欄目A而收看欄目B和欄目C的人數(shù)為m.不只收看欄目A的人數(shù)為n，如圖所示. 得z=29-4y. 由y-2z=m≥0得9y-58≥0，∴ 由29-4y=z≥0得y≤，∵y為整數(shù)，∴y=7 從而z=1，x=8，n=7，m=5. 故欄目A的收視率為100﹪=100﹪≈53.6﹪ 例4 第一個(gè)是丙，第三個(gè)是甲，第五個(gè)是丁. 例5如圖，A,B,C三個(gè)圓分別表示數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、語(yǔ)文優(yōu)秀學(xué)生的集合，而a，b，c，…，f，g則分別表示各類(lèi)優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)，如g表示數(shù)、外、語(yǔ)三科均優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)f表示語(yǔ)、外兩科優(yōu)秀而數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù). 則解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10. 故a+b+c+d+e+f+g=51.說(shuō)明數(shù)、外、語(yǔ)三科中至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生共有51人，而全班僅有50人，故統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤. 【能力訓(xùn)練】 1.2 提示：如圖，用5個(gè)點(diǎn)表示甲、乙、丙、丁及小強(qiáng)這5個(gè)人，如果兩個(gè)人已經(jīng)賽過(guò)一盤(pán)，就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線段. 2.4.4小時(shí) 3.24 4.32﹪ 提示：依照?qǐng)D中數(shù)據(jù)計(jì)算：=32﹪ 5.5：1 6.C 提示：由直方圖可知，乘車(chē)人數(shù)為25人，由扇形圖可知，乘車(chē)人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的50﹪.故全班總?cè)藬?shù)為2550﹪=50人.步行人數(shù)為5030﹪=15（人）.騎車(chē)人數(shù)為50-25-15=10（人）. 7.C 8.D 提示：若A,C種同一種植物，則A,C有41種栽種法，B,D都有3種栽種法，共有433=36種栽種方案；若A,C種不同的植物，則有43種載法，B,D都有2種，共有4322=48種栽種方案.故共有36+48=84種栽種方案. 9.15人 提示：如圖，用A,B兩個(gè)圓分別表示參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男、女生人數(shù)，用C,D兩個(gè)圓分別表示參加英語(yǔ)競(jìng)賽的男、女生人數(shù)，只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男生人數(shù)是120-75=45人，只參加英語(yǔ)競(jìng)賽的男生人數(shù)是80-75=5人，設(shè)兩科都參加的女生人數(shù)為x人，則只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生數(shù)為（80-x）人，只參加英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為（120-x）人，由題意得120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案為80-x=15人. 10.從A城出發(fā)到B城的路線分成如下兩類(lèi)：（1）從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過(guò)O城。因?yàn)閺腁城到O城所需最短時(shí)間為24h，從O城到B城所需最短時(shí)間為22h，所以，此類(lèi)路線所需最短時(shí)間為24+22=46h.（2）從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過(guò)O城，這時(shí)從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過(guò)C,D,E城或F,G,H城，所需時(shí)間至少為47h.