七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題10 多變的行程問題試題 （新版）新人教版.doc

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10 多變的行程問題 閱讀與思考 行程問題的三要素是：距離（）、速度（）、時間（），基本關(guān)系是：，，． 行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環(huán)形問題等．其中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關(guān)系如下： 1．相遇問題 其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝兩地之間的距離． 2．追及問題 其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發(fā)時間不同，造成一前一后，又因為速度的差異使得后者最終能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝兩地之間的距離． 例題與求解 【例1】 在公路上，汽車、、分別以80千米/時，70千米/時，50千米/時的速度勻速行駛，從甲站開往乙站，同時，、從乙站開往甲站．在與相遇后兩小時又與相遇，則甲、乙兩站相距__________千米． （“希望杯”競賽試題） 解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據(jù)時間關(guān)系列方程． 【例2】 如圖，某人沿著邊長為90來的正方形，按→→→→…方向，甲從以65米/分的速度，乙從以72米/分的速度行走，當乙第一次追上甲時在正方形的（ ）． A．邊上 B．邊上 C．邊上 D．邊上 （安徽省競賽試題） 解題思路：本例是一個特殊的環(huán)形追及問題，注意甲實際在乙的前面（米）處． 【例3】 亞州鐵人三項賽在徐州市風光秀麗的云龍湖畔舉行．比賽程序是：運動員先同時下水游泳1.5千米到第一換項點，在第一換項點整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項點，再跑步10千米到終點．下表是亞洲鐵人三項賽女子組（19歲以下）三名運動員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所用時間，其他類推，表內(nèi)時間單位為秒）． 運動員號碼 游泳成績 第一換項點所用時間 白行車成績 第二換項點所用時間 長跑成績 191 1 997 75 4 927 40 3 220 194 1 503 110 5 686 57 3 652 195 1 354 74 5 351 44 3 195 （1）填空（精確到0.01）： 第191號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒； 第194號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒； 第195號運動員騎自行車的平均速摩是__________米/秒； （2）如果運動員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號運動員會追上195號或194號嗎？如果會，那么追上時離第一換項點有多少米（精確到0.01）？如果不會，為什么？ （3）如果運動員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運動員有可能某人追上某人嗎？為什么？ （江蘇省徐州市中考試題） 解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時間的比較是解本例的關(guān)鍵． 【例4】 一小船由港到港順流需行6小時，由港到港逆流需行8小時．一天，小船從早晨6點由港出發(fā)順流行至港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈，問： （1）若小船按水流速度由港漂流到港時需多少小時？ （2）救生圈是何時掉人水中的？ （天津市中考試題） 解題思路：要求小船按水流速度由港漂流到港時所需時間，需求兩港間的距離及水流速度，考慮增設(shè)輔助未知數(shù)． 【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時到達學校后，接參觀的師生立即出發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學校師生等到7時10分，仍未見汽車來接，就步行走向縣城．在行進途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預(yù)定到達縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時間？ （山東省中考試題） 解題思路：從題中比原定時間晚到半小時入手，選好未知量，找出汽車所用時間與師生步趕所用時間之間的關(guān)系．依時間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程． 【例6】 甲、乙兩人分別從，兩地同時出發(fā)，在距離地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)按原方向、原速度前進，當他們分別到達地、地后，立刻返回，又在距地4千米處相遇，求，兩地相距多少千米？ （“祖沖之杯”邀請賽試題） 解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析． 能力訓練 A級 1．某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小時． 2．汽車以每小時72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，已知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時汽車離山谷的距離是__________米． （江蘇省競賽試題） 3．甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地開出的為第一輛汽車，每小時行30千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時行40千米．當從甲地開出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了__________千米和__________千米． （武漢市選拔賽試題） 4．上午9時整，時計與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（ ）． A．9時30分 B．10時5分 C．10時分 D．9時分 （“希望杯”競賽試題） 5．甲、乙兩人同時從地到地，如果乙的速度保持不變，而甲先用的速度到達中點，再用的速度到達地，則下列結(jié)論中正確的是（ ）． A．甲、乙同時到達地 B．甲先到地 C．乙先到地 D．無法確定誰先到 6．甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發(fā)，當甲到達6樓時，乙剛到達5樓，按此速度，當甲到達頂層時，乙可到達（ ）． A．31層 B．30層 C．29層 D．28層 7．如圖，甲、乙兩動點分別從正方形的頂點，同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第xx次相遇在邊（ ）上． A． B． C． D． （湖北省黃岡市競賽試題） 8．甲、乙兩列火車同時從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時84千米，乙速為每小時60千米，則當兩車相距24千米時行駛的時間為（ ）． A．40分鐘 B．1小時 C．1小時或20分鐘 D．40分鐘或1小時 9．有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人，一天王老師到達道口時，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計）．通過道口后，還需7分鐘到達學校： （1）此時，若繞道而行，要15分鐘到達學校，從節(jié)省時間考慮，王老師應(yīng)繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？ （2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過逬口，求維持秩序的時間． （江西省中考試題） 10．某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘，若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達火車站，求此人此時騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？ （湖北省孝感市競賽試題） 11． 鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東行進，行人速度為3.6千米/小時，騎車人速度為16.8千米/小時，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，問這列火車的車身長為多少米？ （河北省競賽試題） B級 1．甲、乙兩人從兩地同時出發(fā)，若相向而行，小時相遇；若同向而行，則小時甲追及乙，那么甲、乙兩人的速度之比為__________． （江蘇省競賽試題） 2．甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是__________秒． （“希望杯”邀請賽試題） 3．某人乘船由地順流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小時，已知船在靜水中的速度為每小時7.5千米，水流速度為每小時2.5千米，若，兩地的距離為10千米，則，的距離為__________千米． （重慶市競賽試題） 4．某段公路由上坡、平坡、下坡三個等長的路段組成，已知一輛汽車在三個路段上行駛的平均速度分別為，，．則該汽車在這段公路上行駛的平均速度為（ ）． A． B． C． D． （天津市競賽試題） 5．靜水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不為零的河流中，甲、乙兩船同時從港出發(fā)，同向航行1小時后立即返航，那么（ ）． A．甲船先返回港 B．乙船先返回A港 C．甲、乙兩船同時返回港 D．不能確定哪條船先返回港 （《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題） 6．某商場有一部自動扶梯勻速由下而上運動，甲、乙二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時勻速登梯，甲登了55級后到達樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時間內(nèi)乙登樓級數(shù)是甲的2倍），他登了60級后到達樓上，那么，由樓下到樓上的自動扶梯級數(shù)為__________． （北京市競賽試題） 7．甲、乙兩同學從400米的環(huán)形跑道上的某一點背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米． 8．某風景區(qū)的旅游線路如右圖所示，其中為入口處，，，為風景點，為三岔路的交匯點，圖中所給的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點間的路程（單位：千米）．某游客從處出發(fā)，以每小時2千米的速度步行游覽，每到一個景點逗留的時間均為半小時． （1）若該游客沿跨線“→→→→”游覽回到處，共用去3小時，求,兩點間的路程． （2）若該游客從處出發(fā)，打算在最短時間內(nèi)游完三個景點并返回處（仍按上述步行速度和在景點的逗留時間，不考慮其他因素），請你為他設(shè)計一個步行路線，并對路線設(shè)計的合理性予以說明． （江蘇省競賽試題） 9．某人沿電車路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，假定此人和電車都是勻速前進，則電車是每隔多少分鐘從起點站開出一輛？ （湖北省黃岡市競賽試題） 10．如圖，甲、乙兩人分別在，兩地同時相向而行，于處相遇后，甲繼續(xù)向地行走，乙則休息了14分鐘，再繼續(xù)向地行走，甲和乙到達和后立即折返，仍在處相遇，已知甲每分鐘行走60米，乙每分鐘行走80米，則和兩地相距多少千米？ （“華羅庚金杯”競賽試題） 專題 10 多變的行程問題 例1 1950 提示:設(shè)甲乙兩站相距S千米,則,解得S=1950千米 例2 B 提示:乙第一次追上甲用了分鐘, 例3 ⑴ 8.12 7.03 7.48 ⑵ 191號能追上194號,這時離第一換項點有24037.96米191號不會追上195號 ⑶ 從第二換項點出發(fā)時,195號比191號提前216秒,且長跑速度比191號快,所以195號在長跑時始 終在191號前面,而191號在長跑時始終在194前面,故在長跑時,誰也追不上誰. 例4 ⑴設(shè)小船在靜水中的速度為α,水流的速度為b,由題意,得6(a+b)=8(a-b),解得a=7b.故小船按水流速度由 A港漂流到B港所需的時間為小時 ⑵ 設(shè)小船行駛x小時后救生圈掉入水中,則小船找到救生圈即小船與救生圈相遇,他們行駛的路程如圖所示: 由題意得(6-x+1)b+(a-b)1=(6-x)(a+b),將a=7b代入上式,解得x=5 故救生圈是在上午11點掉入水中的. 例5 如圖,設(shè)點A為縣城所在地,點B為學校所在地,但C為師生途中與汽車相遇之處.汽車晚到的的半小時一方面是因晚出發(fā)了10分鐘,另一方面是從B到C由于步行代替乘車而多花了20分鐘.若設(shè)汽車從C到B需要X分鐘,則師生從B到C應(yīng)花(x+20)分鐘,由于汽車由C到B與師生從B到C的路程相等由時間與速度成反比可得解得 x=4 故排除故障花的時間為42+30=38分鐘 例6 解法一:第一次相遇時,甲乙兩人所走的路程之和,正好是AB兩地相距的路程,即當甲乙合走完AB間的全部路程 時，乙走了6千米.第二次相遇時，兩人合走的路程恰為兩地間距離的3倍(如圖，圖中實線表示甲走的路程，虛線表示乙走的路程)，因此，這時乙走的路程應(yīng)為千米.考慮到乙從B地走到A地后又返回了4千米，所以A,B兩地間的距離為18-4=14千米. 解法二:甲、乙兩人同時出發(fā)，相向而行，到相遇時兩人所走時間相等，又因為兩人都做勻速運動，應(yīng)有:兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時間走過的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米. 設(shè)全程為S，則可列方程. 解得 (舍去). 故A,B兩地相距14千米. 解法三:設(shè)全程為S千米，甲、乙兩人速度分別為v, 則 得，解得 (舍去) 故A,B兩地相距14千米. A級 1. 4.8 2.640 3. 150 200提示:設(shè)第一輛車行駛了(140十)千米，則第二輛車行駛了千米，由題意得 ，解得. 4.D 提示:因為分針每分鐘轉(zhuǎn),時針每分鐘轉(zhuǎn)，設(shè)兩針從上午9時開始，分鐘后兩針成直角，由題意知,解得. 5.C 6.C 提示：. 7. C 8. D 9.(1)因,故王老師應(yīng)選擇繞道去學校. (2)設(shè)維持秩序時間為t, 則,解得t=3(分鐘). 10.設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開車的時間為x小時，由題意得，解得x=1. 此人打算在火車前10分鐘到達火車站，騎摩托車的速度應(yīng)為千米/時. 11.設(shè)火車的速度為x米/秒，由題意得，解得x=14. 故火車的車身長為(14-1)22=286米. B級 1. 2.7.5 提示：先求出甲、乙兩車速度和為米/秒. 3. 20或 4. D提示:設(shè)三個等長路段的路程均為S，則平均速度為 . 5.D 提示:考慮兩船同時先順水航行的情形，設(shè)想乙船在靜水中的速度接近水流的速度，則它將遲遲難以返航.而甲先返回A港,類似的可考慮兩船同時先逆水航行的情形. 6. 66 7. 444 8. (1) CE=0.6千米.(2)基本的行走路線有兩條:一是A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A )，總時間為4小時;二是A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，總時間為3.9小時. 9.設(shè)電車速度為，人速為，電車每隔t分鐘開出一輛，則每兩輛電車之間的距離vt，對于迎面來的電車，這個距離是人與電車共同走4分鐘完成的，對于后面追上的電車，兩輛電車之間的距離是電車在12分鐘追上起始時的距離，由題意得，解得t=6分鐘. 10. AE:BE=60:80=3:4，設(shè)AE=3x, BE= 4x，從而AB= 7x(米).由題意得，解得x=240，故AB=7x=7240=1680米.