2018-2019學年高中數學 第三章 推理與證明 1.1 歸納推理學案 北師大版選修1 -2.docx

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1.1　歸納推理 學習目標　1.了解歸納推理的含義.2.能用歸納方法進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數學發(fā)展中的作用． 知識點　歸納推理 思考　(1)一個人看見一群烏鴉都是黑的，于是說“天下烏鴉一般黑”； (2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都能導電． 以上屬于什么推理？ 答案　屬于歸納推理．符合歸納推理的定義特征，即由部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理． 梳理　歸納推理的定義及特征 定義 根據一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性，我們將這種推理方式稱為歸納推理 特征 (1)歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理． (2)利用歸納推理得出的結論不一定是正確的 1．歸納推理得到的結論可作為定理應用．(　　) 2．由個別到一般的推理為歸納推理．(　√　) 3．由歸納推理得出的結論一定是正確的．(　　) 類型一　歸納推理在數與式中的應用 例1　(1)觀察下列等式： 1＋1＝21， (2＋1)(2＋2)＝2213， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135， … 照此規(guī)律，第n個等式可為_______________________________________________． (2)已知f(x)＝，設f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，則f3(x)的表達式為________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表達式為________． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)　(2)f3(x)＝　fn(x)＝ 解析　(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項的積，最小項和最大項依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數之積乘以2n，則第n個等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， ∴根據前幾項可以猜想fn(x)＝. 引申探究　 在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改為“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他條件不變，試猜想fn(x) (n∈N＋)的表達式． 解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝f(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝， f3(x)＝f(f2(x))＝＝， f4(x)＝f(f3(x))＝＝. 因此，可以猜想fn(x)＝. 反思與感悟　已知等式或不等式進行歸納推理的方法 (1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數和次數等方面的變化規(guī)律； (2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形成的特征； (3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點； (4)運用歸納推理得出一般結論． 跟蹤訓練1　已知：1>；1＋＋>1；1＋＋＋＋＋＋>；1＋＋＋…＋>2；…. 根據以上不等式的結構特點，歸納出一般性結論． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 解　1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左邊最后一項的分母為2n－1，而不等式右端依次分別為，，，，…，. 歸納得一般性結論：1＋＋＋…＋>(n∈N＋)． 類型二　歸納推理在數列中的應用 例2　已知數列{an}中，a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，試歸納出這個數列的通項公式． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數列中的應用 解　當n＝1時，a1＝1， 當n＝2時，a2＝＝， 當n＝3時，a3＝＝， 當n＝4時，a4＝＝， …， 歸納得數列{an}的通項公式為an＝(n＝1,2,3，…)． 反思與感悟　用歸納推理解決數列問題的方法 在求數列的通項和前n項和公式中，經常用到歸納推理得出結論，在得出具體結論后，要注意統一形式，以便尋找規(guī)律，然后歸納猜想得出結論． 跟蹤訓練2　如圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，則運用歸納推理得到第11行第2個數(從左往右數)為(　　) 　 　　 　　　 　　　　 …… A.B.C.D. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數陣(表)中的應用 答案　B 解析　由“萊布尼茲調和三角形”中數的排列規(guī)律，我們可以推斷：第10行的第一個數為，第11行的第一個數為，第11行的第2個數為－＝. 類型三　歸納推理在圖形中的應用 例3　如圖(1)是一個水平擺放的小正方體木塊，圖(2)，圖(3)是由(1)中的小正方體木塊疊放而成的．按照這樣的規(guī)律擺放下去，第7個圖形中，小正方體木塊的總個數是________． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　91 解析　記第n個圖形中木塊的總數為an，觀察前三個圖形中的木塊數可知，a1＝1，a2＝1＋(1＋4)＝1＋5＝6，a3＝1＋5＋(5＋4)＝1＋5＋9＝15，按照題中的規(guī)律放下去，可知，第7個圖形中小木塊的總個數為1＋5＋9＋…＋25＝91. 反思與感悟　歸納推理在圖形中的應用策略 跟蹤訓練3　如圖，在所給的四個選項中，能使兩組圖呈現一定的規(guī)律性的為(　　) 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　A 解析　觀察第一組中的三個圖，可知每一個黑色方塊都從右向左循環(huán)移動，每次向左移動一格，由第二組的前兩個圖，可知整體圖形再次向左移動一格，第三個圖，左邊沒有格的情況下，應從最右邊出現，故選A. 1．根據給出的數塔猜測1234569＋7等于(　　) 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 12349＋5＝11111 123459＋6＝111111 … A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　B 解析　由數塔猜測應是各位都是1的七位數， 即1111111. 2．已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，則數列{an}的一個通項公式an等于(　　) A. B. C. D. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數列中的應用 答案　C 解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， 則an＝. 3．已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推廣為(　　) A．xn＋>n B．xn＋>n＋1 C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　B 解析　不等式左邊是兩項的和，第一項是x，x2，x3，…，右邊的數是2,3,4，…，利用此規(guī)律觀察所給的不等式，都是寫成xn＋>n＋1的形式，從而歸納出一般性結論：xn＋>n＋1，故選B. 4．有一串彩旗，代表藍色，代表黃色．兩種彩旗排成一行：…，那么在前200個彩旗中黃旗的個數為(　　) A．111B．89C．133D．67 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　D 解析　觀察彩旗排列規(guī)律可知，顏色的交替成周期性變化，周期為9，每9個旗子中有3個黃旗，則2009＝22余2，則200個旗子中黃旗的個數為223＋1＝67.故選D. 5．按照圖1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個圖中圓點的個數為________． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　40 解析　圖1中的點數為4＝14， 圖2中的點數為8＝24， 圖3中的點數為12＝34，…， 所以圖10中的點數為104＝40. 1．歸納推理的四個特點 (1)前提：幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象，該結論超越了前提所包括的范圍． (2)結論：具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實踐檢驗，因此，歸納推理不能作為數學證明的工具． (3)步驟：先搜集一定的事實資料，有了個別性的、特殊性的事實作為前提，才能進行歸納推理，因此歸納推理要在觀察和實驗的基礎上進行． (4)作用：具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理能夠發(fā)現新事實，獲得新結論，是科學發(fā)現的重要手段． 2．歸納推理解決問題的思維過程 實驗、觀察→分析概括→猜測總結 一、選擇題 1．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據上述規(guī)律可知，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(　　) A．192B．202C．212D．222 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　C 解析　由題意可知，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內畫上合適的圖形為(　　) A.B．△C.D．○ 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　A 解析　觀察可發(fā)現規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結果． 3．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋小于(　　) A.B.C.D. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　C 解析　觀察可以發(fā)現，第n(n≥1)個不等式左端有n＋1項，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數列，首項為3，公差為2，因此第n個不等式為1＋＋＋…＋<，所以當n＝2018時不等式為1＋＋＋…＋<. 4．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72019的末兩位數字為(　　) A．01B．43C．07D．49 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　B 解析　由71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401， 75＝16807,76＝117649,77＝823543， 可以看出末兩位數字呈周期出現，且周期為4， 20194＝504…3. 所以72019的末兩位數字為43. 5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．按照圖中所示的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　C 解析　從①②③可以看出，從圖②開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數成等差數列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為6n＋2. 6．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　C 解析　利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結果為前兩組結果的和． 7．記Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，當k＝1,2,3，…時，觀察下列等式： S1＝n2＋n， S2＝n3＋n2＋n， S3＝n4＋n3＋n2， S4＝n5＋n4＋n3－n， S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2， …， 可知推測A－B等于(　　) A.B.C.D. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數陣(表)中的應用 答案　D 解析　觀察發(fā)現各式等號右邊第一項的系數為對應項指數的倒數，且各項系數之和為1，故A＝，B＝－，所以A－B＝. 8．如圖，已知△ABC的周長為2，連接△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，依此類推，第2018個三角形的周長為(　　) A.B.C.D. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案　D 解析　∵第一個三角形的周長為2，第二個三角形的周長為1，第三個三角形的周長為，……，∴第n個三角形的周長為22－n，∴第2018個三角形的周長為22－2018＝. 二、填空題 9．經計算發(fā)現下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根據以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數a，b都成立的條件不等式：____________________________________. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　已知a，b是正實數且a≠b，若a＋b＝20，則＋<2 10．觀察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …； 照此規(guī)律，第n個等式為________． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 解析　12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n) ＝(－1)n＋1. 11．對于大于1的自然數m的n次冪可用奇數進行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數為a,52的“分裂”中的最大數是b，則a＋b＝________. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數對(組)中的應用 答案　30 解析　觀察題圖易得 ∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30. 12．n個連續(xù)自然數按規(guī)律排列如表：根據規(guī)律，從2018到2020，箭頭的方向依次為________．(填序號) 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 答案?、? 解析　箭頭方向呈周期變化，且周期為4,20184＝504…2，故填③. 三、解答題 13．已知正項數列{an}滿足Sn＝，求出a1，a2，a3，并推測通項an. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數列中的應用 解　∵Sn＝，∴S1＝， 又∵S1＝a1，∴a1＝，∴a1＝1(負值舍去)． 又∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1， ∴an＝－， ∴－an＝an－1＋，∴－a2＝2， ∴a2＝－1， 又∵an>0，∴a2＝－1. 同理，a3＝－. ∴a1＝1，a2＝－1，a3＝－. 利用歸納推理，猜測：an＝－，n∈N＋. 四、探究與拓展 14．給出以下數對序列： (1,1) (1,2)，(2,1) (1,3)，(2,2)，(3,1) (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1) … 記第n行的第m個數對為anm(m，n∈N＋)，如a43＝(3,2)，則： (1)a54＝________；(2)anm＝________________. 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在數陣(表)中的應用 答案　(1)(4,2)　(2)(m，n－m＋1) 解析　若anm＝(a，b)，則a＝m，b＝n－m＋1， ∴a54＝(4,2)． 15．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖①②③④所示的為她們刺繡的最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成的，小正方形數越多，刺繡越漂亮．現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形． (1)求f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式； (3)求＋＋＋…＋的值． 考點　歸納推理的應用 題點　歸納推理在圖形中的應用 解　(1)f(5)＝41. (2)f(2)－f(1)＝4＝41， f(3)－f(2)＝8＝42， f(4)－f(3)＝12＝43， f(5)－f(4)＝16＝44， …， 由上述規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n＋1)＝f(n)＋4n， f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)當n≥2時，＝＝， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋ ＝1＋＝－.