（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)分層作業(yè) 十四 2.11.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 文.doc

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課時(shí)分層作業(yè) 十四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.[-,] D.(-,) 【解析】選C.函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-3x2+2ax-1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),所以在(-∞,+∞)上f′(x)≤0恒成立,即-3x2+2ax-1≤0恒成立,Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-,]. 2.(2017浙江高考)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是 (　　) 【解析】選D.由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知函數(shù)在(-∞,0)上是先減后增,在(0,+∞)上是先增后減再增,故選D. 【變式備選】若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是 (　　) A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 【解析】選C.由題意可知f′(x)=-(x-2)+≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立,由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可. 3.已知函數(shù)f(x)=x2+2cos x,若f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)f′(x)的圖象大致是 (　　) 【解析】選A.因?yàn)閒(x)=x2+2cos x,所以f′(x)=2x-2sin x=2(x-sin x). 設(shè)g(x)=2(x-sin x),則g′(x)=2(1-cos x)≥0,所以f′(x)為增函數(shù). 【變式備選】(2018合肥模擬)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),已知函數(shù)y=2f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　　) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 【解析】選D.結(jié)合題干圖可知, 當(dāng)x∈(-∞,2]時(shí),2f′(x)≥1,即f′(x)≥0; 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),2f′(x)<1,即f′(x)<0; 故函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞). 4.已知f(x)是定義域,值域都為(0,+∞)的函數(shù), 滿足2f(x)+xf′(x)>0,則下列不等式正確的是 (　　) A.2019f(2019)>2018f(2018) B.2019f(2019)<2018f(2018) C.20182f(2018)<20192f(2019) D.20182f(2018)>20192f(2019) 【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),當(dāng)x>0時(shí),g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0, 所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 所以20182f(2018)<20192f(2019). 【變式備選】(2018撫州模擬)若函數(shù)f(x)=x+aln x不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(0,+∞) 【解析】選C.由題意知x>0,f′(x)=1+,要使函數(shù)f(x)=x+aln x不是單調(diào)函數(shù),則需方程1+=0在x>0上有解,即x=-a,所以a<0. 5.(2018昆明模擬)已知函數(shù)f(x)=xsin x+cos x+x2,則不等式f(ln x)　+f<2f(1)的解集為 (　　) A.(e,+∞) B.(0,e) C.∪(1,e) D. 【解析】選D.函數(shù)f(x)=xsin x+cos x+x2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=sin x+xcos x- sin x+2x=x(2+cos x), 則x>0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, 且f(-x)=(-x)sin(-x)+cos (-x)+(-x)2=f(x), 所以f(x)為偶函數(shù),即有f(x)=f(|x|), 則不等式f(ln x)+f<2f(1), 即為f(ln x)0,得01, 即f(x)<+的解集為{x|x>1}. 答案:{x|x>1} 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2018武威模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,-11),且在點(diǎn)P處的切線斜率為-12. (1)求a,b的值. (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(1,-11),所以f(1)=-11.所以a+b=-12. ① 又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為-12, 所以f′(1)=-12,又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=-15. ② 解由①②組成的方程組,可得a=-3,b=-9. (2)由(1)得f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)>0,可得x<-1或x>3;令f′(x)<0,可得-1-1時(shí),r′(x)>0,r(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),故x=0是r(x)在(-1,+∞)內(nèi)的唯一零點(diǎn),即x=0是f′(x)在(-1,+∞)內(nèi)的唯一零點(diǎn). 所以當(dāng)-10時(shí),f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù). (2)g(x)=(x+1)[f(x)+1]+x2 =(x+1)ex+x2+ax, g′(x)=(x+2)ex+2x+a, g″(x)=(x+3)ex+2. 如果g(x)在(-∞,-1)是凸函數(shù),那么?x∈(-∞,-1),都有g(shù)″(x)≥0. g″(x)≥0?a≥-(x+3)ex.令h(x)=-(x+3)ex,即得h′(x)=-(x+4)ex. 令h′(x)=0?x=-4,當(dāng)x<-4時(shí),h′(x)>0;當(dāng)-4f(1) C.f(-1)f(1). 2.(5分)(2017山東高考)若函數(shù)g(x)=exf(x)(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱f(x)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是 (　　) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 【解析】選A.A中,g(x)=ex2-x=,因?yàn)?1,所以g(x)單調(diào)遞增,所以f(x)具有M性質(zhì),滿足題意. B中,g(x)=exx2,則g′(x)=exx(x+2),所以g(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,所以f(x)不具有M性質(zhì),不滿足題意; C中,g(x)=ex3-x=,因?yàn)?<<1,所以g(x)單調(diào)遞減,所以f(x)不具有M性質(zhì),不滿足題意; D中,g(x)=excos x,則g′(x)=ex(cos x-sin x),所以g(x)在上單調(diào)遞減,所以f(x)不具有M性質(zhì),不滿足題意. 【變式備選】已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf′(x),則不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 (　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞) 【解析】選D.因?yàn)閒(x)+xf′(x)<0, 所以(xf(x))′<0,即xf(x)在(0,+∞)上為減函數(shù), 又因?yàn)?x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),所以02. 3.(5分)(2018綿陽(yáng)模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對(duì)任意x∈R都有f′(x)<,則不等式f(x2)>的解集為________. 【解析】設(shè)g(x)=f(x)-,g(1)=f(1)-=1-1=0,g′(x)=f′(x)-,因?yàn)閷?duì)任意x∈R,都有f′(x)<,所以g′(x)<0即g(x)為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù).不等式f(x2)>,即為g(x2)>0=g(1).則x2<1,解得-10,故g(x)為增函數(shù); 當(dāng)-10時(shí),g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù); 綜上知,g(x)在和內(nèi)為減函數(shù),在和內(nèi)為增函數(shù). 5.(13分)函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax+b. (1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,求g(x)的表達(dá)式. (2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)由已知得f′(x)=,g′(x)=a, 所以f′(1)=1=a,解得a=2. 又因?yàn)間(1)=0=a+b,所以b=-1, 所以g(x)=x-1. (2)因?yàn)棣?x)=-f(x) =-ln x在[1,+∞)上是減函數(shù). 所以φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立. 即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,則2m-2≤x+,x∈[1,+∞), 因?yàn)閤+∈[2,+∞),所以2m-2≤2,m≤2. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,2]. 【變式備選】(2018深圳模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 【解析】函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x的定義域?yàn)?0,+∞), f′(x)=x-+a-2=. ①當(dāng)-a=2,即a=-2時(shí),f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ②當(dāng)0<-a<2,即-22時(shí),f′(x)>0;-a2,即a<-2時(shí), 因?yàn)楫?dāng)0-a時(shí),f′(x)>0;當(dāng)2

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