高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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5.1 直線間的夾角
5.2 平面間的夾角
課時(shí)目標(biāo) 理解兩條異面直線的夾角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解決線線、面面所成角的計(jì)算問題．會(huì)靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題．
1．直線間的夾角包括兩直線共面時(shí)的兩直線的夾角和兩直線異面時(shí)的異面直線的夾角，兩直線的夾角范圍是________；兩條異面直線夾角的范圍是________，其大小可以通過這兩條異面直線的______________的夾角來求．若設(shè)兩條異面直線的夾角為θ，它們的方向向量的夾角是φ，則有θ＝______或θ＝________.
2．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范圍是____________，二面角的平面角的大小(或其補(bǔ)角的大小)可以通過兩個(gè)面的__________的夾角求得，二面角和兩平面法向量的夾角的關(guān)系是______________．
一、選擇題
1．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均錯(cuò)
2．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
3．如果二面角α—l—β的平面角是銳角，點(diǎn)P到α，β和棱l的距離分別為2，4和4，則二面角的大小為( )
A．45°或30° B．15°或75°
C．30°或60° D．15°或60°
4．從點(diǎn)P引三條射線PA、PB、PC，每?jī)蓷l夾角均為60°，則二面角B—PA—C的余弦值是( )
A. B. C. D.
5．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為( )
A. B. C. D.
6．長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是________．
8．如圖，
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．
9．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為________．
三、解答題
10．長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1與面B1BCC1的中心，求異面直線AF與BE所成角的余弦值．
11.
在三棱錐S—ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，SB＝4.
(1)證明：SC⊥BC；
(2)求二面角A—BC—S的大?。?
能力提升
12.
如圖所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上，且DE⊥AE.求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．
13.
如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE＝3EB1.
(1)證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線；
(2)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1－AC1－B1的余弦值．
1．異面直線所成的角可以利用兩個(gè)向量的夾角來求．
2．二面角可以利用立體幾何方法作出二面角的平面角，然后利用幾何方法或向量進(jìn)行計(jì)算；也可以直接利用兩個(gè)平面的法向量來求，要注意角的范圍．
3．利用向量解題，大致可以利用基底法和坐標(biāo)法．
§5 夾角的計(jì)算
5．1 直線間的夾角
5．2 平面間的夾角
知識(shí)梳理
1．[0，] 方向向量 φ π－φ
2．[0，π] 法向量 相等或互補(bǔ)
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．A
2．D
[如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，
N.
∴＝，＝.
∴·＝，||＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝.]
3．B [如圖(1)，(2)所示，分別是P在二面角α—l—β的內(nèi)部、外部時(shí)的情況．因?yàn)镻A⊥α，所以PA⊥l，因?yàn)镻C⊥l，所以l⊥面PAC，同理，l⊥面PBC，而面PAC與面PBC有公共點(diǎn)，所以面PAC和面PBC應(yīng)重合，即A，B，C，P在同一平面內(nèi)，∠ACB是二面角的平面角．
在Rt△APC中，sin∠ACP＝＝＝，所以∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，sin∠BCP＝＝＝，所以∠BCP＝45°，故∠ACB＝30°＋45°＝75°(圖(1))，或∠ACB＝45°－30°＝15°(圖(2))．]
圖(1) 圖(2)
4．B [在射線PA上取一點(diǎn)O，分別在平面PAB、PAC內(nèi)作OE⊥PA，OF⊥PA交PB、PC于E、F，則∠EOF為所求二面角的平面角．
△EOF中，令EF＝1，則由題意可求得，OE＝OF＝，∴cos∠EOF＝＝.]
5．B
[建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，
則＝(1,0,1)，＝(1,1，)．
設(shè)平面A1DE的法向量n1＝(x，y，z)，
則∴解得
令z＝1，∴n1＝(－1，，1)
平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.]
6．B [
建立坐標(biāo)系如圖．
則A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.]
7．60°
解析 ∵cos〈n，ν〉＝＝＝－，
∴〈n，ν〉＝120°.故兩平面所成的銳二面角為60°.
8．90°
解析
建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為1，則B，
M，
B1，
因此＝，＝，設(shè)異面直線AB1與BM所成的角為θ，
則cos θ＝|cos〈，〉|＝＝0，
∴θ＝90°.
9.
解析 建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1.因?yàn)锳1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由AD＝，AA1＝1知A1D＝.
故A1.又A，B，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝.
又∵CC1∥AA1，∴cos〈，〉＝cos〈，〉．
故異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為.
10．解 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(xiàn)(1,4,1)，
＝(－1,4,1)，
＝(－1，－2,2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，
·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵異面直線所成角的范圍是，
設(shè)AF與BE所成角為θ，
則cos θ＝|cos〈，〉|＝.
11．(1)證明 由已知∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，以C點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,2,0)，B(4,0,0)，C(0,0,0)，S(0,2,2)，
則＝(0，－2，－2)，
＝(－4,0,0)，
∴·＝0，∴SC⊥BC.
(2)解 ∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥平面ABC，
∴＝(0,0,2)是平面ABC的法向量．
設(shè)側(cè)面SBC的法向量為n＝(x，y，z)，
＝(0，－2，－2)，＝(－4,0,0)．
∵·n＝0，·n＝0，∴
∴x＝0.令z＝1，則y＝－，
則得平面SBC的一個(gè)法向量n＝(0，－，1)，
cos〈，n〉＝＝＝，
即二面角A—BC—S的大小為60°.
12．解 如圖所示，
設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA1＝，則AB＝2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.易知＝(，1,0)，
＝(0,2，)，＝(，，)．
設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則有
解得x＝－y，z＝－y，
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.
13．(1)證明 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA、BB1為x軸正半軸、y
軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB＝2，則A(2,0,0)，
B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)．又設(shè)C(1,0，c)，則＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)．
于是·＝0，·＝0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，又DE∩AB1＝E，CD∩DE＝D.
所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線．
(2)解 因?yàn)椤矗档扔诋惷嬷本€AB1與CD的夾角，故·＝|B1A||cos 45°，
即2××＝4.
解得c＝，故＝(－1,0，)．
又＝＝(0,2,0)，
所以＝＋＝(－1,2，)．
設(shè)平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，
則m·＝0，m·＝0，
即－x＋2y＋z＝0,2y＝0.
令x＝，則z＝1，y＝0.
故m＝(，0,1)．
設(shè)平面AB1C1的法向量為n＝(p，q，r)，
則n·＝0，n·＝0，
即－p＋2q＋r＝0,2p－2q＝0，
令p＝，則q＝，r＝－1.
故n＝(，，－1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
由于〈m，n〉等于二面角A1－AC1－B1的平面角，
所以二面角A1－AC1－B1的余弦值為.
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