高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip,北師大版,高中數(shù)學(xué),第二章,空間向量與立體幾何習(xí)題打包11套[北師大版]選修2-1,第二,空間,向量,立體幾何,習(xí)題,打包,11,北師大,選修
§6 距離的計(jì)算
課時(shí)目標(biāo) 掌握向量長(zhǎng)度計(jì)算公式，會(huì)用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離．
1．兩點(diǎn)間的距離的求法．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，則|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則dAB＝||＝________________.
2．點(diǎn)到直線距離的求法
設(shè)l是過點(diǎn)P平行于向量s的直線，A是直線l外定點(diǎn)．
作AA′⊥l，垂足為A′，則點(diǎn)A到直線l的距離d等于線段AA′的長(zhǎng)度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于線段PA′的長(zhǎng)度，所以根據(jù)勾股定理有點(diǎn)A到直線l的距離．
d＝.
3．點(diǎn)到平面的距離的求法
設(shè)π是過點(diǎn)P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定點(diǎn)．作AA′⊥π，垂足為A′，則點(diǎn)A到平面π的距離d等于線段AA′的長(zhǎng)度，而向量在n上的投影的大小|·n0|等于線段AA′的長(zhǎng)度，所以點(diǎn)A到平面π的距離d＝|·n0|.
一、選擇題
1．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為( )
A. B．2 C. D.
2．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(－2,3)，B(3，－2)，沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成120°的二面角后，則A、B兩點(diǎn)間的距離為( )
A．2 B.
C. D．3
3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是( )
A. B. C. D.
4.
如圖所示，在直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為( )
A. B.
C. D．2
5.
如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是( )
A. B.
C. D.
6．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為( )
A. B．1 C. D.
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．已知夾在兩平行平面α、β間的斜線段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α內(nèi)的射影長(zhǎng)的比為3∶5，則α和β的距離為________．
8．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為______．
9．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，則直線MN到平面ACD1的距離為________．
三、解答題
10．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．
11．在正方體ABCD—A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，利用向量法求點(diǎn)C1到A1C的距離．
能力提升
12．如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，
而且平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )．
(1)求MN的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。?
13.
如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
求直線AD與平面PBC的距離．
1．點(diǎn)到直線的距離可以通過作垂線轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，也可以利用向量形式的點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算．
2．求點(diǎn)到平面的距離的三種方法：
(1)定義法：這是常規(guī)方法，首先過點(diǎn)向平面作垂線，確定垂足的位置，然后把該垂線段歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中，解三角形求得．
(2)等體積法：把點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐底面的高，利用三棱錐轉(zhuǎn)換底面求體積，進(jìn)而求得距離．
(3)向量法：這是我們常用到的方法，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟為：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．
§6 距離的計(jì)算
知識(shí)梳理
1.
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．D [由題意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
PC＝||＝ ＝.]
2．A [作AE⊥x軸交x軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸交x軸于點(diǎn)F，則
＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
3．B [建立
如圖所示坐標(biāo)系，則＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，
∴cos θ＝
＝＝，
∴sin θ＝＝，
A到直線BE的距離d＝||sin θ＝2×＝.]
4．B [
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1，0)，E(1,0,0)，D(0，－1，2)，
C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，
設(shè)平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，則
即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故點(diǎn)D到平面ACE的距離
d＝＝＝.]
5．B [
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有
D1(0,0,1)，D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，
A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．因O為A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)(，，1)，＝(，－，0)，設(shè)平面ABC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則有即
取x＝1，則n＝(1,0,1)
∴O到平面ABC1D1的距離為
d＝＝＝.]
6．D [
如圖所示，直線AB1與底面ABCD所成的角為∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距離為AA1，在Rt△ABB1中，
B1B＝AB·tan 60°＝.所以AA1＝BB1＝.]
7. cm
8.
解析 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，
則 即
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴點(diǎn)D到平面ABC的距離d＝＝.
9.
解析
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則平面ACD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)，
∵M(jìn)，A(1,0,0)，
∴＝(0,1，)，
∴點(diǎn)M到平面ACD1的距離為
d＝＝.
又，MN平面ACD1.
故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距離也為d＝.
10．解
如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，
F(2,4,0)，G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
設(shè)平面GEF的法向量為n＝(x，y，z)，
則有即
令x＝1，則y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
點(diǎn)B到平面EFG的距離為
d＝|||·cos〈，n〉|＝
＝＝.
11．解
如圖，以AB、AD、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1(0,0,1)，C(1,1,0)，
C1(1,1,1)．直線A1C的方向向量＝(1,1，－1)．
點(diǎn)C1與直線A1C上一點(diǎn)C(1,1,0)的向量＝(0,0,1)．
在上的投影＝.
∴點(diǎn)C1到直線A1C的距離
d＝＝＝.
12．解 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1)，
∵CM＝BN＝a(0
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