2019-2020年八年級數(shù)學下冊第六章平行四邊形6.3三角形的中位線導學案新版北師大版.doc

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2019-2020年八年級數(shù)學下冊第六章平行四邊形6.3三角形的中位線導學案新版北師大版 學習目標 1. 知道三角形中位線的概念，明確三角形中位線與中線的不同； 2. 理解三角形中位線定理，并能運用它進行有關的論證和計算. 一.自學釋疑 1.三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？ 2.一個三角形你能作出幾條中位線？這些中位線圍成的三角形與原三角形比較，其周長和面積有什么關系？ 二.合作探究 探究點一 問題1：怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？ 問題2：什么是三角形的中位線？ 它與三角形的中線的區(qū)別？三角形的中位線有什么特征？請你說明理由. 探究點二 問題1：如圖,順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形有什么特點？請你說明理由 問題2：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE. 溫馨提示：在三角形中，若已知一邊的中點，常取其余兩邊的中點，以便利用三角形的中位線定理來解題． 探究點三 問題1： 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F(xiàn)，E分別是對角線AC，BD的中點． 求證：EF= （BC-AD）． 問題2： 如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，求PQ的長． 強化訓練 1.如圖,在四邊形ABCD中,P是對角線BD的中點,E,F分別是AB,CD的中點,AD=BC,∠PEF=18,求∠PFE的度數(shù). 2.如圖①,在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點,連接EF并延長,分別與BA,CD的延長線交于點M,N,則∠BME=∠CNE(不需證明). 小明的思路是:在圖①中,連接BD,取BD的中點H,連接HE,HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質,可證得∠BME=∠CNE. 問題:如圖②,在△ABC中,AC>AB,D點在AC上,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點,連接EF并延長,與BA的延長線交于點G,若∠EFC=60,連接GD,判斷△AGD的形狀并證明. 隨堂檢測 1.如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，則AC的長為( C ) A. B．3 C．6 D．9 2.如圖，C、D分別為EA、EB的中點，∠E＝30，∠1＝110，則∠2的度數(shù)為(　　) A．80 B．90 C．100 D．110 3．如圖，點D，E，F(xiàn)分別為△ABC各邊中點，下列說法正確的是( ) A．DE＝DF B．EF＝AB C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分∠BAC 4．如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處．若∠CDE＝48，則∠APD等于( ) A．42 B．48 C．52 D．58 5．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的中位線，F(xiàn)在DE延長線上，EC＝EF，則線段DF的長為( ) A．7 B．8 C．9 D．10 6.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別為AB、CD的中點，AC與BD交于點O，EF分別交AC、BD于M、N.求證：∠ONM＝∠OMN. 我的收獲： .  參考答案 探究點一 問題1 操作：（1）剪一個三角形，記為△ABC （2）分別取AB,AC中點D,E，連接DE （3） 沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ABC繞點E旋轉180，得到四邊形BCFD. 四邊形BCFD是平行四邊形 問題2： 三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段. 三角形的中線：連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線. 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半 幾何語言： 如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點 ∴DE∥BC，DE= BC． 已知：如圖（1），DE是△ABC的中位線. 求證:DE∥BC,DE=BC 證明:如圖 (2),延長DE到F,使 EF=DE,連接CF. 在△ADE和△CFE中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE ∴△ADE≌△CFE ∴∠A=∠ECF,AD=CF ∴CF∥AB ∵BD=AD ∴BD=CF ∴四邊形DBCF是平行四邊形 ∴DF∥BC,DF=BC ∴DE∥BC,DE= BC 證2：延長DE至點F，使EF=DE 連接CF，DC，AF ∵EF=DE，AE=EC ∴四邊形ADCF是平行四邊形 ∴AD∥CF，AD=CF ∵AD=DB∴FC∥BDFC=BD ∴四邊形BCFD是平行四邊形 ∴DF∥BC，DF=BC DE∥BC,DE= BC 證3：過點E作MN∥AB過點A作AM∥BC ∴四邊形ABNM是平行四邊形∵AM∥BC∴∠M=∠MNC 在△AEM和△CEN中 ∠M=∠ENC，∠AEM=∠CEN ,AE=EC. ∴△AEM≌△CEN ∴ME=NE ∴易證四邊形ADEM和BDEN是平行四邊形 ∴DE=AM=NC=BN ∴DE∥BC,DE= BC 探究點二 問題1： 解：四邊形EFQH是平行四邊形. 已知：如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形． 解： EFGH是平行四邊形． 理由：如圖，連接AC. ∵EF是△ABC的中位線， ∴EF= AC且EF∥AC. 同理，GH= AC且GH∥AC. ∴EF∥GH且EF= GH. ∴四邊形EFGH為平行四邊形． 問題2： 證明：取AC的中點F，連接BF. ∵BD＝AB， ∴BF為△ADC的中位線， ∴DC＝2BF. ∵E為AB的中點，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB， ∴△EBC≌△FCB. ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. 探究點三 問題1 證明：方法一： 如圖所示，連接AE并延長，交BC于點G． ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB， 又∵E為BD中點， ∴△AED≌△GEB． ∴BG=AD，AE=EG． 在△AGC中， ∵F，E分別是對角線AC，BD的中點 ∴F、E是△AGC的為中位線， ∴EF∥BC，EF= GC= （BC-BG）= （BC-AD）， 即EF= （BC-AD）． 方法二：如圖所示，設CE、DA延長線相交于G． ∵E為BD中點，AD∥BC，易得△GED≌△CEB． ∴GD=CB，GE=CE． 在△CAG中，∵E，F(xiàn)分別為CG，CA中點， ∴EF= GA= （GD-AD）= （BC-AD）， 即EF=（BC-AD）． 問題2 解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE， ∴△BAE是等腰三角形。 同理△CAD是等腰三角形。 ∴點Q是AE中點，點P是AD中點（三線合一）。 ∴PQ是△ADE的中位線。 ∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16， ∴DE=BE+CD﹣BC=6。 ∴PQ= DE=3. 強化訓練 1. 解:∵PF是△DBC的中位線,PE是△BAD的中位線, ∴PF=BC,PE=AD. ∵AD=BC, ∴PF=PE, ∴∠PFE=∠PEF=18 2.解:△AGD是直角三角形. 證明如下: 如圖,連接BD,取BD的中點H,連接HF,HE. ∵F是AD的中點,∴HF∥AB,HF=AB, ∴∠1=∠3.同理HE∥CD,HE=CD, ∴∠2=∠EFC. ∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2. ∵∠EFC=60,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60, ∴△AGF為等邊三角形. ∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30, ∴∠AGD=90,即△AGD是直角三角形. 隨堂檢測 1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6. 證明：取AD的中點P，連接EP、FP，則EP為△ABD的中位線． ∴EP∥BD，EP＝BD，∴∠PEF＝∠ONM， 同理可知PF為△ADC的中位線， ∴FP∥AC，F(xiàn)P＝AC， ∴∠PFE＝∠OMN， ∵AC＝BD， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴∠ONM＝∠OMN.