高考數學一輪復習 第十章 計數原理 10.1 分類計數原理與分步計數原理課件 理.ppt

《高考數學一輪復習 第十章 計數原理 10.1 分類計數原理與分步計數原理課件 理.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學一輪復習 第十章 計數原理 10.1 分類計數原理與分步計數原理課件 理.ppt（62頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第十章計數原理 10 1分類計數原理與分步計數原理 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 分類計數原理如果完成一件事 有n類方式 在第1類方式中有m1種不同的方法 在第2類方式中有m2種不同的方法 在第n類方式中有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 2 分步計數原理如果完成一件事 需要分成n個步驟 做第1步有m1種不同的方法 做第2步有m2種不同的方法 做第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N m1 m2 mn種不同的方法 m1 m2 mn 知識梳理 1 答案 3 分類計數原理與分步計數原理 都涉及完成一件事的不同方法的種數 它們的區(qū)別在于 分類計數原理與分類有關 各種方法相互獨立 用其中的任一種方法都可以完成這件事 分步計數原理與分步有關 各個步驟相互依存 只有各個步驟都完成了 這件事才算完成 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 在分類計數原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類計數原理中 每類方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步計數原理中 事情是分步完成的 其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事 只有每個步驟都完成后 這件事情才算完成 4 如果完成一件事情有n個不同步驟 在每一步中都有若干種不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成這件事共有m1m2m3 mn種方法 5 在分步計數原理中 每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的 答案 思考辨析 1 教材改編 三個人踢毽子 互相傳遞 每人每次只能踢一下 由甲開始踢 經過3次傳遞后 毽子又被踢回給甲 則不同的傳遞方式共有 種 解析傳遞方式有甲 乙 丙 甲 甲 丙 乙 甲 2 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會 則不同的選法種數為 解析5個人中每一個都可主持 所以共有5種選法 5 解析答案 1 2 3 4 5 3 現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色 要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有 種 解析按A B C D順序分四步涂色 共有4 3 2 2 48種 48 解析答案 1 2 3 4 5 4 用數字2 3組成四位數 且數字2 3至少都出現一次 則這樣的四位數共有 個 用數字作答 解析數字2 3至少都出現一次 包括以下情況 綜上所述 共可組成14個這樣的四位數 14 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 5位同學報名參加兩個課外活動小組 每位同學限報其中一個小組 則不同的報名方法有 種 解析每位同學都有2種報名方法 因此 可分五步安排5名同學報名 由分步計數原理 總的報名方法共2 2 2 2 2 32 種 32 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1高三一班有學生50人 男生30人 女生20人 高三二班有學生60人 男生30人 女生30人 高三三班有學生55人 男生35人 女生20人 1 從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席 有多少種不同的選法 解完成這件事有三類方法 第一類 從高三一班任選一名學生共有50種選法 第二類 從高三二班任選一名學生共有60種選法 第三類 從高三三班任選一名學生共有55種選法 根據分類計數原理 任選一名學生任學生會主席共有50 60 55 165種選法 題型一分類計數原理的應用 解析答案 2 從高三一班 二班男生中 或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長 有多少種不同的選法 解完成這件事有三類方法 第一類 從高三一班男生中任選一名共有30種選法 第二類 從高三二班男生中任選一名共有30種選法 第三類 從高三三班女生中任選一名共有20種選法 綜上知 共有30 30 20 80種選法 解析答案 思維升華 思維升華 分類標準是運用分類計數原理的難點所在 重點在于抓住題目中的關鍵詞或關鍵元素 關鍵位置 首先根據題目特點恰當選擇一個分類標準 其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類 2015 四川 用數字0 1 2 3 4 5組成沒有重復數字的五位數 其中比40000大的偶數共有 個 故比40000大的偶數共有72 48 120個 120 跟蹤訓練1 解析答案 例2 1 將字母a a b b c c排成三行兩列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 則不同的排列方法共有 種 解析先排第一列 由于每列的字母互不相同 因此共有6種不同排法 再排第二列 其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法 第二列第二 三行的字母只有1種排法 因此共有6 2 1 12種不同的排列方法 12 題型二分步計數原理的應用 解析答案 2 有六名同學報名參加三個智力項目 每項限報一人 且每人至多參加一項 則共有 種不同的報名方法 解析每項限報一人 且每人至多參加一項 因此可由項目選人 第一個項目有6種選法 第二個項目有5種選法 第三個項目有4種選法 根據分步計數原理 可得不同的報名方法共有6 5 4 120種 120 解析答案 1 本例 2 中將條件 每項限報一人 且每人至多參加一項 改為 每人恰好參加一項 每項人數不限 則有多少種不同的報名方法 解每人都可以從這三個比賽項目中選報一項 各有3種不同的報名方法 根據分步計數原理 可得不同的報名方法共有36 729種 引申探究 解析答案 2 本例 2 中將條件 每項限報一人 且每人至多參加一項 改為 每項限報一人 但每人參加的項目不限 則有多少種不同的報名方法 解每人參加的項目不限 因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽 根據分步計數原理 可得不同的報名方法共有63 216種 解析答案 1 某體育彩票規(guī)定 從01至36共36個號中抽出7個號為一注 每注2元 某人想從01至10中選3個連續(xù)的號 從11至20中選2個連續(xù)的號 從21至30中選1個號 從31至36中選1個號組成一注 則這人把這種特殊要求的號買全 至少要花 元 解析從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法 從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法 從21至30中選1個號有10種選法 從31至36中選1個號有6種選法 根據分步計數原理 得共有8 9 10 6 4320種 所以至少需花4320 2 8640 元 8640 解析答案 跟蹤訓練2 2 用0 1 2 3 4 5可組成無重復數字的三位數的個數為 解析可分三步給百 十 個位放數字 第一步 百位數字有5種放法 第二步 十位數字有5種放法 第三步 個位數字有4種放法 根據分步計數原理 三位數的個數為5 5 4 100 100 解析答案 例3如圖所示 將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色 并使同一條棱上的兩端異色 如果只有5種顏色可供使用 求不同的染色方法種數 題型三兩個計數原理的綜合應用 解析答案 思維升華 解方法一可分為兩大步進行 先將四棱錐一側面三頂點染色 然后再分類考慮另外兩頂點的染色數 用分步計數原理即可得出結論 由題設 四棱錐S ABCD的頂點S A B所染的顏色互不相同 它們共有5 4 3 60種染色方法 當S A B染好時 不妨設其顏色分別為1 2 3 若C染2 則D可染3或4或5 有3種染法 若C染4 則D可染3或5 有2種染法 解析答案 思維升華 若C染5 則D可染3或4 有2種染法 可見 當S A B已染好時 C D還有3 2 2 7種染法 故不同的染色方法有60 7 420種 方法二以S A B C D順序分步染色 第一步 S點染色 有5種方法 第二步 A點染色 與S在同一條棱上 有4種方法 第三步 B點染色 與S A分別在同一條棱上 有3種方法 解析答案 思維升華 第四步 C點染色 也有3種方法 但考慮到D點與S A C相鄰 需要針對A與C是否同色進行分類 當A與C同色時 D點有3種染色方法 當A與C不同色時 因為C與S B也不同色 所以C點有2種染色方法 D點也有2種染色方法 由分步 分類計數原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420種 解析答案 思維升華 方法三按所用顏色種數分類 第二類 只用4種顏色 第三類 只用3種顏色 由分類計數原理 得不同的染色方法種數為 思維升華 思維升華 1 應用兩個計數原理的難點在于明確分類還是分步 2 分類要做到 不重不漏 正確把握分類標準是關鍵 3 分步要做到 步驟完整 步步相連能將事件完成 4 較復雜的問題可借助圖表完成 如圖 正五邊形ABCDE中 若把頂點A B C D E染上紅 黃 綠三種顏色中的一種 使得相鄰頂點所染顏色不相同 則不同的染色方法共有 種 跟蹤訓練3 解析答案 返回 解析由題意知本題需要分類來解答 首先A選取一種顏色 有3種情況 如果A的兩個相鄰點顏色相同 有2種情況 這時最后兩個點也有2種情況 如果A的兩個相鄰點顏色不同 有2種情況 這時最后兩個點有3種情況 所以方法共有3 2 2 2 3 30種 答案30 返回 易錯警示系列 典例 1 把3封信投到4個信箱 所有可能的投法共有 種 易錯分析解決計數問題的基本策略是合理分類和分步 然后應用加法原理和乘法原理來計算 解決本題易出現的問題是完成一件事情的標準不清楚導致計算出現錯誤 對于 1 選擇的標準不同 誤認為每個信箱有三種選擇 所以可能的投法有34種 沒有注意到一封信只能投在一個信箱中 13 對兩個基本計數原理認識不清致誤 易錯警示系列 解析答案 易錯分析 解析第1封信投到信箱中有4種投法 第2封信投到信箱中也有4種投法 第3封信投到信箱中也有4種投法 只要把這3封信投完 就做完了這件事情 由分步計數原理可得共有43種方法 即64種 答案64 2 某人從甲地到乙地 可以乘火車 也可以坐輪船 在這一天的不同時間里 火車有4趟 輪船有3次 問此人的走法可有 種 易錯分析易混淆 類 與 步 誤認為到達乙地先坐火車后坐輪船 使用乘法原理計算 解析答案 易錯分析 返回 溫馨提醒 解析因為某人從甲地到乙地 乘火車的走法有4種 坐輪船的走法有3種 每一種方法都能從甲地到乙地 根據分類計數原理 可得此人的走法可有4 3 7種 答案7 溫馨提醒 返回 溫馨提醒 1 每封信只能投到一個信箱里 而每個信箱可以裝1封信 也可以裝2封信 其選擇不是唯一的 所以應注意由信來選擇信箱 每封信有4種選擇 2 在處理具體的應用問題時 首先必須弄清楚 分類 與 分步 的具體標準是什么 選擇合理的標準處理事情 可以避免計數的重復或遺漏 思想方法感悟提高 1 分類和分步計數原理 都是關于做一件事的不同方法的種數的問題 區(qū)別在于 分類計數原理針對 分類 問題 其中各種方法相互獨立 用其中任何一種方法都可以做完這件事 分步計數原理針對 分步 問題 各個步驟相互依存 只有各個步驟都完成了才算完成這件事 2 分類標準要明確 做到不重復不遺漏 3 混合問題一般是先分類再分步 4 要恰當畫出示意圖或樹狀圖 使問題的分析更直觀 清楚 便于探索規(guī)律 方法與技巧 1 切實理解 完成一件事 的含義 以確定需要分類還是需要分步進行 2 分類的關鍵在于要做到 不重不漏 分步的關鍵在于要正確設計分步的程序 即合理分類 準確分步 3 確定題目中是否有特殊條件限制 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 從0 2中選一個數字 從1 3 5中選兩個數字 組成無重復數字的三位數 其中奇數的個數為 解析三位數可分成兩種情況 1 奇偶奇 2 偶奇奇 對于 1 個位 3種選擇 十位 2種選擇 百位 2種選擇 共12種 對于 2 個位 3種選擇 十位 2種選擇 百位 1種選擇 共6種 即12 6 18 15 18 解析答案 2 小明有4枚完全相同的硬幣 每個硬幣都分正反兩面 他想把4個硬幣擺成一摞 且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對 不同的擺法有 種 解析記反面為1 正面為2 則正反依次相對有12121212 21212121兩種 有兩枚反面相對有21121212 21211212 21212112三種 共5種擺法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 解析答案 3 如果一個三位正整數 a1a2a3 滿足a1 a2且a3 a2 則稱這樣的三位數為凸數 如120 343 275 那么所有凸數的個數為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析分8類 當中間數為2時 有1 2 2個 當中間數為3時 有2 3 6個 當中間數為4時 有3 4 12個 當中間數為5時 有4 5 20個 當中間數為6時 有5 6 30個 當中間數為7時 有6 7 42個 當中間數為8時 有7 8 56個 當中間數為9時 有8 9 72個 故共有2 6 12 20 30 42 56 72 240個 答案240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 集合P x 1 Q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且P Q 把滿足上述條件的一對有序整數對 x y 作為一個點的坐標 則這樣的點的個數是 解析當x 2時 x y 點的個數為1 7 7 當x 2時 x y 點的個數為7 1 7 則共有14個點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 解析答案 5 從 2 1 0 1 2 3這六個數字中任選3個不重復的數字作為二次函數y ax2 bx c的系數a b c 則可以組成頂點在第一象限且過原點的拋物線條數為 解析分三步 第一步c 0只有1種方法 第二步確定a a從 2 1中選一個 有2種不同方法 第三步確定b b從1 2 3中選一個 有3種不同的方法 根據分步計數原理得1 2 3 6種不同的方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2015北京世界田徑錦標賽上 8名女運動員參加100米決賽 其中甲 乙 丙三人必須在1 2 3 4 5 6 7 8八條跑道的奇數號跑道上 則安排這8名運動員比賽的方式共有 種 解析分兩步安排這8名運動員 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四條跑道可安排 所以安排方式有4 3 2 24種 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一條奇數號跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120種 所以安排這8人的方式有24 120 2880種 2880 解析答案 7 如圖 將網格中的三條線段沿網格線上下或左右平移 組成一個首尾相接的三角形 則三條線段一共至少需要移動 格 解析如圖 將網格中的三條線段沿網格線平移后組成一個首尾相接的三角形 根據平移的基本性質知 左邊的線段向右平移3格 中間的線段向下平移2格 最右邊的線段先向左平移2格 再向上平移2格 此時平移的格數最少為3 2 2 2 9 其他平移方法都超過9格 至少需要移動9格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 將數字1 2 3 4填入標號為1 2 3 4的四個方格 每格填一個數 則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有 種 解析編號為1的方格內填數字2 共有3種不同填法 編號為1的方格內填數字3 共有3種不同填法 編號為1的方格內填數字4 共有3種不同填法 于是由分類計數原理 得共有3 3 3 9種不同的填法 9 解析答案 9 有一項活動需在3名老師 6名男同學和8名女同學中選人參加 1 若只需一人參加 有多少種不同選法 解只需一人參加 可按老師 男同學 女同學分三類各自有3 6 8種方法 總方法數為3 6 8 17種 2 若需一名老師 一名學生參加 有多少種不同選法 解分兩步 先選教師共3種選法 再選學生共6 8 14種選法 由分步計數原理知 總方法數為3 14 42種 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 若需老師 男同學 女同學各一人參加 有多少種不同選法 解教師 男同學 女同學各一人可分三步 每步方法依次為3 6 8種 由分步計數原理知總方法數為3 6 8 144種 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 為了做好閱兵人員的運輸 從某運輸公司抽調車輛支援 該運輸公司有7個車隊 每個車隊的車輛均多于4輛 現從這個公司中抽調10輛車 并且每個車隊至少抽調1輛 那么共有多少種不同的抽調方法 解在每個車隊抽調1輛車的基礎上 還需抽調3輛車 一類是從2個車隊中抽調 其中1個車隊抽調1輛 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 將2名教師 4名學生分成2個小組 分別安排到甲 乙兩地參加社會實踐活動 每個小組由1名教師和2名學生組成 不同的安排方案共有 種 解析分兩步 第一步 選派一名教師到甲地 另一名到乙地 第二步 選派兩名學生到甲地 另外兩名到乙地 由分步計數原理 不同選派方案共有2 6 12種 12 解析答案 12 已知集合M 1 2 3 N 1 2 3 4 定義函數f M N 若點A 1 f 1 B 2 f 2 C 3 f 3 ABC的外接圓圓心為D 且 R 則滿足條件的函數f x 有 種 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 且BA BC 必有f 1 f 3 f 1 f 2 當f 1 f 3 1時 f 2 2 3 4 有三種情況 f 1 f 3 2 f 2 1 3 4 有三種情況 f 1 f 3 3 f 2 2 1 4 有三種情況 f 1 f 3 4 f 2 2 3 1 有三種情況 因而滿足條件的函數f x 有12種 答案12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數 如22 121 3443 94249等 顯然2位回文數有9個 11 22 33 99 3位回文數有90個 101 111 121 191 202 999 則 1 4位回文數有 個 解析4位回文數相當于填4個方格 首尾相同 且不為0 共9種填法 中間兩位一樣 有10種填法 共計9 10 90種填法 即4位回文數有90個 90 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2n 1 n N 位回文數有 個 解析根據回文數的定義 此問題也可以轉化成填方格 結合分步計數原理 知有9 10n種填法 9 10n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 某外語組有9人 每人至少會英語和日語中的一門 其中7人會英語 3人會日語 從中選出會英語和日語的各一人 有多少種不同的選法 解由題意得有1人既會英語又會日語 6人只會英語 2人只會日語 第一類 從只會英語的6人中選1人說英語 共有6種方法 則說日語的有2 1 3種 此時共有6 3 18種 第二類 不從只會英語的6人中選1人說英語 則只有1種方法 則選會日語的有2種 此時共有1 2 2種 所以根據分類計數原理知共有18 2 20 種 選法 解析答案 15 將紅 黃 綠 黑4種不同的顏色分別涂入圖中的五個區(qū)域內 要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同 則有多少種不同涂色方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解方法一本題利用了分步計數原理求涂色問題 給出區(qū)域標記號A B C D E 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 則A區(qū)域有4種不同的涂色方法 B區(qū)域有3種 C區(qū)域有2種 D區(qū)域有2種 但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂的顏色 如果B與D顏色相同有2種涂色方法 不相同 則只有1種 因此應先分類后分步 解析答案 當B與D同色時 有4 3 2 1 2 48種 當B與D不同色時 有4 3 2 1 1 24種 故共有48 24 72種不同的涂色方法 方法二按用3種或用4種顏色分兩類 第一類用3種 此時A與E B與D分別同色 第二類用4種 此時A與E B與D有且只有一組同色 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由分類計數原理知涂法總數為24 48 72種 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15