2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題六 函數(shù)與導數(shù) 1.6.2 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用課件 文.ppt

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第二講函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 熱點題型1函數(shù)零點的判斷 感悟經(jīng)典 典例 1 已知定義在R上的奇函數(shù)y f x 對于 x R都有f 1 x f 1 x 當 1 x 0時 f x log2 x 則函數(shù)g x f x 2在 0 8 內(nèi)所有的零點之和為 A 6B 8C 10D 12 2 2018 東營一模 已知f x 若存在實數(shù)b 使函數(shù)g x f x b有兩個零點 則a的取值范圍是 聯(lián)想解題 1 看到討論函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點之和 想到利用函數(shù)的奇偶性 對稱性畫出函數(shù)的圖象 2 零點問題化為方程的根 結(jié)合圖象解不等式 規(guī)范解答 1 選D 因為函數(shù)g x f x 2在 0 8 內(nèi)所有的零點之和 就是f x 2在 0 8 內(nèi)所有的根之和 也就是y f x y 2交點橫坐標之和 畫出y f x y 2的函數(shù)圖象 如圖 由圖知x1 x2 2 x3 x4 10 所以 x1 x2 x3 x4 12 2 問題等價于方程x3 b x a 與方程x2 b x a 的根的個數(shù)和為2 若兩個方程各有一個根 則可知關(guān)于b的不等式組有解 所以a21 若方程x3 b x a 無解 方程x2 b x a 有2個根 則可知關(guān)于b 的不等式組有解 從而a 0 綜上 實數(shù)a的取值范圍是 0 1 答案 0 1 規(guī)律方法 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 1 直接求零點 令f x 0 則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù) 2 零點存在性定理 利用該定理不僅要求函數(shù)在 a b 上是連續(xù)的曲線 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì) 如單調(diào)性 才能確定函數(shù)有多少個零點 3 數(shù)形結(jié)合 對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形 常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象 然后數(shù)形結(jié)合 看其交點的個數(shù)有幾個 其中交點的橫坐標有幾個不同的值 就有幾個不同的零點 對點訓練 1 已知函數(shù)f x log2x 在下列區(qū)間中 包含f x 零點的區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 解析 選C 由題意知 函數(shù)f x 在 0 上為減函數(shù) 又f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 f 4 log24 2 0 由零點存在性定理可知 函數(shù)f x 在區(qū)間 2 4 上必存在零點 2 函數(shù)f x 2x x3 2在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點個數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 解析 選B 函數(shù)f x 2x x3 2在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點個數(shù)即為函數(shù)y 2x y 2 x3在區(qū)間 0 1 內(nèi)的圖象的交點個數(shù) 作出圖象 如圖 即可知兩個函數(shù)圖象在區(qū)間 0 1 內(nèi)有1個交點 故原函數(shù)在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點個數(shù)是1 提分備選 1 在下列區(qū)間中 函數(shù)f x ex 4x 3的零點所在的區(qū)間為 A B C D 解析 選C 因為f x ex 4 0 f0 f 0 由零點存在性定理知f x 在上存在零點 2 若函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 則實數(shù)b的取值范圍是 解析 令 2x 2 b 0 得 2x 2 b 由題意可知函數(shù)y 2x 2 與y b的圖象有兩個交點 結(jié)合函數(shù)圖象可知 0 b 2 答案 0 2 3 已知函數(shù)f x 有3個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 因為函數(shù)f x 有3個零點 所以當x 0時 方程ax 3 0有解 故a 0 所以當x 0時 需滿足即0 a 1 綜上 a的取值范圍是 0 1 答案 0 1 熱點題型2函數(shù)與方程的綜合應用 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 煙臺一模 已知x1 x2 x1 x2 是函數(shù)f x lnx 的兩個零點 若a x1 1 b 1 x2 則 A f a 0 f b 0C f a 0 f b 0 2 已知函數(shù)f x 其中m 0 若存在實數(shù)b 使得關(guān)于x的方程f x b有三個不同的根 則m的取值范圍是 聯(lián)想解題 1 化函數(shù)零點為兩個函數(shù)圖象公共點 數(shù)形結(jié)合 2 看到含有參數(shù)的方程根的討論問題 想到先畫出函數(shù)的部分圖象 再平移圖象使得符合條件 從而構(gòu)造參數(shù)的不等式求解 規(guī)范解答 1 選C 函數(shù)f x lnx 的零點即f x lnx 0 所以lnx 分別作出y lnx與y 的圖象 如圖所示 由圖可知lna f a lna 0 lnb f b lnb 0 2 由題意畫出函數(shù)圖象為如圖所示時才符合 要滿足存在實數(shù)b 使得關(guān)于x的方程f x b有三個不同的根 必須且只需有4m m23 所以m的取值范圍是 3 答案 3 規(guī)律方法 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 1 利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解 2 分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域 最值 問題求解 3 轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上 下關(guān)系問題 從而構(gòu)建不等式求解 對點訓練 1 設(shè)函數(shù)f x 若方程f x m有三個不同的實根 則實數(shù)m的取值范圍為 A B C D 解析 選C 作出函數(shù)y f x 的圖象 如圖所示 當x 0時 f x x2 x 所以要使函數(shù)f x m有三個不同的零點 則 m 0 即m的取值范圍為 2 已知函數(shù)f x log3x 若實數(shù)x0是方程f x 0的解 且x0 x1 則f x1 的值 A 恒為負B 等于零C 恒為正D 不大于零 解析 選A 由于函數(shù)f x log3x在定義域內(nèi)是減函數(shù) 于是 若f x0 0 當x0 x1時 一定有f x1 0 提分備選 設(shè)函數(shù)f x log3 a在區(qū)間 1 2 內(nèi)有零點 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 因為x 1 2 所以 2 3 log3 log32 1 故要使函數(shù)f x 在 1 2 內(nèi)存在零點 只要a log32 1 即可 答案 log32 1 熱點題型3函數(shù)的實際應用 感悟經(jīng)典 典例 如圖 現(xiàn)在要在邊長為100m的正方形ABCD內(nèi)建一個交通 環(huán)島 以正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為xm x不小于9 的扇形花壇 以正方形的中心為圓心建一個半徑為x2m的圓形草地 為 了保證道路暢通 島口寬不小于60m 繞島行駛的路寬均不小于10m 1 求x的取值范圍 運算中取1 4 2 若中間草地的造價為a元 m2 四個花壇的造價為ax元 m2 其余區(qū)域的造價為元 m2 當x取何值時 可使 環(huán)島 的整體造價最低 聯(lián)想解題 1 看到求x的取值范圍 想到列關(guān)于x的不等式 2 由整體造價最低 想到求函數(shù)的最小值 規(guī)范解答 1 由題意 得解得即9 x 15 故x的取值范圍為 9 15 2 記 環(huán)島 的整體造價為y元 則由題意 得y a ax x2 令f x x4 x3 12x2 則f x x3 4x2 24x 4x 由f x 0 解得x 10或x 15 列表如下 所以當x 10時 y取最小值 故當x 10時 可使 環(huán)島 的整體造價最低 規(guī)律方法 與函數(shù)有關(guān)的應用題的常見類型及解題關(guān)鍵 1 常見類型 與函數(shù)有關(guān)的應用題 經(jīng)常涉及物價 路程 產(chǎn)值 環(huán)保等實際問題 也可涉及角度 面積 體積 造價的最優(yōu)化問題 2 解題關(guān)鍵 解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式 然后應用函數(shù) 方程 不等式和導數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答 對點訓練 1 2018 山東省實驗診斷 將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中 tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y aent 假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等 若再過mmin甲桶中的水只有L 則m的值為 A 5B 8C 9D 10 解析 選A 因為5min后甲桶和乙桶的水量相等 所以函數(shù)y f t aent滿足f 5 ae5n a 可得n ln 所以f t a 設(shè)kmin后甲桶中的水只有L 則f k a 所以 解得k 10 所以m k 5 5 min 2 某人想開一家服裝專賣店 經(jīng)過預算 該門面需要門面裝修費為20000元 每天需要房租 水電等費用100元 受經(jīng)營信譽度 銷售季節(jié)等因素的影響 專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系式是R R x 則總利潤最大時 該門面經(jīng)營的天數(shù)是 A 100B 150C 200D 300 解析 選D 由題意知 總成本C 20000 100 x 所以總利潤P R C 則P 所以P在 0 300 上單調(diào)遞增 在 300 上單調(diào)遞減 由題意易知當x 300時 總利潤最大 提分備選 1 要制作一個容積為4m3 高為1m的無蓋長方形容器 已知該容器的底面造價是每平方米20元 側(cè)面造價是每平方米10元 則該容器的最低總造價是 單位 元 解析 假設(shè)底面長方形的長寬分別為x 則該容器的最低總造價是y 80 20 x 160 當且僅當x 2時取到最小值 答案 160 2 如圖所示 將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN 要求M在AB的延長線上 N在AD的延長線上 且對角線MN過C點 已知AB 3米 AD 2米 設(shè)AN x 單位 米 1 要使花壇AMPN的面積大于32平方米 求x的取值范圍 2 若x 3 4 單位 米 則當AM AN的長度分別是多少時 花壇AMPN的面積最大 并求出最大面積 解析 1 因為 NDC NAM 所以 所以AM 所以SAMPN AN AM 依題意可得 32 3x2 32x 64 0 x 0 解得 x 8 2 設(shè)f x x 3 4 所以f x 3 3 設(shè)t x 2 則t 1 2 則y 3 根據(jù)對勾函數(shù)可得 t 1時 y達到最大值 即y 27 此時t 1 x 3 所以AN 3 AM 9 答 當AN 3 AM 9時 四邊形AMPN的面積最大 為27平方米 3 時下網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛 它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢 假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y 單位 千套 與銷售價格 x 單位 元 套 滿足的關(guān)系式為y 其中2 x 6 m為常數(shù) 已知銷售價格為4元 套時 每日可售出套題21千套 1 求m的值 2 假設(shè)網(wǎng)校的員工工資 辦公等所有開銷折合為每套題2元 只考慮銷售出的套數(shù) 試確定銷售價格x的值 使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大 保留1位小數(shù) 解析 1 將x 4 y 21代入關(guān)系式可得 21 4 m 10 2 依題意所獲利潤f x x 2 y 化簡可得 f x 4x3 56x2 240 x 278 2 x 6 所以f x 12x2 112x 240 4 3x 10 x 6 令f x 0 即解不等式 3x 10 x 6 0 因為2 x 6 所以解得x 所以f x 在單調(diào)遞增 在單調(diào)遞減 所以f x 在x 取得最大值 即x 3 3 4 如圖 某海濱浴場的岸邊可近似地看成直線 位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人求救 救生員沒有直接從A處游向B處 而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處 然后游向B處 若救生員在岸邊的行進速度為6米 秒 在海中的行進速度為2米 秒 BAD 45 1 分析救生員的選擇是否正確 2 在AD上找一點C 使救生員從A到B的時間為最短 并求出最短時間 解析 1 從題干圖形可得 AB 300 所以t1 150 秒 而 AD BD 300 所以t2 200 秒 因為t1 t2 所以救生員的選擇是正確的 2 設(shè) CD x 則 BC 設(shè)所用時間為f x 所以f x 所以f x 令f x 0 即解不等式3x 0 3x 所以9x2 3002 x2 所以x2 解得 x 75 所以f x 在單調(diào)遞減 在單調(diào)遞增 所以f f 50 100 秒 答 當 CD 75時 救生員所用的時間最短 為50 100秒 直觀想象 函數(shù)的零點問題中的數(shù)學素養(yǎng) 相關(guān)鏈接 1 函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征 用聯(lián)系和變化的觀點提取數(shù)學對象 抽象其數(shù)學特征 建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系 通過函數(shù)形式 利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 使問題得到解決 2 方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù) 用它表示問題中的其他各量 根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系 列方程 組 通過解方程 組 或?qū)Ψ匠?組 進行研究 以求得問題的解決 3 函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的 是相輔相成的 函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究 方程思想則是在動中求靜 研究運動中的等量關(guān)系 4 利用函數(shù)與方程思想能解決的函數(shù)零點問題的常見類型是 1 判斷零點個數(shù) 2 求零點所在區(qū)間 3 求參數(shù)值或范圍問題 典例 2018 濟南一模 已知函數(shù)f x 是定義在R上的偶函數(shù) 且f x 1 f x 1 當x 1 0 時 f x x3 則關(guān)于x的方程f x cos x 在上的所有實數(shù)解之和為 A 7B 6C 3D 1 規(guī)范解答 選A 因為函數(shù)f x 為偶函數(shù) 所以f x 1 f x 1 f x 1 即f x f x 2 所以函數(shù)f x 的周期為2 又當x 1 0 時 f x x3 由此在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y f x 與y cos x 的圖象 如圖所示 由圖知關(guān)于x的方程f x cos x 在上的實數(shù)解有7個 不妨設(shè)x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 則由圖 得x1 x2 4 x3 x5 2 x4 1 x6 x7 0 所以方程f x cos x 在上的所有實數(shù)解的和為 4 2 1 0 7 通關(guān)題組 1 函數(shù)f x mx2 2x 1有且僅有一個為正實數(shù)的零點 則實數(shù)m的取值范圍是 A 1 B 0 1 C 0 0 1 D 1 解析 選B 當m 0時 x 為函數(shù)的零點 當m 0時 若 0 即m 1時 x 1是函數(shù)唯一的零點 若 0 顯然函數(shù)x 0不是函數(shù)的零點 這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程mx2 2x 1 0有一個正根和一個負根 即mf 0 0 即m 0 2 已知函數(shù)f x 若關(guān)于x的方程f x k有兩個不同的實根 則實數(shù)k的取值范圍是 解析 f x 的圖象如圖所示 由圖象可知若使f x 的圖象與y k有兩個不同交點 則有0 k 1 答案 0 1