2019高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù) 4.4 解三角形課件 文.ppt

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第四章三角函數(shù) 高考文數(shù) 4 4解三角形 考點用正 余弦定理解三角形1 正 余弦定理 知識清單 2 解三角形的類型 1 已知兩角及一邊 用正弦定理 有解時 只有一解 2 已知兩邊及其中一邊的對角 用正弦定理 有解時可分為幾種情況 在 ABC中 已知a b和角A時 解的情況如下 上表中A為銳角時 a bsinA無解 A為鈍角時 a b a b均無解 3 已知三邊 用余弦定理 有解時 只有一解 4 已知兩邊及夾角 用余弦定理 必有一解 3 三角形的面積設 ABC的三邊為a b c 所對的三個內角為A B C 其面積為S 外接圓半徑為R 1 S ah h為BC邊上的高 2 S absinC acsinB bcsinA 3 S 2R2sinAsinBsinC 4 S 5 S 4 實際問題中的常用角 1 仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角 目標視線在水平線上方的角叫仰角 目標視線在水平線下方的角叫俯角 如圖a 2 方位角方位角是指從某點的正北方向順時針轉到目標方向線的水平角 如B點的方位角為 如圖b 3 坡角 坡面與水平面所成的銳二面角 拓展延伸在 ABC中 角A B C所對的邊分別是a b c 常見的結論如下 1 A B C 2 在 ABC中 大角對大邊 大邊對大角 如 a b A B sinA sinB 3 任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 4 在銳角三角形ABC中 sinA cosB A B 5 在斜 ABC中 tanA tanB tanC tanA tanB tanC 6 有關三角形內角的常用三角恒等式 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC sin cos cos sin 正弦定理和余弦定理的應用方法在解有關三角形的題目時 要有意識地考慮用哪個定理更合適 還是兩個定理都要用 要抓住能夠利用定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式 要考慮用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或邊的一次式 則考慮用正弦定理 如果以上特征都不明顯 則要考慮到兩個定理都要用到 例1 2017天津 15 13分 在 ABC中 內角A B C所對的邊分別為a b c 已知asinA 4bsinB ac a2 b2 c2 1 求cosA的值 2 求sin 2B A 的值 方法技巧 解題導引 1 由asinA 4bsinB及正弦定理得a 2b由ac a2 b2 c2 a 2b及余弦定理求cosA 2 求sinA的值求sinB及cosB的值利用二倍角公式得sin2B及cos2B的值代入兩角差的正弦公式得結果 解析 1 由asinA 4bsinB及 得a 2b 又由ac a2 b2 c2 及余弦定理 得cosA 2 由 1 及已知 可得sinA 代入asinA 4bsinB 得sinB 由 1 知 A為鈍角 所以cosB 于是sin2B 2sinBcosB cos2B 1 2sin2B 故sin 2B A sin2BcosA cos2BsinA 三角形形狀的判斷方法1 利用正 余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)的關系 通過三角恒等變換 得出三角形內角之間的關系 從而判斷出三角形的形狀 2 利用正 余弦定理把已知條件轉化為邊之間的關系 通過因式分解 配方等得出邊的相應關系 從而判斷出三角形的形狀 例2 2016遼寧五校第一次聯(lián)考 8 在 ABC中 角A B C所對的邊分別是a b c 若直線bx ycosA cosB 0與ax ycosB cosA 0平行 則 ABC一定是 C A 銳角三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰或者直角三角形 解題導引由兩直線平行得出邊角關系利用正弦或余弦定理化成角與角或邊與邊之間的關系化簡關系式判斷三角形的形狀 解析解法一 由兩直線平行可得bcosB acosA 0 由正弦定理可知sinBcosB sinAcosA 0 即sin2A sin2B 又A B 0 且A B 0 所以2A 2B或2A 2B 即A B或A B 若A B 則a b cosA cosB 此時兩直線重合 不符合題意 舍去 故A B 則 ABC是直角三角形 故選C 解法二 由兩直線平行可得bcosB acosA 0 由余弦定理 得a b 所以a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 所以c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 所以 a2 b2 a2 b2 c2 0 所以a b或a2 b2 c2 若a b 則兩直線重合 不符合題意 故a2 b2 c2 則 ABC是直角三角形 故選C 解三角形應用題的方法1 解三角形應用題的步驟2 解三角形應用題的兩種方法 1 實際問題經抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實際問題抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形 這時需作出這些三角形 先解條件已知的三角形 然后逐步求出其他三角形的解 有時需設出未知量 從幾個三角形中列出方程 解方程得出所求的解 3 解三角形應用題應注意的問題 1 要注意仰角 俯角 方位角以及方向角等名詞 并能準確地找出這些角 2 要注意將平面幾何中的性質 定理與正 余弦定理結合起來使用 這樣可以優(yōu)化解題過程 3 注意題目中的隱含條件以及解的實際意義 例3 2015湖北 15 5分 如圖 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛 到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達B處 測得此山頂在西偏北75 的方向上 仰角為30 則此山的高度CD m 解題導引由已知條件及三角形內角和定理可得 ACB的值 在 ABC中 利用正弦定理求得BC 在Rt BCD中 利用銳角三角函數(shù)的定義求得CD的值 解析依題意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan30 100 則此山的高度CD 100m 答案100