2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應用.doc

《2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應用.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應用.doc（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第15講 平面向量的數(shù)量積及應用 課題 平面向量的數(shù)量積及應用（共 4 課時） 修改與創(chuàng)新 教學目標 1．平面向量的數(shù)量積 ①通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系； ③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算； ④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。 2．向量的應用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。 命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應用。重點體會向量為代數(shù)幾何的結合體，此類題難度不大，分值5~9分。 平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。 預測xx年高考： （1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。 （2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質； 教學準備 多媒體課件 教學過程 一．知識梳理： 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個非零向量的夾角 已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角； 說明：（1）當θ＝０時，與同向； （2）當θ＝π時，與反向； （3）當θ＝時，與垂直，記⊥； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0≤q≤180。 C （2）數(shù)量積的概念 已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內積）。規(guī)定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影； （3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積。 （4）向量數(shù)量積的性質 ①向量的模與平方的關系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量數(shù)量積的運算律 交換律成立：； 對實數(shù)的結合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夾角：cos==。 當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 （5）兩個向量的數(shù)量積的坐標運算 已知兩個向量，則=。 （6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個非零向量垂直的充要條件：⊥＝O，平面向量數(shù)量積的性質。 （7）平面內兩點間的距離公式 設，則或。 如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式)。 2．向量的應用 （1）向量在幾何中的應用； （2）向量在物理中的應用。 二．典例分析 　(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 (2) (xx湖南高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________. 　(1) 8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6, 3)， 所以(8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝30. 即18＋3x＝30，解得x＝4. (2)法一：∵＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝2＋＋，又由AP⊥BD得⊥且⊥， ∴＝0，且＝0于是＝(2＋＋)＝22＝2||2＝18. 法二：＝(＋) ＝(＋＋) ＝2＋ ＝2||||cos ， ＝2|||| ＝2||2＝232＝18. 　(1)C　(2) 18　 由題悟法 平面向量數(shù)量積問題的類型及求法 (1)已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式ab＝|a||b|cos θ求解； (2)已知向量a，b的坐標，利用數(shù)量積的坐標形式求解． 以題試法 1．(1)(xx天津高考)在△ABC中，∠A＝90，AB＝1，AC＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R.若＝－2，則λ＝(　　) A. B. C. D．2 解析：選B　由題意可知＝－＝(1－λ) －，＝－＝λ－，且＝0，故＝－(1－λ) 2－λ2＝－2.又||＝1，||＝2，代入上式解得λ＝. (2)(xx江西高考)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1b2＝________. 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2， 則b1b2＝(e1－2e2)(3e1＋4e2)＝3e－2e1e2－8e. 又因為e1，e2為單位向量，夾角為， 所以b1b2＝3－2－8＝3－1－8＝－6. 答案：－6 兩平面向量的夾角與垂直 典題導入 　(1)(xx福州質檢)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為120，a＋b＋c＝0，則a與c的夾角為(　　) A．150　　　　　　　 　 B．90 C．60 D．30 (2)(xx新課標全國卷)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 　(1)∵ab＝12cos 120＝－1，c＝－a－b，∴ac＝a(－a－b)＝－aa－ab＝－1＋1＝0，∴a⊥c. ∴a與c的夾角為90. (2)∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)(ka－b)＝0， 即ka2＋kab－ab－b2＝0. ∴k－1＋kab－ab＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ為a與b的夾角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a與b不共線， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. 　(1)B　(2)1 若本例(1)條件變?yōu)榉橇阆蛄縜，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，試求a與b的夾角． 解：設|a|＝m(m>0)，a，b的夾角為θ，由題設知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cos θ＝m2，得cos θ＝－.又0≤θ≤180，所以θ＝120，即a，b的夾角為120. 由題悟法 1．求兩非零向量的夾角時要注意： (1)向量的數(shù)量積不滿足結合律； (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角． 2．當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它們的關系． 以題試法 2．(1)設向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，則a⊥(a－b)的一個充分不必要條件是(　　) A．x＝0或2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝2 (2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如圖所示，則(　　) A．存在λ>0，使得向量c與向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c與向量d夾角為60 C．存在λ<0，使得向量c與向量d夾角為30 D．存在λ>0，使得向量c與向量d共線 解析：(1)選B　a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)?2(x－1)2－2＝0?x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一個充分不必要條件． (2)選D　由圖可知d＝4a＋3b＝4，故D正確；對于A，由圖知若向量c與向量d垂直，則有λ<0；對于B，若λ>0，則由圖觀察得向量c與向量d夾角小于60；對于C，若λ<0，則向量c與向量d夾角大于30. 平面向量的模 典題導入 　 (xx洛陽統(tǒng)考)已知P為銳角三角形ABC的AB邊上一點，A＝60，AC＝4，則|＋3|的最小值為(　　) A．4 B．4 C．6 D．6 　因為＝－，所以|＋3|2＝|3－4|2＝92－24＋162.設||＝x，則|＋3|2＝169－48x＋16x2＝16(x2－3x＋9)．因為三角形ABC是銳角三角形，所以0c)． 　(1)由題意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， ∴f(x)的最小正周期T＝π， ∵y＝cos x在(k∈Z)上單調遞減， ∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋. ∴f(x)的單調遞減區(qū)間，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1， ∴cos＝－1. 又<2A＋<，∴2A＋＝π. ∴A＝. ∵＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5， 又b>c，∴b＝3，c＝2. 由題悟法 向量與其它知識結合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“交匯處”的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉化為新的函數(shù)、三角或幾何問題． 以題試法 4．(1)(xx朔州調研)質點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D．6 (2)若M為△ABC所在平面內一點，且滿足(－)(＋－2)＝0，則△ABC為(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 解析：(1)選A　由已知條件F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－F1－F2，F(xiàn)＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60＝28. 因此，|F3|＝2. (2)選B　由(－)(＋－2)＝0，可知(＋)＝0，設BC的中點為D，則＋＝2，故＝0.所以⊥.又D為BC的中點，故△ABC為等腰三角形． 板書設計 平面向量的數(shù)量積及應用 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個非零向量的夾角 （2）當θ＝π時，與反向； （3）當θ＝時，與垂直，記⊥； （4）向量夾角的范圍0≤q≤180。 C 2. 數(shù)量積的概念 =︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內積）。規(guī)定； 3. 向量的投影：︱︱cos稱為向量在方向上的投影。 4. 向量數(shù)量積的性質 ①。 ②乘法公式成立 ； ； ③向量的夾角：cos==。 5. 兩個向量的數(shù)量積的坐標運算 已知兩個向量，則=。 6. 垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個非零向量垂直的充要條件：⊥＝O。 7. 平面內兩點間的距離公式 設，則或。 8. 如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、， 那么(平面內兩點間的距離公式)。 教學反思 向量數(shù)量積容易與三角函數(shù)或解析幾何聯(lián)系出題，要讓學生準確把握數(shù)量積的定義、坐標表示及相關性質。 向量的平行與垂直是特殊位置關系，是易考題型，要學生注意區(qū)分它們的坐標表示的區(qū)別，以免混淆。 由條件求向量的模有兩種情形，一種是利用性質，另一種是坐標形式，需通過題目進行訓練，使學生熟練掌握。