2018-2019學年高中數學 考點61 空間兩點間的距離公式庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點61 空間兩點間的距離公式 要點闡述 在空間直角坐標系中，給定兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則d(P1，P2)＝， 特別地，設點A(x，y，z)，則A點到原點O的距離為d(O，A)＝． 典型例題 【例】已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），則下列說法正確的是（　　） A．A，B，C三點可構成直角三角形 B．A，B，C三點可構成銳角三角形 C．A，B，C三點可構成鈍角三角形 D．A，B，C三點不能構成任何三角形 【答案】A 【解題策略】已知空間中三點的坐標，判斷三角形的形狀，可以利用空間兩點間的距離公式求出三邊長，從三邊的關系上考慮問題． 小試牛刀 1．空間直角坐標系中，點A（–3，4，0）與點B（x，–1，6）的距離為，則等于（　?。? A．2 B．–8 C．2或–8 D．8或–2 【答案】C 【解析】由，得，． 【思想方法】空間兩點間的距離公式是平面上兩點間距離公式的推廣，它可以求空間直角坐標系下任意兩點間的距離，其推導過程體現了化空間為平面的轉化思想． 2．已知，，則的最小值為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 3．點P（a，b，c）到坐標平面的距離是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】點P（a，b，c）在平面上的射影為，． 4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為(　　) A．9 B． C．5 D．2 【答案】B 【解析】由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝． 5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，則線段AB在yOz平面上的射影長為________． 【答案】 【解析】點A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分別為A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴線段AB在yOz平面上的射影長|A′B′|＝＝． 6．如圖所示，在長方體ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點，求M，N兩點間的距離． 【規(guī)律總結】求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應用公式的關鍵在于建立合適的坐標系，確定兩點的坐標，確定點的坐標的方法視具體題目而定，一般說來，要轉化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結合平面直角坐標系的知識確定． 考題速遞 1．點P（x，y，z）滿足＝2，則點P在（　?。? A．以點（1，1，–1）為球心，以為半徑的球面上 B．以點（1，1，–1）為中心，以為棱長的正方體內 C．以點（1，1，–1）為球心，以2為半徑的球面上 D．無法確定 【答案】C 【解析】P滿足到定點（1，1，－1）的距離為2． 2．與兩點A（3，4，5），B（–2，3，0）的距離相等的點M（x，y，z）滿足的條件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即 化簡得，故選A． 3．在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且點M到點A，B的距離相等，則點M的坐標是________． 【答案】(0，－1,0) 【解析】因為點M在y軸上，所以可設點M的坐標為(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即點M的坐標為(0，－1,0)． 4．在空間直角坐標系中，解答下列各題： （1）在x軸上求一點P，使它與點P0(4,1,2)的距離為； （2）在xOy平面內的直線x＋y＝1上確定一點M，使它到點N(6,5,1)的距離最短． 5．試在坐標平面yOz內的直線2y－z＝1上確定一點P，使P到Q(－1,0,4)的距離最?。? 【解析】因為P在yOz平面內，且P在直線2y－z＝1上， 所以可設P(0，y,2y－1)，由兩點間的距離公式得 |PQ|＝ ＝＝． 顯然當y＝2時，|PQ|取最小值，這時P點坐標為(0,2,3)． 數學文化 三維空間 三維空間中兩點間的距離