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1.1.2 余弦定理
1.掌握余弦定理及其推論.(重點)
2.掌握正、余弦定理的綜合應用.(難點)
3.能應用余弦定理判斷三角形的形狀.(易錯點)
[基礎初探]
教材整理1 余弦定理
閱讀教材P6中間1.1.2余弦定理～P7第15行，完成下列問題.
1.三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2.應用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.
(1)已知三邊，求三角.
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
1.以下說法正確的有________.(填序號)
①在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，因此，它適應于任何三角形；
③利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例.
【解析】 ①錯誤.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.
②正確.余弦定理反映了任意三角形的邊角關系，它適合于任何三角形.
③正確.結合余弦定理公式及三角函數知識可知正確.
④正確.余弦定理可以看作勾股定理的推廣.
【答案】?、冖邰?
2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120，則邊c＝________.
【解析】 根據余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－246cos 120＝76，c＝2.
【答案】 2
教材整理2 余弦定理的變形
閱讀教材P7例1上面倒數第三自然段～P8，完成下列問題.
1.余弦定理的變形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
2.利用余弦定理的變形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2
csin 30＝3＝知本題有兩解.
由正弦定理sin C＝＝＝，
∴∠C＝60或120，當∠C＝60時，∠A＝90，
由勾股定理a＝＝＝6，
當∠C＝120時，∠A＝30，△ABC為等腰三角形，
∴a＝3.
已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以應用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊(也可以兩次應用正弦定理求出第三邊).
[再練一題]
1.在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，∠C＝60，求邊c.
【導學號：18082003】
【解】 由題意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab
＝(a＋b)2－3ab＝52－32＝19，
∴c＝.
已知三邊解三角形
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
【精彩點撥】 (1)如何判斷哪個角是最大角？
(2)求sin C能否應用余弦定理？
【自主解答】 ∵a>c>b，
∴∠A為最大角，
由余弦定理的推論，得：
cos A＝＝＝－，
∴∠A＝120，
∴sin A＝sin 120＝.
由正弦定理＝，得：
sin C＝＝＝，
∴最大角∠A為120，sin C＝.
1.本題已知的是三條邊，根據大邊對大角，找到最大角是解題的關鍵.
2.已知三邊解三角形的方法：先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的內角和定理求第三角.
[再練一題]
2.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，求角C.
【解】 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2－c2＋b2＝2abcos C.
∴ab＝2abcos C.
∴cos C＝，∴∠C＝60.
[探究共研型]
正、余弦定理的綜合應用
探究1 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2C成立嗎？反之說法正確嗎？為什么？
【提示】 設△ABC的外接圓半徑為R.
由正弦定理的變形，將a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之將sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確.
探究2 在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則∠C＝成立嗎？反之若∠C＝，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？
【提示】 因為c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之若C＝，則cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判斷△ABC的形狀.
【精彩點撥】
【自主解答】 法一：∵(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，
∴由正、余弦定理可得：
b＝a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形.
法二：根據正弦定理，原等式可化為：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1.判斷三角形的形狀應圍繞三角形的邊角關系進行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉化為角與角之間的關系，通過三角變換，得出三角形各內角之間的關系，從而判斷三角形形狀.
2.在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系.題中若出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現邊的二次式一般采用余弦定理.應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.
[再練一題]
3.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝.
【導學號：18082004】
(1)求的值；
(2)若cos B＝，△ABC的周長為5，求b的長.
【解】 (1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，(其中R為△ABC外接圓半徑)
所以＝＝，
所以sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，
sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B，
所以sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sin C＝2sin A，
所以＝2.
(2)由(1)知＝2，由正弦定理得＝＝2，
即c＝2a.
又因為△ABC的周長為5，
所以b＝5－3a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即(5－3a)2＝a2＋(2a)2－4a2，
解得a＝1，a＝5(舍去)，
所以b＝5－31＝2.
1.已知a，b，c是△ABC的三邊長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為( )
A.60 B.90 C.120 D.150
【解析】 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴∠C＝120.
【答案】 C
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為( )
A. B. C. D.
【解析】 由三角形邊角關系可知，角C為△ABC的最小角，則cos C＝＝＝，所以∠C＝，故選B.
【答案】 B
3. 在△ABC中，若a＝2bcos C，則△ABC的形狀為________.
【解析】 法一：∵a＝2bcos C＝2b＝.
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC為等腰三角形.
法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又－180<∠B－∠C<180，
∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
∴△ABC為等腰三角形.
【答案】 等腰三角形
4.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知∠B＝∠C,2b＝a，則cos A＝________.
【解析】 由∠B＝∠C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝
＝＝.
【答案】
5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長.
【導學號：18082005】
【解】 5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去).
∴cos C＝.
根據余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C
＝52＋32－253＝16.
∴c＝4，即第三邊長為4.
2018版高中數學 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理學案 新人教B版必修5.doc
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