FIRDF數字濾波器的設計.ppt

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第七章FIRDF有限長數字濾波器的設計 7 1引言一 IIRDF的特點1 DF的設計依托AF的設計 有圖表可查 方便簡單 2 相位的非線性H Z 的頻響 其中 是幅度函數 是相位函數 通常 與不是呈線性的 這是IIRfilter 無限長響應濾波器 的一大缺點 因此限制了它的應用 如圖象處理 數據傳輸都要求信道具有線性相位特性 3 用全通網絡進行相位校正 可以得線性特性 二 FIRDF的特點1 單位抽樣響應h n 是有限長的 因此FIRDF一定是穩(wěn)定的 2 經延時 h n 總可變成因果序列 所以FIRDF總可以由因果系統實現 3 h n 為有限長 可以用FFT實現FIRDF 4 FIR的系統函數是Z 1的多項式 故IIR的方法不適用 5 FIR的相位特性可以是線性的 因此 它有更廣泛的應用 非線性的FIR一般不作研究 7 2線性相位FIRDF的特點一 線性相位的條件如果FIRDF的單位抽樣響應h n 為實數 而且滿足偶對稱h n h N 1 n 或滿足奇對稱h n h N 1 n 其對稱中心在處 可證明filter就具有準確的線性相位 N又分為偶數和奇數兩種情況 所以有4種線性相位FIRDF 如下所述 1 N為奇數的偶對稱例如N 11 對稱中心為 2 N為偶數時的偶對稱例如N 10 對稱中心為 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N為奇數時的奇對稱例如 N 11 對稱中心為 n 5 6 7 8 9 10 4 N為偶數時的奇對稱例如 N 10 對稱中心為4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 線性相位的特點 為幅度函數 是一個純實數 是相位函數 下面分為奇 偶對稱兩種情況討論 1 h n 為偶對稱情況 也就是 上式兩邊同時加H Z 再用2去除得 所以 這時的幅度函數和相位函數如下所示 幅度函數為相位函數為 顯然與呈正比 是嚴格的線性相位 0 2 h n 為奇對稱的情況當h n h N 1 n 時 可以通過類似的推導 得到 所以 其幅度函數和相位函數分別為 可見 其相位特性是線性相位 而且還產生一個900相移 這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900 因此稱它為正交變換網絡 相移900的信號與原信號為正交的 0 1 N為奇數 h n 為偶對稱的情況 三 幅度函數的特點 可見 對呈現偶對稱 2 N為偶數 h n 為偶對稱的情況 可見 對呈奇對稱 3 N為奇數 h n 為奇對稱的情況 可見 時 對呈奇對稱 4 N為偶數 h n 為奇對稱的情況 可見 時 對呈奇對稱 而對呈偶對稱 這四種線性相位FIRfilter的特性歸納在表7 1中 P341 四 系統函數H Z 的零點分布情況1 零點的分布原則 所以 如果是零點 則也一定是H Z 的零點 h n 為實數時 H Z 的零點必成共軛對出現 即也一定是H Z 的零點 也一定是H Z 的零點 2 零點的位置 1 既不在實軸上 也不在單位圓上 則零點是互為倒數的兩組共軛對 2 不在實軸上 但在單位圓上 共軛對的倒數就是它們本身 如 3 在實軸上 不在單位圓上 實數零點 沒復共軛 只有倒數 例如 0 1 4 既在實軸上也在單位圓上 此時 只有一個零點 且有兩種可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N為偶數時的偶對稱為其零點 N為偶數奇對稱H 0 0 有Z 1零點 N為奇數奇對稱有零點Z 1 和Z 1 7 3窗函數設計法一 設計方法1 設計思想先給定理想filter的頻響 所要求設計一個FIR的filter的頻響為 使逼近2 設計過程設計是在時域進行的 先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應 然后加時間窗對截斷 以求得FIRfilter的單位抽樣響應h n 例如 低通filter 0 是矩形的 則一定是無限長的且是非因果的 二 窗函數對頻響的影響1 理想LF的單位抽樣響應理想低通filter的頻響為 1 0 0 為群延時 因為其相位 所以是偶對稱 其對稱中心為 這是因為時 即為其最大 故為其對稱中心 又是無限長的非因果序列 2 加矩形窗加窗就是實行乘操作 而矩形窗就是截斷數據 這相當于通過窗口看 稱為窗口函數 其他n值 因h n 是偶對稱的 長度為N 所以其對稱中心應為 所以h n 可寫作 h n n為其他值 3 h n 的頻響h n 的頻響可通過傅式變換求得 為了便于與的頻響相比較 利用卷積定理 1 對于矩形窗的頻響 其中 為幅度函數 為相位函數 2 對于理想LF的頻響 其中 為幅度函數 為相位函數 3 h n 的頻響 其中 為幅度函數 為相位函數 4 窗函數頻響產生的影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響 1 時 也就在到全部面積的積分 因此 H 0 H 0 1 用H 0 歸一化 0 0 2 時 正好與的一半相重疊 這時有 3 時 的主瓣全部在的通帶內 這時應出現正的肩峰 4 時 主瓣全部在通帶外 出現負的肩峰 5 當時 隨增加 左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶 卷積也隨著的旁瓣在通帶內的面積變化而變化 故將圍繞著零值而波動 6 當時 的右邊旁瓣將進入的通帶 右邊旁瓣的起伏造成值圍繞值而波動 1 0 0 5 5 幾點結論 1 加窗后 使頻響產生一過渡帶 其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度 2 在處出現肩峰 肩峰兩側形成起伏振蕩 其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度 而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效應因為窗函數的頻響的幅度函數為這是一個很特殊的函數 分析表明 當改變N時僅能改變的絕對值的大小 和主瓣的寬度 旁瓣的寬度 但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 也就是說 不會改變歸一化頻響的肩峰的相對值 對于矩形窗最大相對肩峰為8 95 不管N怎樣改變 最大肩峰總是8 95 這種現象稱作吉布斯效應 三 各種窗函數1 基本概念 1 窗譜 窗函數的頻響的幅度函數亦稱作窗譜 2 對窗函數要求a 希望窗譜主瓣盡量窄 以獲得較陡的過渡帶 這是因為過渡帶等于主瓣寬度 b 盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度 這樣可使肩峰和波紋減少 2 矩形窗時域表達式 頻域表達式 頻譜 幅度函數 3 三角形 Bartlett 窗時域表達式 1 01234 頻譜 第一對零點為 即 所以主瓣寬度 比矩形寬一倍 4 漢寧窗 升余弦窗 其窗譜可利用如下方法求出 將變形為又由于其中又考慮到 這里 所以有 當時 窗譜分析可知 它等于三部分之和 旁瓣較大程度地互相抵消 但主瓣加寬一倍 即為 漢寧窗是時 特例 5 海明窗 又稱作改進升余弦窗其窗函數為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數為其主瓣寬度仍為 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣內 海明窗是下一類窗的特例 6 布拉克曼窗 又稱二階余弦窗加上余弦的二次諧波分量 可以進一步抑制旁瓣相應的幅度函數為其主瓣寬度為 是矩形窗的三倍 7 五種窗函數的比較 1 時域窗 布拉克曼 三角 矩形 海明 2 各個窗的幅度函數 如P 200 圖6 10 注意圖中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函數 響應 如P201 圖6 11所示 四 窗函數法的設計1 設計步驟 1 給定頻響函數 2 求出單位抽樣響應 3 根據過渡帶寬度和阻帶最小衰減 借助窗函數基本參數表 P202表3 確定窗的形式及N的大小 4 最后求及2 設計舉例 例 分別利用矩形窗與漢寧窗設計具有線性相位的FIR低通濾波器 具體要求 其他 并畫出相應的頻響特性 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 確定N由于相位函數 所以呈偶對稱 其對稱中心為 因此 3 加矩形窗 則有 可以求出h n 的數值 注意偶對稱 對稱中心 由于h n 為偶對稱 N 25為奇數 所以 例如H 0 0 94789 可以計算的值 畫如下圖 4 加漢寧窗由于可以求出序列的各點值 通過可求出加窗后的h n 相應幅度函數可用下式求得 如H 0 0 98460 圖如下 7 4 凱澤 Kaiser 窗及其濾波器設計 上述幾種窗函數 矩形窗 漢寧窗 海明窗等 為了壓制旁瓣 是以加寬主瓣為代價的 而且 每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的 而凱澤窗 可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇 一 凱澤窗 凱澤在1966 1974 發(fā)現 利用第一類零階修正 變形 貝賽爾函數可以構成一種近似最佳的窗 函數 凱澤窗定義為 1 定義 其中 為第一類零階修正貝塞爾函數 是一個可自由選擇的參數 2 特點 可同時調整主瓣寬度與旁瓣 越大 窗越窄 頻譜旁瓣越小 而主瓣 相應增加 相當于矩形窗 通常選擇 它們相當于旁瓣與主 瓣幅度為 3 1 0 047 凱澤窗隨變化的曲線如下圖 注 第一類零階修正貝塞爾函數為 由圖可以看出 為對稱中心 且是偶對稱 即 3 凱澤經驗公式 該公式可使filter設計人員根據filter的設計指標 估算出 值和N值 且 通帶截止頻率 由定 止帶截止頻率 由定 過渡帶寬度 4 設計舉例 利用凱澤窗設計一FIR低通filter 要求 解 取38 將N 38 5 653代入表達式 得 0370 01 0000 02040 02 1361 83362 0300 04150 04 2352 55683 3450 07040 07 8294 654819 960 40820 41 3343 0865 2510 10740 11 4333 51117 4410 15220 15 5323 865610 110 20670 21 6314 167813 100 26790 29 7304 428616 440 33620 34 17205 635048 030 98220 98 9284 851223 830 48730 49 10275 021527 730 56710 57 11265 168231 720 64890 65 12255 293135 330 72250 72 13245 398039 010 79780 80 14235 483841 930 85750 86 15225 551544 670 91350 91 16215 601746 740 95580 96 18195 651548 901 01 00 0 4 8 12 16 18 19 25 29 33 37 21 的圖形如下所示 7 5 頻率取樣設計法 一 設計思想 窗函數設計法是從時域出發(fā) 把理想的用一定 形狀的窗函數截取成有限長的 以來近似 從而使頻響近似理想頻響 頻率取樣法是從頻域出發(fā) 對理想的頻響 進行等間隔取樣 以有限個頻響采樣去近似理想頻響 即 等間隔取樣 并且 二 利用N個頻域采樣值重構FIR的系統函數與頻響 1 重構FIR的的單位抽樣響應h n 根據頻域抽樣理論 p99 由N個頻域采樣點 可以唯一確定h n 即對H k 進行IDFT 2 重構系統函數H Z 3 FIR的頻響 將代入表達式可得 其中 為大家所知的內插函數 分析可知 當時 采樣點 有 這說明 重構的頻響 在采樣上嚴格等于H k 而在采樣點之間 頻響則由加權的內插函數延伸疊加而成 三 線性相位的約束條件 以h n 為偶對稱 N為奇數的情況進行分析 1 FIR的頻響具有線性相位的一般表達式 當h n 為偶對稱 N為奇數時 則 P191 表6 1 而且幅度函數應為偶對稱 即 2 采樣值H k 具有線性相位的約束 其中 表示采樣值的模 純標量 表示 其相角 因此 在采樣點上具有線性相位的條件應為 而且 必須滿足偶對稱 即 四 設計步驟 1 根據指標要求 畫出頻率采樣序列的圖形 2 依據的對稱特點 可以使問題得以簡化 3 根據線性相位的約束條件 求出 4 將代入FIR的頻響表達式 5 由的表達式畫出實際頻響 四 設計舉例 例 試用頻率采樣法 設計一個具有線性相位 的低通FIR數字filter 其理想頻率特性為 已知 采樣點N 33 由于h n 為偶對稱 且N 33為奇數 所以對于 是偶對稱 所以上圖可畫一半 到 截止頻率 即 解 相位約束條件 而為 將代入FIR的頻響 得 考慮到時 所以將負頻部分加進去 有 的圖形如下所示 0 放映結束