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1.1
1．1.1 正弦定理
預(yù)習(xí)課本P2～3，思考并完成以下問題
(1)直角三角形中的邊角之間有什么關(guān)系？
(2)正弦定理的內(nèi)容是什么？利用它可以解哪兩類三角形？
(3)解三角形的含義是什么？
1．正弦定理
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝.
[點睛] 正弦定理的特點
(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．
(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．
(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．
2．解三角形
一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)正弦定理適用于任意三角形( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B總能成立( )
(3)在△ABC中，已知a，b，A，則此三角形有唯一解( )
解析：(1)正確．正弦定理適用于任意三角形．
(2)正確．由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.
(3)錯誤．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是無解、一解、兩解的情況，具體情況由a，b，A的值來定．
答案：(1)√ (2)√ (3)
2．在△ABC中，下列式子與的值相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：選C 由正弦定理得，＝，
所以＝.
3．在△ABC中，已知A＝30，B＝60，a＝10，則b等于( )
A．5 B．10
C. D．5
解析：選B 由正弦定理得，b＝＝＝10.
4．在△ABC中，A＝，b＝2，以下錯誤的是( )
A．若a＝1，則c有一解 B．若a＝，則c有兩解
C．若a＝，則c無解 D．若a＝3，則c有兩解
解析：選D a＝2 sin＝1時，c有一解；當a<1時，c無解；當1
2時，c有一解．故選D.
已知兩角及一邊解三角形
[典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60，C＝75，求A，b，c.
[解] A＝180－(B＋C)＝180－(60＋75)＝45，
由正弦定理＝，得b＝＝＝4，
由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．
已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路
(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．
(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊．
[注意] 若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75＝45＋30)，再根據(jù)上述思路求解．
[活學(xué)活用]
在△ABC中，若A＝60，B＝45，BC＝3，則AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析：選B 由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝＝2，故選B.
已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
[典例] 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45，求A，C，c.
[解] 由正弦定理及已知條件，有＝，得sin A＝.
∵a>b，∴A>B＝45.∴A＝60或120.
當A＝60時，C＝180－45－60＝75，c＝＝＝；
當A＝120時，C＝180－45－120＝15，c＝＝＝.
綜上可知：A＝60，C＝75，c＝或A＝120，C＝15，c＝.
已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．
(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一．
(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．
[活學(xué)活用]
在△ABC中，c＝，C＝60，a＝2，求A，B，b.
解：∵＝，∴sin A＝＝.
∴A＝45或A＝135.
又∵c>a，∴C>A.∴A＝45.
∴B＝75，b＝＝＝＋1.
三角形形狀的判斷
[典例] 在△ABC中，acos＝bcos，判斷△ABC的形狀．
解：[法一 化角為邊]
∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a＝b，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．
[法二 化邊為角]
∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合題意舍去)
故△ABC為等腰三角形．
利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑
(1)化角為邊．將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項式的有關(guān)知識(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(2)化邊為角．將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．
[活學(xué)活用]
在△ABC中，已知acos A＝bcos B，試判斷△ABC的形狀．
解：由正弦定理，＝＝＝2R，所以acos A＝bcos B可化為sin A cos A＝sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形狀為等腰或直角三角形．
層級一 學(xué)業(yè)水平達標
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 根據(jù)正弦定理得＝＝.
2．在△ABC中，a＝bsin A，則△ABC一定是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
解析：選B 由題意有＝b＝，則sin B＝1，
即角B為直角，故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，若＝，則C的值為( )
A．30 B．45
C．60 D．90
解析：選B 由正弦定理得，＝＝，
則cos C＝sin C，即C＝45，故選B.
4．△ABC中，A＝，B＝，b＝，則a等于( )
A．1 B．2
C. D．2
解析：選A 由正弦定理得＝，
∴a＝1，故選A.
5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a＝bsin A，則sin B＝( )
A. B.
C. D．－
解析：選B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.
6．下列條件判斷三角形解的情況，正確的是______(填序號)．
①a＝8，b＝16，A＝30，有兩解；
②b＝18，c＝20，B＝60，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90，無解；
④a＝40，b＝30，A＝120，有一解．
解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120，有一解．綜上，④正確．
答案：④
7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，則△ABC的形狀是________．
解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根據(jù)正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
8．在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則＝________.
解析：由正弦定理及已知得＝，∴＝2.
答案：2
9．已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是45，60，它們所夾邊的長是1，求最小邊長．
解：設(shè)△ABC中，A＝45，B＝60，
則C＝180－(A＋B)＝75.
因為C>B>A，所以最小邊為a.
又因為c＝1，由正弦定理得，
a＝＝＝－1，
所以最小邊長為－1.
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30，B＝45，解三角形．
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∴C＝180－(A＋B)＝180－(30＋45)＝105，
∴c＝＝＝
＝4sin(30＋45)＝2＋2.
層級二 應(yīng)試能力達標
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝a，B＝30，那么角C等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：選A ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180－30－C)＝sin(30＋C)＝，即sin C＝－cos C，∴tan C＝－.又00，∴sin B－cos B－1＝0，
即sin ＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由(1)得：2R＝＝2，a＋c＝2R(sin A＋sin C)
＝2sin.
∵C∈，∴2sin∈(，2]，
∴a＋c的取值范圍為(，2]．
1．1.2 余弦定理
預(yù)習(xí)課本P5～6，思考并完成以下問題
(1)余弦定理的內(nèi)容是什么？
(2)已知三角形的兩邊及其夾角如何解三角形？
(3)已知三角形的三邊如何解三角形？
余弦定理
余弦定理
公式表達
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C
余弦定理
語言敘述
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍
推論
cos A＝
c os B＝，
cos C＝
[點睛] 余弦定理的特點
(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．
(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量．
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形( )
(3)在△ABC中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一( )
解析：(1)正確．余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形．
(2)正確．當a2>b2＋c2時，cos A＝<0.
因為0b知A>B，∴B＝30.
故C＝180－A－B＝180－45－30＝105.
(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一．
(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．
[活學(xué)活用]
已知a，b，c是△ABC三邊之長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則C的大小為( )
A．60 B．90
C．120 D．150
解析：選C ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab，
由余弦定理可得，cos C＝
＝＝－＝－，
∵00，則△ABC( )
A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是鈍角三角形 D．是銳角或直角三角形
解析：選C 由>0得－cos C>0，
所以cos C<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形．
4．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，則ab的值為( )
A. B．8－4
C．1 D.
解析：選A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60＝ab，則ab＋2ab＝4，∴ab＝.
5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為( )
A. B.或
C. D.或
解析：選B 因為(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
所以2accos Btan B＝ac，即sin B＝，
所以B＝或B＝，故選 B.
6．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120，則a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120
＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________.
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴()2＝a2＋12－2a1cos ，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，則b＝________.
解析：因為b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－22(7－b)，
解得b＝4.
答案：4
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180，
∴B＝60.
由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝82－215－215＝19.
∴b＝.
10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
解：∵a>c>b，∴A為最大角．
由余弦定理的推論，得
cos A＝＝＝－.
又∵0b B．a(chǎn)0，∴a2>b2，∴a>b.
3．在△ABC中，cos2＝，則△ABC是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：選B ∵cos2＝，∴＝，
∴cos B＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，
即a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形．
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，則＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選A 由余弦定理得cos A＝，又b2＋c2＋bc－a2＝0，則cos A＝－，又060，
∴∠ADC＝120，
∴∠C＝180－120－30＝30，∴∠B＝60.
(2)設(shè)DC＝x，則BD＝2x，BC＝3x，AC＝x，
∴sin B＝＝，cos B＝，AB＝x，
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos B，
即(2)2＝6x2＋4x2－2x2x＝2x2，
得x＝2.故DC＝2.
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