概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版習(xí)題答案第三章.doc

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第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1.[一] 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下： 試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。 解：（1）放回抽樣情況 由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )= P (X=0, Y=1 )= P (X=1, Y=0 )= P (X=1, Y=1 )= 或?qū)懗? X Y 0 1 0 1 （2）不放回抽樣的情況 P {X=0, Y=0 }= P {X=0, Y=1 }= P {X=1, Y=0 }= P {X=1, Y=1 }= 或?qū)懗? X Y 0 1 0 1 3.[二] 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。 X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，聯(lián)合分布律為 P {X=0, Y=2 }= P {X=1, Y=1 }= P {X=1, Y=2 }= P {X=2, Y=0 }= P {X=2, Y=1 }= P {X=2, Y=2 }= P {X=3, Y=0 }= P {X=3, Y=1 }= P {X=3, Y=2 }=0 5.[三] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為 （1）確定常數(shù)k。 （2）求P {X<1, Y<3} （3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4} 分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化為累次積分，其中 解：（1）∵，∴ （2） （3） y （4） 6．（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 2 解：（1）① 放回抽樣（第1題） X Y 0 x+y=4 1 1 0 x o 1 邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi Pj ② 不放回抽樣（第1題） X Y 0 1 0 1 邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi Pj （2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下 X Y 0 1 2 3 0 0 0 3 0 0 解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律 X 0 1 2 3 Y 1 3 Pi Pj 7.[五] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為 解： 8.[六] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 x=y y 求邊緣概率密度。 x o 解: 9.[七] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 （1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。 解: l= y o y=x2 x 15. 第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。 解：放回抽樣的情況 P {X=0, Y=0 } = P {X=0}P {Y=0} = P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}= P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}= P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}= 在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的 不放回抽樣的情況： P {X=0, Y=0 } = P {X=0}= P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }= P {X=0}P {Y=0} = P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} ∴ X和Y不獨(dú)立 16.[十四] 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為 （1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。 解：（1）X的概率密度為 y=x2 Y的概率密度為 1 x D y o 且知X, Y相互獨(dú)立， 于是（X，Y）的聯(lián)合密度為 （2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式 即： 記 19.[十八] 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為 并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量 且為同分布，其分布密度為 Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知： ∵ z≥0 ∴ 當(dāng)z<0時(shí)，fz (z) = 0 當(dāng)z>0時(shí)，由和的概率公式知 ∴ （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)ξ表示第三周需要量，其概率密度為： z與ξ相互獨(dú)立 η= z +ξ表示前三周需要量 則：∵η≥0， ∴當(dāng)u<0， fη(u) = 0 當(dāng)u>0時(shí) 所以η的概率密度為 22.[二十二] 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。 解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為： 設(shè)N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180} =P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由條件概率公式 P {X=2|Y=2}= = = 同理 P {Y=3|X=0}= （2）變量V=max{X, Y } 顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5 P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0 P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04 P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16 P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24 P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）顯然U的取值為0，1，2，3 P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1} + …… + P {Y=0，X=5}=0.28 同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或縮寫成表格形式 （2） V 0 1 2 3 4 5 Pk 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 （3） U 0 1 2 3 Pk 0.28 0.30 0.25 0.17 （4）W=V+U顯然W的取值為0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0} ∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能 上式中的P{V=0，U=1}=0， 又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2 故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2 P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1} =0.03+0.01+0.02=0.06 P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19 P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1} +P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1} +P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24 P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2} +P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2} +P{X=3，Y=3} =0.19 P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3} =P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12 P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05 或列表為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 [二十一] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 （1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。 解：（1） ∴ （2） （3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u<0, FU (u) = 0