麥克斯韋速度分布.ppt

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2 4麥克斯韋速度分布 前面已指出 麥克斯韋是先導(dǎo)出速度分布 然后再從速度分布得到速率分布的 本節(jié)中介紹麥克斯韋速度分布 為了說明速度分布的含義 先介紹速度空間的概念 2 4 1速度空間 一 速度矢量 速度空間中的代表點 1 速度矢量 要描述氣體分子的速度大小和方向 需引入速度矢量這一概念 速度矢量的方向和大小恰與此瞬時該分子速度的大小 方向一致 一個分子僅有一個速度矢量 1 速度空間中的代表點 把分子的速度矢量沿x y z方向的投影vx vy vz作直角坐標圖 把所有分子速度矢量的起始點都平移到公共原點O上 在平移時 矢量的大小 方向都不變 平移后 僅以矢量的箭頭端點的點來表示這一矢量 而把矢量符號抹去 這樣的點稱為代表點 如圖中的P點所示 以直角坐標表示的速度空間 以速度分量vx vy vz為坐標軸 以從原點向代表點所引矢量來表示分子速度方向和大小的坐標稱為速度空間 速度空間是人們想像中的空間坐標 所描述的不是分子的空間位置 而是速度的大小與方向 二 速度空間中代表點的分布 若把某一瞬時所有分子所對應(yīng)的速度矢量代表點都標在速度空間中 就構(gòu)成代表點在速度空間中的一種分布圖形 如圖所示 速度空間中代表點分布與靶板上靶點分布類似 前面已指出 在圖2 2 a 中 靶點位于x到x dx y到y(tǒng) dy范圍內(nèi)的概率是以f x y dxdy來表示的 其中dxdy為這一區(qū)域大小 f x y 是黑點分布的概率密度 1 速度空間中小立方體dvxdvydvz中的概率 在三維速度空間中 在vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz區(qū)間內(nèi)劃出一個體積為dvxdvydvz的微分元 如圖所示 數(shù)出在這微分元中的代表點的數(shù)目dN vx vy vz 并把 稱為坐標為vx vy vz處的麥克斯韋速度分布概率密度 它表示在dvxdvydvz小體積元中代表點的相對密集程度 我們可以這樣來求出dN vx vy vz 2 速度空間中厚為dvx無限大平板中的概率 首先問 在N個分子中速度x分量落在vx到vx dvx范圍內(nèi)而vy vz在任意的范圍內(nèi)的分子數(shù)dN vx 是多少 在速度空間中劃出一個垂直于vx軸的厚度為dvx的無窮大平板 如圖所示 不管速度的y z分量如何 只要速度x分量在vx到vx dvx范圍內(nèi) 則所有這些分子的代表點都落在此很薄的無窮大平板中 若設(shè)此平板中代表點數(shù)為dN vx 則dN vx N表示分子的速度處于vx到vx dvx而vy vz為任意值范圍內(nèi)的概率 顯然這一概率與板的厚度dvx成比例 并有dN vx N f vx dvx稱分子x方向速度分量概率分布函數(shù) 同樣可分別求出垂直于vy軸及vz軸的無窮大薄平板中代表點數(shù)dN vy 及dN vZ 則 dN vy N f vy dvydN vz N f vz dvz分別表示y及z方向速度分量的概率分布函數(shù) 根據(jù)處于平衡態(tài)的氣體的分子混沌性假設(shè) 分子速度沒有擇優(yōu)取向 故f vx f vy f vz 應(yīng)具有相同形式 速度空間中一根截面積為dvxdvy的無窮長的方條中的概率 2 進一步問 分子速率介于vx到vx dvx vy到vy dvy 而vz在任意的范圍內(nèi)的分子數(shù)dN vx vy 是多少 顯然這些分子的代表點都落在一根平行于vz軸 截面積為dvxdvy的無窮長的方條中 因為分子落在垂直于dvx軸的平板內(nèi)的概率是f vx dvx 分子落在垂直于vy軸的平板內(nèi)的概率是f vy dvy 由相互獨立的同時事件概率相乘法則可知 分子落在方柱體內(nèi)的概率為方柱體內(nèi)代表點數(shù)dN vx vy 與總分子數(shù)N的比值 3 最后要問 分子速度分量處于vx到vx dvx vy到vy dvy vz到vz dvz范圍內(nèi)的概率是多少 只需在圖中再作一垂直于vz軸的 厚度為dvz的無窮大薄平板 平板與柱體相交截得一體積為dvxdvydvz的小立方體 計算出在小立方體中的代表點數(shù)dN vx vy vz 而dN vx vy vz N就是所要求的概率 因為vx vy vz相互獨立 故dN vx vy vz N f vx dvx f vy dvy f vz dvz 顯然 速度分布概率密度f vx vy vz 是分子分別按速度的x y z方向分量分布的概率密度f vz f vy f vz 的乘積 分子處于速度空問任一微小范圍dvxdvydvz內(nèi)的概率是f vx vy vz 與dvxdvydvz的乘積 2 4 2麥克斯韋速度分布 Maxwellvelocitydistribution 麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計的方法導(dǎo)出了理想氣體分子的速度分布 這一分布可表示為f vx vy vz dvxdvydvz 因為f vx vy vz f vx dvxdvx f vy dvy f vz dvz麥克斯韋速度分布有 其中i可分別代表x y z 欲求分子速度的x分量在vx到vx dvx內(nèi)而vy vz任意的分子數(shù)dN vx 這就是速度空間中垂直于x軸的無窮大薄平板中的代表點數(shù) 顯然可對vy vz積分后求出 利用定積分公式可知上式中的兩個積分都是1 故 的概率分布曲線如圖2 13所示 它對稱于縱軸 圖中打上斜線的狹條的面積即 最后說明 由于麥克斯韋在導(dǎo)出麥克斯韋速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用 故這一速度分布律一般適用于平衡態(tài)的理想氣體 2 4 3相對于vp的 麥克斯韋 速度分量分布與速率分布誤差函數(shù) 附錄2 1中的定積分公式都是從0積分到無窮大 有時需要計算氣體分子速度分量 或速率v 在某給定范圍內(nèi)的分子數(shù)或概率 這時可把麥克斯韋速度分布式或速率分布式分別作變量變換 使之變換為相對于最概然速率的速度分量分布或速率分布的形式 一 相對于vp的速度分量 麥克斯韋 分布 令其中vx vp ux 其中vp為最概然速率 它可以變換為若要求出分子速度x方向分量小于某一數(shù)值的分子數(shù)所占的比率 則可對上式積分引入誤差函數(shù)erf x 誤差函數(shù)erf x 有表可查 例2 2 試求在標準狀態(tài)下氮氣分子速度的x分量小于800m s 1的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比 解 首先求出273K時氮氣分子 摩爾質(zhì)量Mm 0 028kg 的最概然速率 由表2 1查得erf 2 0 995 故這種分子所占百分比為 49 8 二 相對于的麥克斯韋速率分布 若令可將麥克斯韋速率分布表示為 利用 2 35 式可求得在某一速率附近微小范圍內(nèi)的氣體分子數(shù)所占的百分比率 再利用誤差函數(shù)可求得在0到v范圍內(nèi)的分子數(shù) 2 4 4從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布 一 以極坐標表示的射擊點分布 按極坐標表示的射擊點分布 若用相等的 r為間隔 在靶板上畫出很多個同心圓 數(shù)出每個圓環(huán)中的黑點數(shù) N 以 N N r為縱坐標 r為橫坐標畫出豎條 如右圖 令 r 0 得到光滑曲線 它表示離靶心不同距離處存在黑點的概率 二 氣體分子的速率分布 麥克斯韋速度分布 所有分子速率介于v到v dv范圍內(nèi)的分子的代表點都落在以原點為球心 v半徑 厚度為dv的一薄層球殼中 如圖所示 根據(jù)分子混沌性假設(shè) 氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向 在各個方向上應(yīng)該是等概率的 說明代表點的數(shù)密度D是球?qū)ΨQ的 D僅是離開原點的距離v的函數(shù) 設(shè)代表點的數(shù)密度為D v 在球殼內(nèi)的代表點數(shù)dNv應(yīng)是D v 與球殼體積的乘積 在麥克斯韋速度分布中已指出 在速度空間中 在速度分量vx vy vz附近的代表點數(shù)密度是Nf vx vy vz 它就是這里的D v 故 將上式代入可以得到 這就是麥克斯韋速率分布 2 4 5絕對零度時金屬中自由電子的速度分布與速率分布費米球 金屬自由電子模型指出 金屬中的價電子是無相互作用的自由電子 在T 0K時 自由電子的速度分布可表示為在速度空間中的一個費米球 其球心位于速度空間的原點 球的半徑為vF 稱為費米速率 是一個與金屬種類有關(guān)的常數(shù) 電子狀態(tài)位于速度空間中費米球外的概率密度為零 位于球內(nèi)的概率密度為常數(shù) 設(shè)為De De可如下求出 4 3 vF3De 1 由歸一化條件知De 3 4 vF3 故 其速率分布可表示為v vFv vF 通常以來表示費米球面的能量 其中me為電子質(zhì)量 稱為費米能 不同金屬 EF值不同 一般它取eV的量級 例如 銅的EF 1 1 10 18J 而me 9 1 10 31kg 由此知T 0K時銅中自由電子平均速率說明即使在T 0K時 金屬中自由電子還在以106m s 1的數(shù)量級的平均速率在運動著 這是經(jīng)典理論無法解釋的 按照麥克斯韋分布 T 0K時的自由電子平均速率為零 這種運動稱為零點運動