雙因素和多因素方差分析.ppt

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第九章雙因素和多因素方差分析 學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握 兩因素交叉分組 有重復(fù)觀察值 無重復(fù)觀察值 資料的方差分析方法 熟悉 多因素試驗線性模型和不同變異來源期望均方構(gòu)成 了解 缺失數(shù)據(jù)的估計原理及方差分析方法 講授內(nèi)容 第一節(jié)雙因素方差分析概述第二節(jié)不同實驗類型的雙因素方差分析第三節(jié)多因素試驗的方差分析第四節(jié)缺失數(shù)據(jù)的估計第五節(jié)數(shù)據(jù)變換 第一節(jié)雙因素方差分析概述 一 雙因素試驗匯中的幾個基本概念1 主效應(yīng) maineffect 各實驗因素相對獨立的效應(yīng) 該效應(yīng)水平的改變會造成因素效應(yīng)的改變 如包裝方式對果汁銷售量的影響 2 互作效應(yīng) interaction 兩個或多個實驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng) 3 無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析 Two factorwithoutreplication 兩個因素對試驗結(jié)果 兩個因素對試驗數(shù)據(jù)的影響 4 有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 Two factorwithreplication 如果兩個因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外 兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響 二 雙因素交叉分組試驗設(shè)計的描述 一 雙因素試驗的數(shù)據(jù)描述 二 觀測值的描述 三 平方和與自由度的分解 四 平方和的簡便計算公式 五 各項均方的計算 一 試驗數(shù)據(jù)的描述 二 觀測值的描述 對于上表中的每一個觀測值可用線性統(tǒng)計模型描述 三 平方和與自由度的分解 1 平方和的分解總平方和SST被分解為A因素所引起的平方和SSA B因素所引起的平方和SSB AB交互作用所引起的平方和SSAB 誤差平方和SSe A因素誤差平方和B因素誤差平方和AB交互作用誤差平方和隨機(jī)誤差項平方和 2 平方和的分解與平方和相應(yīng)的自由度分別為 總自由度 dfT abn 1A因素處理間自由度 dfA a 1B因素處理間自由度 dfB b 1交互作用自由度 dfAB a 1 b 1 處理內(nèi)自由度 dfe ab n 1 dfT dfA dfB dfAB dfe 四 平方和的簡便計算方式 五 各項均方的計算 第二節(jié)不同實驗類型的雙因素方差分析 一 固定模型 一 重復(fù)試驗時的雙因素方差分析1 觀察值的線性統(tǒng)計模型2 提出假設(shè) 3 檢驗統(tǒng)計量的計算在F檢驗時 A因素 B因素和互作效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量均以MSe做分母 FA MSA MSeFB MSB MSeFAB MSAB MSe用F分布的上尾檢驗 拒絕域為F F 4 均方期望 二 無重復(fù)實驗時的雙因素方差分析1 觀測值的描述2 提出假設(shè) 3 檢驗統(tǒng)計量的計算在F檢驗時 A因素 B因素的檢驗統(tǒng)計量均以MSe做分母FA MSA MSeFB MSB MSe用F分布的上尾檢驗 拒絕域為F F 三 交互作用的判斷 Tukey提供的方法進(jìn)行因素間是否存在交互作用的判斷P150 二 隨機(jī)模型1 觀察值的線性統(tǒng)計模型2 提出假設(shè) 3 檢驗統(tǒng)計量的計算在F檢驗時 A因素 B因素主效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量是以MSAB做分母 互作效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量以MSe做分母FA MSA MSABFB MSB MABFAB MSAB MSe用F分布的上尾檢驗 拒絕域為F F 注意 檢驗統(tǒng)計量的分母與統(tǒng)計量的第二自由度與固定效應(yīng)不同 4 均方期望 三 混合模型 以A為固定因素 B為隨機(jī)因素為例 在混合模型中 A B因素的效應(yīng)為非可加性 為固定效應(yīng) 為隨機(jī)效應(yīng)對A做檢驗時用隨機(jī)模型 對B及AB交互效應(yīng)做檢驗時用固定模型 P177 例1 隨機(jī)選擇4個小麥品種 施以三種肥料 小區(qū)產(chǎn)量列于下表 該問題屬于哪種模型 從方差分析的結(jié)果可得出什么結(jié)論 題解 解 本題影響產(chǎn)量的因素包括肥料種類和小麥品種 該問題屬于混合模型中無重復(fù)的兩因素分組交叉分析 小麥品種間差異極顯著 肥料間無顯著差異 例2 用兩種不同的飼料添加劑A和B 以不同比例搭配飼養(yǎng)大白鼠 每一種飼料添加劑取4個水平 每一處理設(shè)兩個重復(fù) 大白鼠增重結(jié)果列于下表 請進(jìn)行統(tǒng)計分析 并回答下列問題 該實驗有可能屬于哪幾種模型 前提是什么 如果認(rèn)為是隨機(jī)模型 設(shè)置重復(fù)與不設(shè)重復(fù)對分析結(jié)果有無影響 若實驗本身是固定模型 但分析時誤認(rèn)為隨機(jī)模型 對結(jié)論有何影響 若不設(shè)重復(fù) 又有何影響 題解 1 該實驗可能屬于固定模型 隨機(jī)模型 混合模型 取決于添加劑本身的性質(zhì) 即添加劑的效果能否嚴(yán)格重復(fù) 2 分析 固定模型下 查F分布表 所以FA FB FC均達(dá)極顯著 所以大白鼠增重與添加劑A B及其交互作用都有顯著關(guān)系 隨機(jī)模型下 查F分布表 FA顯著但未達(dá)極顯著 FB不顯著 FAB極顯著 所以大白鼠增重與A AB的交互作用有顯著關(guān)系 綜合上面可知 隨機(jī)模型和固定模型對主效應(yīng)的認(rèn)識不同 若不設(shè)重復(fù) 對固定模型 統(tǒng)計檢驗無法進(jìn)行 第三節(jié)多因素試驗的方差分析 一 觀測值的描述假設(shè)在一個試驗中 A因素有a個水平 B因素有b個水平 C因素有c個水平 每個因素有n次重復(fù) 那么觀測值的線性統(tǒng)計模型為 A3 B1 A3 B1 a 無交互效應(yīng) b 有交互效應(yīng) 圖中每條曲線代表B因素的一個水平 若各曲線平行或近似平行 可認(rèn)為無交互效應(yīng) 否則為有交互效應(yīng) 以上只是一種直觀的判斷 在多因素方差分析的過程中 我們對交互作用的有無也可進(jìn)行統(tǒng)計檢驗 交互效應(yīng) H01 i 0 i 1 2 aH02 j 0 j 1 2 bH03 ij 0 i 1 2 a j 1 2 b備擇假設(shè)為 HA 上述各參數(shù)中至少有一個不為0 這實際上是三個備擇假設(shè) 零假設(shè) 方差分析的基本思想仍是總變差分解 即 SST SSA SSB SSAB SSe自由度 abn 1a 1b 1 a 1 b 1 ab n 1 總變差分解 均方數(shù)學(xué)期望 檢驗兩個主效應(yīng)及一個交互效應(yīng)的下述三個統(tǒng)計量中 分母全部采用MSe即可 檢驗H01 H02 H03的統(tǒng)計量分別為 檢驗H01 H02 H03的統(tǒng)計量 從前述的各均方期望可知 只有當(dāng)各H0成立時 上述三個分子才是 2的無偏估計量 此時各統(tǒng)計量均服從F分布 若某個H0不成立 則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢 從而使對應(yīng)的統(tǒng)計量也有偏大的趨勢 因此可用F分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行檢驗 各效應(yīng)的估計值 其中i 1 2 a j 1 2 b 計算公式 計算排列如下表 表中最下一行是各列的平均 最右一列是各行的平均 計算步驟 方差分析表 把計算所得結(jié)果填入上表后 再根據(jù)各F統(tǒng)計量的自由度查出其F0 95及F0 99分位數(shù) 并將F計算值與相應(yīng)分位數(shù)相比 大于F0 95則在統(tǒng)計量F右上角標(biāo)一個 號 大于F0 99則再加一個 號 最后用一句話對上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié) 即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平 哪些不顯著 F測驗 如果MSAB小于或約等于MSe 即FAB小于或約等于1 說明此時交互作用不存在 在這種情況下也可把MSAB和MSe合并在一起 即把平方和和自由度都合并 作為 2的估計量 這樣可以提高檢驗的精確度 具體計算公式如下 交互作用不存在 然后可用作統(tǒng)計量FA和FB的分母 對兩個主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計檢驗 注意查表時分母自由度要相應(yīng)改變 例3選擇最適發(fā)酵條件 本題中顯然溫度是一個因素 原料種類是另一個因素 這兩個因素各有三個水平 由于它們的影響都是可控制 可重復(fù)的 因此都是固定因素 在同樣溫度 原料下所做的幾次實驗應(yīng)視為重復(fù) 它們之間的差異是由隨機(jī)誤差所造成的 固定因素 各處理平均數(shù) 發(fā)酵實驗方差分析表 查F分布表 得 F0 95 2 27 F0 95 2 30 3 316 F0 99 2 27 F0 99 2 30 5 390 F0 95 4 27 F0 95 4 30 2 690 F0 99 4 27 F0 99 4 30 4 018 FA FB均達(dá)極顯著 標(biāo)上 FAB只達(dá)顯著 標(biāo)上 因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著 與它們的交互作用也有顯著關(guān)系 即對不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵溫度 F測驗 在固定效應(yīng)模型中 若各F統(tǒng)計量有達(dá)到顯著或極顯著水平時 常常還需要在各處理間進(jìn)行多重比較 以選出所需要的條件組合 各處理間進(jìn)行多重比較 如果有交互作用存在 則一般需要把所有ab個水平組合放在一起比 比較的方法仍與單因素方差分析相同 最常用Duncan法 當(dāng)交互作用存在時 對固定模型若不設(shè)置重復(fù) 則無法把SSAB與SSe分開 這樣將無法進(jìn)行任何統(tǒng)計檢驗 因此在固定模型中有交互作用時 不設(shè)置重復(fù)的試驗是無意義時 對固定模型來說 結(jié)論只能適用于參加實驗的幾個水平 不能任意推廣到其他水平上去 幾點注意事項 二 平方和與自由度的分解 P179 三 檢驗統(tǒng)計量的計算在各種模型中 要特別注意統(tǒng)計量F的計算一定要根據(jù)因素的性質(zhì)來決定 對于固定因素主效應(yīng)做檢驗時用隨機(jī)模型 對隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗時用固定模型 四 各均方的數(shù)學(xué)期望 由于FAB 1 為提高檢驗精度 可將SSAB與SSe合并 查表 得 F0 95 2 22 3 44 F0 99 2 22 5 72 由于FA 12 77 F0 99 2 22 FB 14 21 F0 99 2 22 因此兩因素 飲料與窩別 的主效應(yīng)均達(dá)極顯著水平 交互效應(yīng)顯然不顯著 四 方差分析的規(guī)律總結(jié)一 假設(shè) 1 對于固定效應(yīng)A的假設(shè) 2 對于隨機(jī)效應(yīng)B的假設(shè) 二 平方和與自由度的分解平方和的分解根據(jù)線性統(tǒng)計模型計算自由度的分解規(guī)律如下 每一組因素主效應(yīng)的自由度為該因素的水平減1 每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因素的自由度的乘積 誤差自由度是各因素水平與重復(fù)數(shù)減1的乘積 三 均方期望的推演方法 一 對均方期望做規(guī)律性規(guī)定方差分析中均方數(shù)學(xué)期望的推導(dǎo)是選擇合適檢驗統(tǒng)計量的前提 以多因素實驗為例 均方期望的規(guī)律性做如下規(guī)定 1 下標(biāo) 中的下標(biāo)寫為 括號中的ijk為不同處理水平組合的下標(biāo) 稱為 活下標(biāo) 括號外的l和其他方差分量中的下標(biāo)均稱為 活下標(biāo) 2 固定模型中各因素的效應(yīng)分別改模型分量的平方和除以自由度表示 如A因素的效用表示 3 隨機(jī)模型中各因素的效應(yīng)分別以希臘字母為下標(biāo)的方差表示 如A因素的效應(yīng)記為 B因素的效應(yīng)記為 AB交互作用的效應(yīng)記為 以上各量分別稱為各因素的方差分量 4 混合模型中 交互作用的兩個因素只要有一個是隨機(jī)的 則交互作用即被認(rèn)為是隨機(jī)的 兩因素的交互效應(yīng)記為5 不論哪一種模型 誤差的方差均記為 四 檢驗統(tǒng)計量的計算檢驗統(tǒng)計量F要根據(jù)各均方期望的構(gòu)成來決定 它的規(guī)律是為了得到檢驗的某個效應(yīng)的統(tǒng)計量 在計算F時 分子均方的組成比分母均方的組成多出了欲檢驗的效應(yīng) 固定因素 或方差 隨機(jī)因素 分量 除此之外 其他成分完全相同 對固定因素主效應(yīng)做檢驗時用隨機(jī)模型 對隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗時用固定模型