雙因素和多因素方差分析.ppt

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第九章雙因素和多因素方差分析 學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握 兩因素交叉分組 有重復(fù)觀察值 無(wú)重復(fù)觀察值 資料的方差分析方法 熟悉 多因素試驗(yàn)線性模型和不同變異來(lái)源期望均方構(gòu)成 了解 缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)原理及方差分析方法 講授內(nèi)容 第一節(jié)雙因素方差分析概述第二節(jié)不同實(shí)驗(yàn)類(lèi)型的雙因素方差分析第三節(jié)多因素試驗(yàn)的方差分析第四節(jié)缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)第五節(jié)數(shù)據(jù)變換 第一節(jié)雙因素方差分析概述 一 雙因素試驗(yàn)匯中的幾個(gè)基本概念1 主效應(yīng) maineffect 各實(shí)驗(yàn)因素相對(duì)獨(dú)立的效應(yīng) 該效應(yīng)水平的改變會(huì)造成因素效應(yīng)的改變 如包裝方式對(duì)果汁銷(xiāo)售量的影響 2 互作效應(yīng) interaction 兩個(gè)或多個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng) 3 無(wú)交互作用的雙因素方差分析或無(wú)重復(fù)雙因素方差分析 Two factorwithoutreplication 兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果 兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響 4 有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 Two factorwithreplication 如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外 兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響 二 雙因素交叉分組試驗(yàn)設(shè)計(jì)的描述 一 雙因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述 二 觀測(cè)值的描述 三 平方和與自由度的分解 四 平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式 五 各項(xiàng)均方的計(jì)算 一 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述 二 觀測(cè)值的描述 對(duì)于上表中的每一個(gè)觀測(cè)值可用線性統(tǒng)計(jì)模型描述 三 平方和與自由度的分解 1 平方和的分解總平方和SST被分解為A因素所引起的平方和SSA B因素所引起的平方和SSB AB交互作用所引起的平方和SSAB 誤差平方和SSe A因素誤差平方和B因素誤差平方和AB交互作用誤差平方和隨機(jī)誤差項(xiàng)平方和 2 平方和的分解與平方和相應(yīng)的自由度分別為 總自由度 dfT abn 1A因素處理間自由度 dfA a 1B因素處理間自由度 dfB b 1交互作用自由度 dfAB a 1 b 1 處理內(nèi)自由度 dfe ab n 1 dfT dfA dfB dfAB dfe 四 平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算方式 五 各項(xiàng)均方的計(jì)算 第二節(jié)不同實(shí)驗(yàn)類(lèi)型的雙因素方差分析 一 固定模型 一 重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的雙因素方差分析1 觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型2 提出假設(shè) 3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算在F檢驗(yàn)時(shí) A因素 B因素和互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母 FA MSA MSeFB MSB MSeFAB MSAB MSe用F分布的上尾檢驗(yàn) 拒絕域?yàn)镕 F 4 均方期望 二 無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的雙因素方差分析1 觀測(cè)值的描述2 提出假設(shè) 3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算在F檢驗(yàn)時(shí) A因素 B因素的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母FA MSA MSeFB MSB MSe用F分布的上尾檢驗(yàn) 拒絕域?yàn)镕 F 三 交互作用的判斷 Tukey提供的方法進(jìn)行因素間是否存在交互作用的判斷P150 二 隨機(jī)模型1 觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型2 提出假設(shè) 3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算在F檢驗(yàn)時(shí) A因素 B因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是以MSAB做分母 互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以MSe做分母FA MSA MSABFB MSB MABFAB MSAB MSe用F分布的上尾檢驗(yàn) 拒絕域?yàn)镕 F 注意 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分母與統(tǒng)計(jì)量的第二自由度與固定效應(yīng)不同 4 均方期望 三 混合模型 以A為固定因素 B為隨機(jī)因素為例 在混合模型中 A B因素的效應(yīng)為非可加性 為固定效應(yīng) 為隨機(jī)效應(yīng)對(duì)A做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型 對(duì)B及AB交互效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型 P177 例1 隨機(jī)選擇4個(gè)小麥品種 施以三種肥料 小區(qū)產(chǎn)量列于下表 該問(wèn)題屬于哪種模型 從方差分析的結(jié)果可得出什么結(jié)論 題解 解 本題影響產(chǎn)量的因素包括肥料種類(lèi)和小麥品種 該問(wèn)題屬于混合模型中無(wú)重復(fù)的兩因素分組交叉分析 小麥品種間差異極顯著 肥料間無(wú)顯著差異 例2 用兩種不同的飼料添加劑A和B 以不同比例搭配飼養(yǎng)大白鼠 每一種飼料添加劑取4個(gè)水平 每一處理設(shè)兩個(gè)重復(fù) 大白鼠增重結(jié)果列于下表 請(qǐng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 并回答下列問(wèn)題 該實(shí)驗(yàn)有可能屬于哪幾種模型 前提是什么 如果認(rèn)為是隨機(jī)模型 設(shè)置重復(fù)與不設(shè)重復(fù)對(duì)分析結(jié)果有無(wú)影響 若實(shí)驗(yàn)本身是固定模型 但分析時(shí)誤認(rèn)為隨機(jī)模型 對(duì)結(jié)論有何影響 若不設(shè)重復(fù) 又有何影響 題解 1 該實(shí)驗(yàn)可能屬于固定模型 隨機(jī)模型 混合模型 取決于添加劑本身的性質(zhì) 即添加劑的效果能否嚴(yán)格重復(fù) 2 分析 固定模型下 查F分布表 所以FA FB FC均達(dá)極顯著 所以大白鼠增重與添加劑A B及其交互作用都有顯著關(guān)系 隨機(jī)模型下 查F分布表 FA顯著但未達(dá)極顯著 FB不顯著 FAB極顯著 所以大白鼠增重與A AB的交互作用有顯著關(guān)系 綜合上面可知 隨機(jī)模型和固定模型對(duì)主效應(yīng)的認(rèn)識(shí)不同 若不設(shè)重復(fù) 對(duì)固定模型 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行 第三節(jié)多因素試驗(yàn)的方差分析 一 觀測(cè)值的描述假設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中 A因素有a個(gè)水平 B因素有b個(gè)水平 C因素有c個(gè)水平 每個(gè)因素有n次重復(fù) 那么觀測(cè)值的線性統(tǒng)計(jì)模型為 A3 B1 A3 B1 a 無(wú)交互效應(yīng) b 有交互效應(yīng) 圖中每條曲線代表B因素的一個(gè)水平 若各曲線平行或近似平行 可認(rèn)為無(wú)交互效應(yīng) 否則為有交互效應(yīng) 以上只是一種直觀的判斷 在多因素方差分析的過(guò)程中 我們對(duì)交互作用的有無(wú)也可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 交互效應(yīng) H01 i 0 i 1 2 aH02 j 0 j 1 2 bH03 ij 0 i 1 2 a j 1 2 b備擇假設(shè)為 HA 上述各參數(shù)中至少有一個(gè)不為0 這實(shí)際上是三個(gè)備擇假設(shè) 零假設(shè) 方差分析的基本思想仍是總變差分解 即 SST SSA SSB SSAB SSe自由度 abn 1a 1b 1 a 1 b 1 ab n 1 總變差分解 均方數(shù)學(xué)期望 檢驗(yàn)兩個(gè)主效應(yīng)及一個(gè)交互效應(yīng)的下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中 分母全部采用MSe即可 檢驗(yàn)H01 H02 H03的統(tǒng)計(jì)量分別為 檢驗(yàn)H01 H02 H03的統(tǒng)計(jì)量 從前述的各均方期望可知 只有當(dāng)各H0成立時(shí) 上述三個(gè)分子才是 2的無(wú)偏估計(jì)量 此時(shí)各統(tǒng)計(jì)量均服從F分布 若某個(gè)H0不成立 則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢(shì) 從而使對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量也有偏大的趨勢(shì) 因此可用F分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn) 各效應(yīng)的估計(jì)值 其中i 1 2 a j 1 2 b 計(jì)算公式 計(jì)算排列如下表 表中最下一行是各列的平均 最右一列是各行的平均 計(jì)算步驟 方差分析表 把計(jì)算所得結(jié)果填入上表后 再根據(jù)各F統(tǒng)計(jì)量的自由度查出其F0 95及F0 99分位數(shù) 并將F計(jì)算值與相應(yīng)分位數(shù)相比 大于F0 95則在統(tǒng)計(jì)量F右上角標(biāo)一個(gè) 號(hào) 大于F0 99則再加一個(gè) 號(hào) 最后用一句話對(duì)上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié) 即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平 哪些不顯著 F測(cè)驗(yàn) 如果MSAB小于或約等于MSe 即FAB小于或約等于1 說(shuō)明此時(shí)交互作用不存在 在這種情況下也可把MSAB和MSe合并在一起 即把平方和和自由度都合并 作為 2的估計(jì)量 這樣可以提高檢驗(yàn)的精確度 具體計(jì)算公式如下 交互作用不存在 然后可用作統(tǒng)計(jì)量FA和FB的分母 對(duì)兩個(gè)主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 注意查表時(shí)分母自由度要相應(yīng)改變 例3選擇最適發(fā)酵條件 本題中顯然溫度是一個(gè)因素 原料種類(lèi)是另一個(gè)因素 這兩個(gè)因素各有三個(gè)水平 由于它們的影響都是可控制 可重復(fù)的 因此都是固定因素 在同樣溫度 原料下所做的幾次實(shí)驗(yàn)應(yīng)視為重復(fù) 它們之間的差異是由隨機(jī)誤差所造成的 固定因素 各處理平均數(shù) 發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表 查F分布表 得 F0 95 2 27 F0 95 2 30 3 316 F0 99 2 27 F0 99 2 30 5 390 F0 95 4 27 F0 95 4 30 2 690 F0 99 4 27 F0 99 4 30 4 018 FA FB均達(dá)極顯著 標(biāo)上 FAB只達(dá)顯著 標(biāo)上 因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著 與它們的交互作用也有顯著關(guān)系 即對(duì)不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵溫度 F測(cè)驗(yàn) 在固定效應(yīng)模型中 若各F統(tǒng)計(jì)量有達(dá)到顯著或極顯著水平時(shí) 常常還需要在各處理間進(jìn)行多重比較 以選出所需要的條件組合 各處理間進(jìn)行多重比較 如果有交互作用存在 則一般需要把所有ab個(gè)水平組合放在一起比 比較的方法仍與單因素方差分析相同 最常用Duncan法 當(dāng)交互作用存在時(shí) 對(duì)固定模型若不設(shè)置重復(fù) 則無(wú)法把SSAB與SSe分開(kāi) 這樣將無(wú)法進(jìn)行任何統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 因此在固定模型中有交互作用時(shí) 不設(shè)置重復(fù)的試驗(yàn)是無(wú)意義時(shí) 對(duì)固定模型來(lái)說(shuō) 結(jié)論只能適用于參加實(shí)驗(yàn)的幾個(gè)水平 不能任意推廣到其他水平上去 幾點(diǎn)注意事項(xiàng) 二 平方和與自由度的分解 P179 三 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算在各種模型中 要特別注意統(tǒng)計(jì)量F的計(jì)算一定要根據(jù)因素的性質(zhì)來(lái)決定 對(duì)于固定因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型 對(duì)隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型 四 各均方的數(shù)學(xué)期望 由于FAB 1 為提高檢驗(yàn)精度 可將SSAB與SSe合并 查表 得 F0 95 2 22 3 44 F0 99 2 22 5 72 由于FA 12 77 F0 99 2 22 FB 14 21 F0 99 2 22 因此兩因素 飲料與窩別 的主效應(yīng)均達(dá)極顯著水平 交互效應(yīng)顯然不顯著 四 方差分析的規(guī)律總結(jié)一 假設(shè) 1 對(duì)于固定效應(yīng)A的假設(shè) 2 對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)B的假設(shè) 二 平方和與自由度的分解平方和的分解根據(jù)線性統(tǒng)計(jì)模型計(jì)算自由度的分解規(guī)律如下 每一組因素主效應(yīng)的自由度為該因素的水平減1 每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因素的自由度的乘積 誤差自由度是各因素水平與重復(fù)數(shù)減1的乘積 三 均方期望的推演方法 一 對(duì)均方期望做規(guī)律性規(guī)定方差分析中均方數(shù)學(xué)期望的推導(dǎo)是選擇合適檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的前提 以多因素實(shí)驗(yàn)為例 均方期望的規(guī)律性做如下規(guī)定 1 下標(biāo) 中的下標(biāo)寫(xiě)為 括號(hào)中的ijk為不同處理水平組合的下標(biāo) 稱(chēng)為 活下標(biāo) 括號(hào)外的l和其他方差分量中的下標(biāo)均稱(chēng)為 活下標(biāo) 2 固定模型中各因素的效應(yīng)分別改模型分量的平方和除以自由度表示 如A因素的效用表示 3 隨機(jī)模型中各因素的效應(yīng)分別以希臘字母為下標(biāo)的方差表示 如A因素的效應(yīng)記為 B因素的效應(yīng)記為 AB交互作用的效應(yīng)記為 以上各量分別稱(chēng)為各因素的方差分量 4 混合模型中 交互作用的兩個(gè)因素只要有一個(gè)是隨機(jī)的 則交互作用即被認(rèn)為是隨機(jī)的 兩因素的交互效應(yīng)記為5 不論哪一種模型 誤差的方差均記為 四 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F要根據(jù)各均方期望的構(gòu)成來(lái)決定 它的規(guī)律是為了得到檢驗(yàn)的某個(gè)效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 在計(jì)算F時(shí) 分子均方的組成比分母均方的組成多出了欲檢驗(yàn)的效應(yīng) 固定因素 或方差 隨機(jī)因素 分量 除此之外 其他成分完全相同 對(duì)固定因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型 對(duì)隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型