系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì).ppt

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Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 3 1Introduction概述3 1 1WhatistheModelofDynamicSystem 什么是模型 Theorymodelandexperimentmodel理論模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚆odelingfromTheoryandAnalysis educesystemmodelaccordingtophysical chemicalorothernaturalrules 理論 分析 建模 根據(jù)已知的物理 化學(xué)規(guī)律推導(dǎo)Inpractice TheoryModelingisnoteasy 現(xiàn)實(shí)中理論建模存在困難ExperimentModeling Fitthemodeltoexperimentaldataaccordingtoanoptimizedcriterion 實(shí)驗(yàn)建模 按一定準(zhǔn)則的數(shù)據(jù)擬和Experimentmodel holisticapproach complementedbytheorymodel實(shí)驗(yàn)建模的特點(diǎn) 整體性 可用機(jī)理模型彌補(bǔ) 互補(bǔ) Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)2 3 1 2SystemIdentificationandParameterEstimation系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)SystemIdentification istheexperimentalapproachtoprocessmodeling andthemodelingmethodforidentificationofdynamicalsystemsfrominput outputdata whichconfirmamodelinasetofmodelsthatpresentsthedynamiccharacteristicsofthesystemunderanoptimizedcriterion 系統(tǒng)辨識(shí) 根據(jù)系統(tǒng)的輸入 輸出數(shù)據(jù) 從一類模型中確定出一個(gè)在某中意義下最能代表該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 Threeessentials aninput outputdada asetofmodels andanoptimizedcriterion三個(gè)要素 輸入 輸出數(shù)據(jù) 模型集 最優(yōu)準(zhǔn)則ParameterEstimation asimplifiedsystemidentificationproblemwhenthemodelstructureisknown onlyitsparametersisunknown 參數(shù)估計(jì) 結(jié)構(gòu)已知 參數(shù)未知時(shí) 系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題的簡(jiǎn)化 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)3 3 1 3DevelopmentofSystemIdentification系統(tǒng)辨識(shí)的發(fā)展ModernControlTheoryisbasedonknownamathematicmodelofdynamicprocess 現(xiàn)代控制理論建立在數(shù)學(xué)模型已知的前提下TheobstacleusingModernControlTheoryinpractice Itisnoteasytoobtainamathematicmodelofdynamicprocess thusthetheorydeviatesfromthepractice 實(shí)際應(yīng)用中的障礙 數(shù)學(xué)模型并不容易獲得 造成理論與實(shí)際脫節(jié)SystemIdentificationandParameterEstimationjustfillupthisgapbetweenthetheoryandthepractice 系統(tǒng)辨識(shí) 參數(shù)估計(jì)正是為了彌合這一差距 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)4 3 1 4Systemidentificationincludesthefollowingsteps系統(tǒng)辨識(shí)的步驟Experimentdesign Itspurposeistoobtaingoodexperimentaldata itincludesthechoiceofthemeasuredvariablesandofthecharacteroftheinputsignals 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 如何獲取盡可能多的信息 包括檢測(cè)信號(hào)和輸入信號(hào)的選取 Selectionofmodelstructure Asuitablemodelstructureischosenusingpriorknowledgeandtrialanderror 模型結(jié)構(gòu) 根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)和試湊確定模型的結(jié)構(gòu) Choiceofthecriteriontofit Asuitablecostfunctionischosen whichreflectshowwellthemodelfitstheexperimentaldata 最優(yōu)準(zhǔn)則 選擇能反應(yīng)模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合程度的目標(biāo)函數(shù) Parameterestimation Anoptimizationproblemissolvedtoobtainthenumericalvaluesofthemodelparameters 參數(shù)估計(jì) 得到模型參數(shù)數(shù)值解的優(yōu)化問(wèn)題 Modelvalidation Themodelistestedinordertorevealanyinadequacies 校驗(yàn)與確認(rèn) 測(cè)試模型以發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)5 3 1 5Systemidentificationmethods系統(tǒng)辨識(shí)的方法Method Therearemanysystemidentificationmethods buttheleastsquaresestimationisusedmostfrequently 方法 有多種方法 其中最小二乘法最常用 Off lineidentification completeestimationonetimebasedonthedatasetinalongperiod 離線辨識(shí) 將一定時(shí)間內(nèi)積累的采樣數(shù)據(jù)集中進(jìn)行一次辨識(shí)計(jì)算 On lineidentification completerecursiveestimationonetimebasedonnewdataineverysamplinginterval Itisabletodecreasecalculatingtimespendingandmemoryoccupancy andeasytofindoutsystemactuality 在線辨識(shí) 每個(gè)采樣周期都根據(jù)新的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行一次遞推辨識(shí)計(jì)算 節(jié)省計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存空間 便于及時(shí)掌握系統(tǒng)現(xiàn)狀 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)6 3 2LinearDifferenceEquationModel線性差分方程模型3 2 1DifferenceequationmodeloflinearconstantSISOsystem線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)的差分方程模型 3 1 Here其中 3 2 3 3 3 2 2Themodelofnoise噪聲模型Randomvariable隨機(jī)變量xMathematicdescription probabilitydensityfunction數(shù)學(xué)描述 概率密度函數(shù) Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)7 Mathematicalexpectationofrandomvariable數(shù)學(xué)期望 均值 E x Varianceofrandomvariable方差 二階中心距 D x 3 4 2 Steadyrandomsequence Statisticalcharacterisindependentoftime平穩(wěn)隨機(jī)序列 各個(gè)時(shí)刻隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征相同 即統(tǒng)計(jì)特征與時(shí)間無(wú)關(guān) 3 Whitenoise isanindependentsteadyrandomsequence Randomvariableisindependentoftime andcanbedescribedbyE x andD x 白噪聲 獨(dú)立平穩(wěn)隨機(jī)序列 各個(gè)時(shí)刻隨機(jī)變量獨(dú)立 可由均值和方差兩個(gè)特征描述 均值 0 方差 2 常數(shù) 因?yàn)槠涔β首V密度在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為常數(shù) 類似白光的光譜 故稱為白噪聲 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)8 4 Non whitenoise isformedwhenwhitenoisegoesthroughalinearfilter 非白噪聲 白噪聲經(jīng)過(guò)一線性濾波器后形成非白噪聲Movingaveragemodel滑動(dòng)平均 MA 模型 3 5 3 6 isawhitenoisesequence為白噪聲序列Autoregressivemodel自回歸 AR 模型 3 7 Autoregressivemovingaveragemodel自回歸滑動(dòng)平均 ARMA 模型 3 8 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)9 3 2 3MathematicalModeloftheprocesswithrandomdisturbance受隨機(jī)干擾的過(guò)程數(shù)學(xué)模型 CARMA 3 9 Inotherform可改寫為 3 10 Here A B Cisdifferentfrom 3 9 此時(shí) A B C均不同于 3 9 CARMAmodelisbasedonfollowinghypothesis thedisturbanceisaanindependentsteadyrandomsequencewithzeromeansandrationalspectraldensity CARMA模型是基于下述假設(shè) 干擾為具有有理譜密度的零均值平穩(wěn)序列 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)10 Fig3 1CARMAmodel圖3 1CARMA模型Atanytime themodeloutputy k islinearwithunknownparameterai bi ci diandthemodelerroristhewhitenoiseatthistime whenpreviousinput outputandnoiseandinputatthistimeareknown 在任意時(shí)刻 只要已知該時(shí)刻及其之前的輸入 在任意時(shí)刻 只要已知該時(shí)刻之前的輸出 噪聲 則模型輸出y k 與未知參數(shù)ai bi ci di成線性關(guān)系 且誤差為該時(shí)刻的白噪聲 3 3LeastSquaresEstimationofLinearDifferenceEquationModel線性差分方程模型的最小二乘法3 3 1TheprincipleofLeastSquaresEstimation LSE 最小二乘法原理Afterthesquaredifferenceofmodeloutputandobservationvalueismultipliedbyprecisionmeasurement theresultshouldbeleast 一個(gè)數(shù)學(xué)模型的未知參數(shù)應(yīng)按下述原則進(jìn)行選擇 各實(shí)測(cè)值與模型計(jì)算值之差的平方乘以度量其精度的數(shù)值后 所得的和值應(yīng)最小 Example 3 12 y t observationvalue觀測(cè)值 thevectorofunknownparameters未知參數(shù)向量 observableorknownfunctiondependedonothervariables由其它變量決定的已知函數(shù)或可觀測(cè)的 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)11 Thecoupleobservationvaluecanbegetbyexperiments 成對(duì)的觀測(cè)值可以由試驗(yàn)得到 Example3 1Model模型observationvalue實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)ThenLSEistosolvetheestimationvalueofunknownparameteraandbwiththeleasterrorfunction最小二乘法估計(jì)就是以最小為目標(biāo)函數(shù)由方程組求未知參數(shù)a b的估計(jì)值 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)12 Whenweestimateparameters 3 12 isrewriteasfollows 參數(shù)估計(jì)時(shí) 3 12 可以改寫為Weassumeremnanterror引入殘差A(yù)nd且Leastsquareerrorcanbedefinedasfollows 最小二乘誤差可表示為 3 13 Here 式中 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)13 Whenisinexistence wehaveandisanexactsolutionoftheparametervector 當(dāng)存在時(shí) 此時(shí)參數(shù)向量的解是精確的 Theorem3 1 Leastsquaresestimation 定理3 1 最小二乘估計(jì) Theparameterissatisfiedwith whichletLeastsquareerror 3 13 isminimum Ifthematrixisanonsingularmatrix thisminimumisuniqueand使最小二乘誤差 3 13 式最小的參數(shù)滿足 如果矩陣非奇異 則此最小值是唯一的 由下式給出 證明 From 3 13 3 15 Thematrixisnon negativelydefinite thenVmustbegettheminimum 由于矩陣非負(fù)定 等價(jià)于非奇異 所以V有一最小值 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)14 At let then 當(dāng)時(shí) 即 3 16 Whenisinexistence wehave 只要存在 即有 3 17 Example3 2 LeastsquaresestimationofExample3 1例3 1的最小二乘估計(jì)Theobservationvaluecanbeformedadatavectorasfollows 原實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以構(gòu)成如下數(shù)據(jù)向量 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)15 Infact leastsquaresestimationcanbeusedwhenexperimentdataisfittedbyamodel whichisinalinearrecursiveform 實(shí)際上 只要是用一個(gè)模型來(lái)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 而該模型又可以寫成線性回歸形式 就可以用最小二乘法求解 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)16 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)17 3 3 2LeastSquaresEstimation LSE ofARMAModelParameters最小二乘估計(jì) 3 18 Rewriteitindifferenceequation 寫成差分方程 3 19 Thatis 即 3 20 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)18 Supposena nb n WemeasureNtimes setk n 1 n 2 n N 假定na nb n 進(jìn)行N次測(cè)量 令k n 1 n 2 n N 則Rewriteitinmatrixequation 寫成矩陣形式 3 21 Here 式中 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)19 Theleastsquaresestimationis 最小二乘估計(jì)為 3 3 3StatisticalCharacteristicsofLeastSquaresEstimation LSE 最小二乘估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性UnbiasedEstimation AnestimatoriscalledunbiasedEstimatorifitsmathematicalexpectationisequaloftherealvalueoftheestimatedvariable 無(wú)偏性 稱某一估計(jì)是一個(gè)無(wú)偏的估計(jì) 它的數(shù)學(xué)期望應(yīng)等于被估計(jì)量的真值 InLSE Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)20 Thenitsmathematicalexpectation 兩邊取數(shù)學(xué)期望 Wheniswhitenoise therightseconditemiszero EfficientEstimation ForaunbiasedEstimation itiscalledEfficientEstimationifthevarianceofanyotherestimatorisbiggerthanits 有效性 對(duì)無(wú)偏估計(jì)而言 一個(gè)估計(jì)算法稱為有效的算法 就是任一種其它算法所得到的估計(jì)的方差都要比有效算法所得到的估計(jì)的方差大 即方差最小 InLSE Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)21 Wheniswhitenoise ConsistentEstimation AnEstimationiscalledConsistentEstimation iftheEstimationisconvergedatitsactualvaluewith100 probabilitywhensampleamountNisincreasedinfinitely 一致性 當(dāng)樣本N無(wú)限增大時(shí) 估計(jì)值以概率1收斂于真值 則這樣的估計(jì)稱為一致性估計(jì) 當(dāng)N很大時(shí) 一致性估計(jì)總是無(wú)偏的 但逆定理不成立 InLSE Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)22 Conclusion Whentheequationerroriswhitenoise LeastSquaresEstimationisaNon biased EfficientandConsistentEstimation結(jié)論 在方程誤差為白噪聲的條件下 用最小二乘法估計(jì)參數(shù)所得到的參數(shù)的最小二乘估計(jì)是無(wú)偏的 有效的和一致的 3 4RecursiveLeastSquaresEstimation RLSE 遞推最小二乘估計(jì)3 4 1WhyweneedRLSE為什么需要遞推最小二乘估計(jì)BatchAlgorithm calculateonceineverysamplingperiod成批處理算法 每增加一次測(cè)量 根據(jù)所得到的測(cè)量數(shù)據(jù) 觀測(cè)矩陣及偽逆都要重新計(jì)算一遍 Morecalculatingspending隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)增加 要求存儲(chǔ)容量將不斷增大 且由于存在矩陣求逆運(yùn)算 計(jì)算時(shí)間也不斷增加 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)23 3 4 2PrincipleofRLSE遞推最小二乘估計(jì)基本原理Assumeinput outputdataattimekareknown wecanestimateparameters 設(shè)k時(shí)刻已獲得輸出 輸入數(shù)據(jù) 并由此獲得參數(shù)的估計(jì)值測(cè)量 Attimek 1而對(duì)于k 1時(shí)刻 有Canbecalculatedfromattimekandconsistedofnewdata 于是提出 是否可以根據(jù)上一步的和由新增加數(shù)據(jù) Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)24 3 4 3RecursiveFormulaofRLSE遞推公式Lemma3 1引理3 1AssumeA B CandDarematrixwithrespectiveproperdimension wehave 設(shè)A B C D是適當(dāng)維數(shù)的矩陣 3 22 Prove 證明 Twosidesaremultipliedbyfromright Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)25 Attimek 在k時(shí)刻 3 23 Inwhich Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)26 Attimek 1 在k 1時(shí)刻 3 24 Inwhich Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)27 Attimek 在k時(shí)刻 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)28 AccordingtoLemma3 1 根據(jù)引理3 1 3 27 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)29 Take 3 27 intoaboveexpression 將 3 27 式代入上式得 Simplifytheexpressioninthebigbracketinaboveexpression上式大括號(hào)中的兩項(xiàng)可以簡(jiǎn)化為 3 28 3 27 and 3 28 aretherecursiveformulaofRLSE 3 27 與 3 28 就是最小二乘估計(jì)的遞推公式 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)30 Estimationattimek 1isequaltotheestimationattimekplusarevisedquantity Therevisedquantityisconsistedofthreeparts 容易看出 k 1時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值等于k時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值加上一個(gè)修正量 該修正量包括三個(gè)部分 乘積 PartOne ErrorofPrediction第一部分 預(yù)報(bào)誤差是k 1時(shí)刻新接收到輸出值 實(shí)測(cè)值 與的乘積則表示用k時(shí)刻得到的參數(shù)預(yù)報(bào)出的k 1時(shí)刻的輸出 模型值 如果預(yù)報(bào)與實(shí)測(cè)相等 說(shuō)明k時(shí)刻所估計(jì)的參數(shù)就是參數(shù)的真值 不用再做修正 即表現(xiàn)為 3 28 式最后一項(xiàng)為0 即 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)31 PartTwo GainFactor第二部分 增益因子 3 29 注意 它是一個(gè)標(biāo)量 因此省掉了費(fèi)時(shí)的矩陣求逆運(yùn)算 計(jì)算效率大大提高 增益因子與預(yù)報(bào)誤差的乘積確定出有多少輸出誤差需要經(jīng)過(guò)修正參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn) 至于哪一個(gè)參數(shù)調(diào)整多少需有第三部分 即加權(quán)系數(shù)來(lái)決定 PartThree WeighingCoefficient第三部分 加權(quán)系數(shù)iscalledthecovariancematrixofestimation whichisassociatedwithcovarianceof andisameasureofestimatingaccuracy 的物理意義 與參數(shù)估計(jì)值的協(xié)方差存在著聯(lián)系 是參數(shù)估計(jì)精確程度的一種度量 通常稱為參數(shù)估計(jì)的協(xié)方差陣 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)32 當(dāng)k趨向于無(wú)窮時(shí) 趨向于0 Infact thevalueofwillbeverysmallafterestimatinglessthanahundredperiodsifanestimationalgorithmhasgoodconvergence 事實(shí)上 如果算法有良好的收斂性 遞推估計(jì)幾十步之后 的值已很小了 注意 每一時(shí)刻都要更新 是一個(gè)方陣 2n 1維 同參數(shù)個(gè)數(shù) 而則是2n 1維的列向量 與參數(shù)個(gè)數(shù)一致 表示給每個(gè)參數(shù)的調(diào)整加一定的權(quán) 每個(gè)參數(shù)每次調(diào)整的權(quán)不一定相同 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)33 綜上所述 遞推最小二乘估計(jì)公式的物理意義就是 Basedonpreviousparameterestimationandnewsampledata continuousrecursivecalculatingcanbeimplementedbythepredictionerrortimesweighingfactorwithdifferentextenttoeveryparameter Parameterestimationwillbeavailableifaconvergedalgorithmisused 根據(jù)最新得到的數(shù)據(jù) 在原有參數(shù)估計(jì)值的基礎(chǔ)上 對(duì)預(yù)報(bào)誤差乘上加權(quán)增益因子 不同程度的修正每個(gè)參數(shù) 這樣不斷的遞推更新 只要算法是收斂的 就一定能得到合乎要求的估計(jì)參數(shù) 遞推最小二乘估計(jì)的公式可整理為 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)34 3 4 4RecursiveCalculationofRLSE遞推計(jì)算過(guò)程Formthedatavector由k 1時(shí)刻的觀測(cè)值以及前2n個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)值形成向量 數(shù)據(jù)向量 2n 1維 與參數(shù)個(gè)數(shù)一致 Calculatingfrom 3 30 由 3 30 式 用及計(jì)算Calculatingfrom 3 31 由 3 31 式計(jì)算Calculatingfrom 3 32 由 3 32 式計(jì)算協(xié)方差矩陣 為下一步遞推計(jì)算作準(zhǔn)備 Returntostep1andcontinueuntilparameterestimationisconverged 回到第一步 直到參數(shù)收斂 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)35 Howtochoicetheinitialvalueof forrecursivecalculation 遞推初值的選擇FromtheinitialNcouplesdata取最初N組數(shù)據(jù) 即N個(gè)數(shù)據(jù)向量和對(duì)應(yīng)的 對(duì)參數(shù)進(jìn)行成批處理的最小二乘估計(jì) 以此作為起始值 從N 1時(shí)刻進(jìn)行遞推計(jì)算 取為0或任意值 其中為充分大的實(shí)數(shù) 為單位陣 特點(diǎn) 方法一 初始值比較精確 開(kāi)始遞推就可獲得較好的估計(jì)值 缺點(diǎn)是運(yùn)算量大 方法二 簡(jiǎn)單 便于應(yīng)用 但遞推的最初幾步參數(shù)估計(jì)的誤差較大 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)36 3 5Real timeRecursiveEstimationofSlowTime VaryingParameters慢時(shí)變參數(shù)的實(shí)時(shí)遞推估計(jì)3 5 1Introductiontotheproblem問(wèn)題的提出InLSE everyobservationvaluecontributesequablytotheestimation 最小二乘估計(jì)的一個(gè)特點(diǎn) 參數(shù)估計(jì)算法對(duì)所有觀測(cè)數(shù)據(jù)是同等看待的 或者說(shuō)所有觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)提供的信息是同等重要的 Whentheparameteristime varying Thatisunreasonable 當(dāng)被估計(jì)參數(shù)是未知常數(shù)時(shí) 這樣處理是合理的 但當(dāng)對(duì)象參數(shù)時(shí)變 或當(dāng)作某一非線性系統(tǒng)的局部近似 隨著時(shí)間變化或工作點(diǎn)變化 模型參數(shù)也發(fā)生變化 一句話參數(shù)在不斷變化 這種新舊數(shù)據(jù)一視同仁的方法就不適合了 Laterthedataare moretheyshouldcontributetotheestimation這是因?yàn)橄到y(tǒng)不斷變化 那么越新的數(shù)據(jù)就越能反映當(dāng)前系統(tǒng)的特性和信息 所以新舊數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)所提供的信息應(yīng)是有區(qū)別的 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)37 Asaon lineestimationalgorithm RLSEisnotsatisfyinginfollowingparameterchange 遞推最小二乘估計(jì)是一種在線算法 在線估計(jì)的一個(gè)重要的功能就是跟蹤被估計(jì)參數(shù)的變化 而一般最小二乘遞推估計(jì)算法正是缺少這種功能 實(shí)用性不足 Filteringsaturation濾波飽和問(wèn)題 總是設(shè)置成正定陣 也總是非負(fù)定的 也是非負(fù)定的 且這意味著隨著遞推次數(shù)增加 越來(lái)越小 的減小 使修正項(xiàng)的調(diào)整值也越來(lái)越小 最后趨向于0 這時(shí)新得到的測(cè)量數(shù)據(jù)將不再對(duì)估計(jì)參數(shù)起任何修正作用 這種現(xiàn)象稱為濾波飽和 當(dāng)被估計(jì)參數(shù)時(shí)變時(shí) 濾波飽和現(xiàn)象使估計(jì)參數(shù)不能跟蹤參數(shù)的變化 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)38 3 5 2WeighingLeastSquaresEstimation WLSE 加權(quán)最小二乘估計(jì)Howtorevise改進(jìn)的思路Enlargethecontributionoflaterobservationvaluetotheestimation 增加新測(cè)的數(shù)據(jù)的作用 相對(duì)的減小陳舊數(shù)據(jù)的影響 使估計(jì)算法隨著數(shù)據(jù)的累積 更多的依靠當(dāng)前數(shù)據(jù) 而將老數(shù)據(jù)逐漸的遺忘 從而更好的適應(yīng)參數(shù)的變化 Choiceaproperweighingmatrix問(wèn)題歸結(jié)為選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)募訖?quán)陣 權(quán)的大小與時(shí)間有關(guān) 越接近當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)所加的權(quán)越大 越陳舊的數(shù)據(jù)所加的權(quán)越小 Exponentweighingtoestimationerrorintheoptimizedcriterion為此 在目標(biāo)函數(shù)中對(duì)殘差進(jìn)行指數(shù)加權(quán) 3 33 式中0 稱為遺忘因子 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)39 Weighingofthesquareofestimationerrorincreasescorrespondingthetime withexponentialfunction 殘差的平方加權(quán)隨時(shí)間的加大 按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng) 越小 新數(shù)據(jù)起的作用越大 舊數(shù)據(jù)的影響越小 參數(shù)跟蹤能力越強(qiáng) 但噪聲的影響也越大 不能太小 越大 起的作用相反 時(shí) 退化為一般遞推最小二乘估計(jì) 的取值根據(jù)具體情況和經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定 一般大致在0 9 0 99之間 RecursiveAlgorithm引入遺忘因子后的遞推最小二乘估計(jì)算法Here此時(shí) Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)40 Then Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)41 Comparewithfollows類似的 對(duì)比 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)42 Then 3 34 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)43 AccordingtoLemma3 1 Assume根據(jù)引理3 1 3 35 GainFactor增益因子 3 36 Besimilarto 3 28 3 37 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)44 RecursiveAlgorithm遞推算法 3 38 3 6Assignment作業(yè)設(shè)對(duì)象模型為若已知 且其余參數(shù)未知 試寫出用遞推最小二乘法估計(jì)的算法 只要求寫出向量和遞推公式 Chapter3SystemIdentificationandParameterEstimation第三章系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)45