廣東中考綜合題圓計算題.doc

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廣東中考綜合題圓計算題 1. （2012廣東佛山8分）如圖，直尺、三角尺都和圓O相切，AB=8cm ．求圓O的直徑． 【答案】解：設三角尺和⊙O相切于點E，連接OE、OA、OB， ∵AC、AB都是⊙O的切線，切點分別是E、B， ∴∠OBA=90，∠OAE=∠OAB=∠BAC。 ∵∠CAD=60，∴∠BAC=120。 ∴∠OAB=120=60?！唷螧OA=30。 ∴OA=2AB=16。 由勾股定理得： ，即⊙O的半徑是cm。 ∴⊙O的直徑是cm。 【考點】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理。 【分析】連接OE、OA、OB，根據(jù)切線長定理和切線性質(zhì)求出∠OBA=90，∠OAE=∠OAB=∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根據(jù)勾股定理求出OB即可。 2. （2012廣東佛山11分）（1）按語句作圖并回答：作線段AC（AC=4），以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點），連接AB、BC、CD、DA． 若能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應滿足什么條件？ （2）若a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積． 【答案】解：（1）作圖如下： 能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應滿足的條件是a+b＞4。 （2）連接BD，交AC于E， ∵⊙A與⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 設CE=x，則AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴由勾股定理得： 解得：。 ∴。 ∴四邊形ABCD的面積是。 答：四邊形ABCD的面積是。 【考點】作圖（復雜作圖），相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四邊形，即可得出答案； （2）連接BD，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB⊥AC，BE=DE，設CE= x，則AE=4－x，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可。 3. （2012廣東廣州12分）如圖，⊙P的圓心為P（﹣3，2），半徑為3，直線MN過點M（5，0）且平行于y軸，點N在點M的上方． （1）在圖中作出⊙P關(guān)于y軸對稱的⊙P′．根據(jù)作圖直接寫出⊙P′與直線MN的位置關(guān)系． （2）若點N在（1）中的⊙P′上，求PN的長．21世紀教育網(wǎng) 【答案】解：（1）如圖所示，⊙P′即為所求作的圓。 ⊙P′與直線MN相交。 （2）設直線PP′與MN相交于點A， 則由⊙P的圓心為P（﹣3，2），半徑為3，直線MN過點M（5，0）且平行于y軸，點N在⊙P′上，得 P′N=3，AP′=2，PA=8。 ∴在Rt△AP′N中， 。 在Rt△APN中，。 【考點】網(wǎng)格問題，作圖（軸對稱變換），直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理。 【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等找出點P′的位置，然后以3為半徑畫圓即可。再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答。 （2）設直線PP′與MN相交于點A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的長度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式計算即可求出PN的長度。 24．（2010廣東廣州，24，14分）如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C． （1）求弦AB的長； （2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大?。环駝t，請說明理由 （3）記△ABC的面積為S，若＝4，求△ABC的周長. C P D O B A E 5. （2012廣東湛江10分）如圖，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半徑． 【答案】（1）證明：連接OD， ∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC。 又∵AC⊥BC，∴OD∥AC?！唷?=∠3。 ∵OA=OD，∴∠1=∠3。∴∠1=∠2。 ∴AD平分∠BAC。 （2）解：∵BC與圓相切于點D，∴BD2=BE?BA。 ∵BE=2，BD=4，∴BA=8。 ∴AE=AB﹣BE=6?！唷袿的半徑為3。 【考點】切線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，切割線定理。 【分析】（1）先連接OD，雜而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行從而得證； （2）利用切割線定理可先求出AB，進而求出圓的直徑，半徑則可求出。 【沒有學習切割線定理的可連接DE，證△ABD∽△DBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，】 1. （2011廣東省6分）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（－4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿軸向右平移4個單位長度得⊙P1． （1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的位置關(guān)系； （2）設⊙P1與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為A，B，求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留π）． 【答案】解：（1）畫出⊙P1如下： ⊙P與⊙P1外切。 （2）劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積為： 【考點】圖形的平移，圓與圓的位置關(guān)系，圓和三角形的面積。 【分析】（1）將⊙P沿軸向右平移4個單位長度得⊙P1后，兩圓圓心距與兩圓半徑之和相等，故⊙P與⊙P1外切。 （2）劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積實際等于圓的四分之一面積減去?OAB的面積，這樣根據(jù)已知條件即易求出。 2.（2011佛山6分）如圖，已知AB是O的弦，半徑，，求△AOB的面積。 【答案】解：如圖，作OC⊥AB于點C。則有 。 【考點】垂徑定理，解直角三角形。 【分析】作弦心距，由垂徑定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，從而求出面積 3.（茂名8分）如圖，⊙P與軸相切于坐標原點O（0，0），與軸相交于點A（5，0），過點A的直線AB與y軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C． （1）已知AC=3，求點B的坐標； （2）若AC=a，D是OB的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為O1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點O1，求的值（用含的代數(shù)式表示）． 【答案】解：（1）連接OC， ∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，， 在Rt△AOC和Rt△ABO中， ∵∠CAO=∠OAB，∴Rt△AOC∽Rt△ABO。 。 （2）點O、P、C、D四點在同一個圓上。理由如下： 連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點，∴?！唷?=∠4。 又∵OP=CP，∴∠1=∠2?！唷?+∠3=∠2+∠4=90∴PC⊥CD。 又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形。 ∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等。 ∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上。 由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心O1是DP的中點，圓心。 由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=。 在Rt△ABO中，， ，∴， ∵點O1在函數(shù)的圖象上，∴。 ∴。 【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，圓周角定理。 【分析】（1）連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其對應變成比例求得OB即可。 （2）連接CP、CD、DP，根據(jù)OC⊥AB，D為OB上的中點，可得，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心O1是DP的中點，圓心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可。 4.（清遠8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，切點為A，D為⊙O上一點，AD與OC相交于點E，且∠DAB＝∠C．B O A C D E （1） 求證：OC∥BD； （2） 若AO＝5，AD＝8，求線段CE的長． 【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90。 ∵AC與⊙O相切，∴∠CAB＝90。 ∵∠DAB＝∠C，∴∠AOC＝∠B?！郞C∥BD。 （2）∵AO＝5，∴AB＝10。又∵AD＝8，∴BD＝6。 ∵O為AB的中點，OC∥BD， ∴OE＝3。 ∵∠DAB＝∠C，∠AOC＝∠B，∴△AOC∽△DBA。 ∴＝ ?！啵?。 ∴CO＝ 。 ∴CE＝CO－OE＝－3＝ 【考點】直徑所對的圓周角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠AOC＝∠B，再根據(jù)同位角相等兩直線平行的判定，證得OC∥BD。 （2）要求CE，只要求出CO和OE即可。一方面OC∥BD，AO=OB，OE是?ABD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理OE=BD，而由已知應用勾股定理可求BD。另一方面由于△AOC∽△DBA，由相似三角形對應邊的比相等可求。 5.（深圳8分）如圖1，在⊙O中，點C為劣弧AB的 中點，連接AC并延長至D，使CA=CD，連接DB 并延長交⊙O于點E，連接AE. （1）求證：AE是⊙O的直徑； 圖1 圖2 （2）如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長 為4，求陰影部分面積之和.(保留與根號) 【答案】解：（1）證明：如圖，連接AB、BC， ∵點C是劣弧AB上的中點，∴?！郈A＝CB 。 又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。 ∴在△ABD中，CB=AD。 ∴∠ABD＝90?！唷螦BE＝90。 ∴AE是⊙O的直徑。 (2) 如圖，由（1）可知，AE是⊙O的直徑， ∴∠ACE＝90。 ∵⊙O的半徑為5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面積為25π 。 在Rt△ACE中，∠ACE＝90，由勾股定理，得： CE= ∴ ∴ 【考點】直角三角形的判定，直徑與圓周角的關(guān)系，勾股定理。 【分析】（1）要證AE是⊙O的直徑，只要證AE所對的圓周角是直角即可。故作輔助線連接AB、BC，由已知的點C為劣弧AB的中點和CA=CD即易證得。 (2) 求陰影部分面積之和，只要求⊙O的面積減去△ACE的面積即可。 6.（湛江12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E． （1）求證：直線BD與⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑． 【答案】解：（1）證明：連接OD， ∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。 又∵∠A+∠CDB=90，∴∠ADO+∠CDB=90。 ∴∠ODB=180﹣（∠ADO+∠CDB）=90?！郆D⊥OD?！郆D是⊙O切線。 （2）連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90。 又∵∠C=90，∴∠ADE=∠C?！郉E∥BC。 又∵D是AC中點，∴AD=CD?！郃D：CD=AE：BE。∴AE=BE。 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB?！郃D：AE=AC：AB?！郃C：AB=4：5。 設AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5。 ∵BC=6，∴AB=10?！郃E=AB=10。 【考點】切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，圓周角定理。 【分析】（1）連接OD，由∠A=∠ADO，進而證得∠ADO+∠CDB=90，而證得BD⊥OD。（2）連接DE，證得∠ADE=90，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，設AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得。 7.（肇慶10分）已知：如圖．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DF⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD。 （1）求證：∠DAC=∠DBA （2）求證：P是線段AF的中點 （3）若⊙O的半徑為5，AF=，求tan∠ABF的值。 【答案】解：（1）證：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。 ∵∠DAC與∠CBD都是弧DC所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD。 ∴∠DAC=∠DBA。 （2）∵AB是直徑，∴∠DAC=900。 又∵DF⊥AB，∴∠DEB=900?！唷螦DE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=900。 ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP?！郟D=PA。 又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=900，且∠DAC=∠ADE， ∴ ∠PDF= ∠DFA=∠DFP?！郟D=PF。 ∴PA=PF。即P是線段AF的中點。 （3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB。 ∴。 ∴在△ADB中，。 即tan∠ABF=。 【考點】同弧所對的圓周角性質(zhì)，直徑所對的圓周角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等量代換，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）利用同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)和角平分線定義可證。 （2）利用直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，經(jīng)過等量代換可證。 （3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)可求。 6.（深圳2008年8分）如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB＝AD＝AO． （1）求證：BD是⊙O的切線． （2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8， cos∠BFA＝，求△ACF的面積． 【答案】解：（1）證明：連接BO， ∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。∴△ABO為等邊三角形。 ∴∠BAO=∠ABO=60。 ∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。 又∠D+∠ABD=∠BAO=60，∴∠ABD=30。 ∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90，即BD⊥BO。 又∵BO是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線。 （2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。 ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90。 在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴ 。 又∵＝8，∴。 【考點】等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）由等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角定理和等腰三角形的性質(zhì)判斷△DOB是直角三角形，則 ∠OBD=90，BD是⊙O的切線。 （2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似 比的平方即可求解。 10（深圳2011年8分）如圖1，在⊙O中，點C為劣弧AB的 中點，連接AC并延長至D，使CA=CD，連接DB 并延長交⊙O于點E，連接AE. （1）求證：AE是⊙O的直徑； 圖1 圖2 （2）如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長 為4，求陰影部分面積之和.(保留與根號) 【答案】解：（1）證明：如圖，連接AB、BC， ∵點C是劣弧AB上的中點，∴?！郈A＝CB 。 又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。 ∴在△ABD中，CB=AD。 ∴∠ABD＝90?！唷螦BE＝90。 ∴AE是⊙O的直徑。 (2) 如圖，由（1）可知，AE是⊙O的直徑， ∴∠ACE＝90。 ∵⊙O的半徑為5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面積為25π 。 在Rt△ACE中，∠ACE＝90，由勾股定理，得： CE= ∴ ∴ 【考點】直角三角形的判定，直徑與圓周角的關(guān)系，勾股定理。 【分析】（1）要證AE是⊙O的直徑，只要證AE所對的圓周角是直角即可。故作輔助線連接AB、BC，由已知的點C為劣弧AB的中點和CA=CD即易證得。 (2) 求陰影部分面積之和，只要求⊙O的面積減去△ACE的面積即可。 11. （2012廣東深圳9分）如圖，在平面直角坐標系中，直線：y=－2x＋b (b≥0)的位置隨b的不同取值而變化． (1)已知⊙M的圓心坐標為(4，2)，半徑為2． 當b=　　　　時，直線：y=－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M： 當b=　　　　時，直線：y=－2x＋b(b≥0)與OM相切： (2)若把⊙M換成矩形ABCD，其三個頂點坐標分別為：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 設直線掃過矩形ABCD的面積為S，當b由小到大變化時，請求出S與b的函數(shù)關(guān)系式， 【答案】解：（1）10；。 （2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D（2，2）。 如圖，當直線經(jīng)過A(2，0)時，b=4；當直線經(jīng)過D（2，2）時，b=6；當直線經(jīng)過B（6，0）時，b=12；當直線經(jīng)過C(6，2)時，b=14。 當0≤b≤4時，直線掃過矩形ABCD的面積S為0。 當4＜b≤6時，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積（如圖1）， 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，則E（2，－4＋b）， 令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，則F（，0）。 ∴AF=，AE=－4＋b。 ∴S=。 當6＜b≤12時，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2）， 在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，則G（，0）， 令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則H（，2）。 ∴DH=，AG=。AD=2 ∴S=。 當12＜b≤14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積－△CMN的面積（如圖2） 在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則M（，0）， 令x=6，得y=－12＋b，，則N（6，－12＋b）。 ∴MC=，NC=14－b。 ∴S=。 當b＞14時，直線掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8。 綜上所述。S與b的函數(shù)關(guān)系式為： 。 【考點】直線平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質(zhì)。 【分析】（1）①∵直線y=－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M(4，2)， ∴2=－24＋b，解得b=10。 ②如圖，作點M垂直于直線y=－2x＋b于點P，過點 P作PH∥x軸，過點M作MH⊥PH，二者交于點H。設直線y=－2x＋b與x，y軸分別交于點A，B。 則由△OAB∽△HMP，得。 ∴可設直線MP的解析式為。 由M(4，2)，得，解得?！嘀本€MP的解析式為。 聯(lián)立y=－2x＋b和，解得。 ∴P（）。 由PM=2，勾股定理得，，化簡得。 解得。 （2）求出直線經(jīng)過點A、B、C、D四點時b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五種情況分別討論即可。