三角函數(shù)、解三角形教師

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第1課時　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1．角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)至另一個位置所成的圖形． (3)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 2．弧度制 (1)1弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝. (3)角度與弧度的換算 ①180＝πrad；②1＝rad；③1 rad＝. (4)弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝|α|r，扇形的面積為S＝lr＝|α|r2. 3．任意角的三角函數(shù) (1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線． (3)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)第一象限角一定是銳角．() (2)不相等的角終邊一定不相同．() (3)終邊落在x軸非正半軸上的角可表示為α＝2πk＋π(k∈Z)．(√) (4)一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位．(√) (5)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．(√) (6)α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(√) (7)將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是.() (8)角α的三角函數(shù)值與終邊上點P的位置無關(guān)．(√) (9)若sin α＞0，則α的終邊在第一象限或第二象限．() (10)α∈，則tan α＞α＞sin α.(√) 考點一　終邊相同的角和象限角 命題點 1.寫出終邊相同的角 2.判斷角所在的象限 例1]　(1)在－720～0范圍內(nèi)找出所有與45終邊相同的角為________． 解析：所有與45有相同終邊的角可表示為： β＝45＋k360(k∈Z)， 則令－720≤45＋k360≤0， 得－765≤k360≤－45， 解得－≤k≤－， 從而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675或β＝－315. 答案：－675或－315 (2)設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos，則是(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：若θ是第三象限角，即 θ∈，k∈Z ∴∈，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)(0,2，…)時，在第二象限， 當(dāng)k為奇數(shù)(1,3，…)時，在第四象限， 又∵＝－cos， ∴cos＜0，∴為第二象限． 答案：B 方法引航]　(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角. (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成0，2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限.,(3)象限角用終邊相同的角的形式作為邊界來表示，討論k的取值來確定其它角所在象限. 1．終邊在直線y＝x上的角的集合是________． 解析：(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝＋kπ，k∈Z}． 答案：{α|α＝＋kπ，k∈Z} 2．若α＝k180＋45(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：選A.當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，α＝n360＋45，所以α在第一象限． 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，α＝n360＋225，所以α在第三象限．綜上可知，α在第一或第三象限． 考點二　三角函數(shù)的定義 命題點 1.已知角終邊上點的坐標(biāo)求三角函數(shù)值 2.已知三角函數(shù)值求點的坐標(biāo) 3.已知三角函數(shù)值判斷角所在象限 例2]　(1)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標(biāo)為，則cos α＝________. 解析：因為A點縱坐標(biāo)yA＝，且A點在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標(biāo)xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案：－ (2)已知α是第二象限角，設(shè)點P(x，)是α終邊上一點，且cos α＝x，求4cos－3tan α的值． 解：∵r＝，∴cos α＝，從而 x＝，解得x＝0或x＝. 又α是第二象限角，則x＝－，r＝2. ∴sin α＝＝，tan α＝＝－. 因此4cos－3tan α＝－4sin α－3tan α ＝－4－3＝－. (3)已知sin α＞0，cos α＜0，則α所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　　　　　 B．第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 解析：因為sin α＞0，cos α＜0，所以α為第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，則＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，α為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，α為第三象限角，故選C. 答案：C 方法引航]　定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值. 1．角α的終邊過點P(－1,2)，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選B.由三角函數(shù)的定義， 得sin α＝＝. 2．點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達(dá)Q點，則Q點的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.x＝cosπ＝－，y＝sinπ＝. 3．若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是(　　) A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0 C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0 解析：選B.在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，則可排除A、C、D，故選B. 考點三　扇形的弧長及面積 命題點 1.求扇形的弧長或面積 2.求扇形的圓心角或半徑 例3]　已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積． 解：(1)α＝60＝，l＝10＝(cm)． (2)設(shè)弓形面積為S弓．由題知l＝cm， S弓＝S扇形－S三角形＝2－22sin＝(cm)2. 方法引航]　(1)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量. (2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形. (3)應(yīng)用上述公式時，角度應(yīng)統(tǒng)一用弧度制表示. 1．在本例(1)中，R＝10 cm改為弧長l＝10 cm，求扇形的半徑R和面積S. 解：∵α＝60＝，l＝αR，即10＝R ∴R＝cm. S＝lR＝10＝cm2. 2．若本例(2)改為在半徑為10 cm，面積為100 cm2的扇形中，弧所對的圓心角為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 C．2π D．10 解析：選A.由扇形的面積公式S＝αr2可得 100＝α102，解得α＝2. 考點四　三角函數(shù)線及應(yīng)用 命題點 1.利用三角函數(shù)線解三角方程 2.利用三角函數(shù)線解三角不等式 例4]　(1)若α∈(0,2π)，sin α＝，則α＝________. 解析：如圖，α的終邊與單位圓的交點的縱坐標(biāo)y＝，即A，B. ∴α＝∠xOA＝，或α＝∠xOB＝π. 答案：或π (2)函數(shù)y＝＋ 的定義域是________． 解析：由題意知即 ∴x的取值范圍為＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 答案：(k∈Z.) 滿足sin α≥的α的集合為________． 解析：作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為. 答案： 易錯警示] 錯用角的終邊概念 典例]　已知角θ的終邊上一點P(3a,4a)(a≠0)，則sin θ＝________. 正解]　∵x＝3a，y＝4a，∴r＝＝5|a|. (1)當(dāng)a＞0時，r＝5a，∴sin θ＝＝. (2)當(dāng)a＜0時，r＝－5a，∴sin θ＝＝－. ∴sin θ＝. 答案]　 易誤]　(1)角的終邊是一條射線，而不是直線．該題中，我們只能確定角的終邊所在直線． (2)由終邊上一點求三角函數(shù)時，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，從而求出r＝＝＝5a，結(jié)果得到錯誤的答案：sin θ＝＝. 警示]　(1)區(qū)分兩種三角函數(shù)定義 如果是在單位圓中定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)角α的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝，但如果不是在單位圓中，設(shè)角α的終邊經(jīng)過點P(x，y)，|OP|＝r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. (2)明確三角函數(shù)的定義與角的終邊所在的象限位置的關(guān)系． 高考真題體驗] 1．(2011高考課標(biāo)全國卷)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：選B.設(shè)P(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點，則cos θ＝. 當(dāng)t＞0時，cos θ＝；當(dāng)t＜0時，cos θ＝－. 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. 2．(2014高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖所示，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點．角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在0，π]上的圖象大致為(　　) 解析：選B.以O(shè)為坐標(biāo)原點，射線OA為x軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，故點M到直線OP的距離為f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，x∈0，π]，故選B. 3．(2014高考大綱全國卷)設(shè)a＝sin 33，b＝cos 55，c＝tan 35，則(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：選C.b＝cos 55＝sin 35. 作sin 33，sin 35，tan 35的函數(shù)線，如圖， a＝NQ，b＝MP，c＝AT. ∴AT＞MP＞NQ，即c＞b＞a. 4．(2014高考大綱全國卷)已知角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，則cos α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D.因為角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，所以x＝－4， y＝3，r＝5，所以cos α＝＝－. 5．(2011高考江西卷)已知角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________. 解析：因為|OP|＝，由任意角的三角函數(shù)的定義得，＝－，解得y＝8，又因為sin θ＝－＜0及點P(4，y)是角θ終邊上一點，所以θ為第四象限角，故y＝－8. 答案：－8 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組　基礎(chǔ)演練 1．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　　) A．2kπ＋45(k∈Z)　　　　　 B．k360＋π(k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． 2．若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：選C.由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限角． 由＜0可知cos α，tan α異號，從而α為第三或第四象限角，故α為第三象限角． 3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，對于始邊為x軸非負(fù)半軸的角，下列命題中正確的是(　　) A．第一象限中的角一定是銳角 B．終邊相同的角必相等 C．相等的角終邊一定相同 D．不相等的角終邊一定不同 解析：選C.第一象限角是滿足2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z的角，當(dāng)k≠0時，它都不是銳角，與角α終邊相同的角是2kπ＋α，k∈Z；當(dāng)k≠0時，它們都與α不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同． 4．給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)； ④若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤若cos θ＜0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A.由于第一象限角370不小于第二象限角100，故①錯；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；由于sin＝sin，但與的終邊不相同，故④錯；當(dāng)cos θ＝－1，θ＝π時既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知只有③正確． 5．已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．－2,3) D．－2,3] 解析：選A.∵cos α≤0，sin α＞0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴∴－2＜a≤3.故選A. 6．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓O于點P，若∠AOP＝θ，則點P的坐標(biāo)是(　　) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 解析：選A.由三角函數(shù)的定義知P(cos θ，sin θ)． 7．已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B.∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m＞0，∴＝，即m＝. 8．已知角α的終邊與單位圓的交點P，則tan α＝(　　) A. B． C. D． 解析：選B.由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝. ∴tan α＝＝. 9．點P(tan 2 017，cos 2 017)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選D.2 017＝3605＋217是第三象限角． ∴tan 2 017＞0，cos 2 017＜0， 因此點P位于第四象限． 10．已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)是(2sin 2，－2cos 2)，則sin α等于(　　) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 解析：選D.∵角α終邊上一點P(2sin 2，－2cos 2)， ∴x＝2sin 2，y＝－2cos 2， r＝＝＝2， ∴sin α＝＝＝－cos 2. B組　能力突破 1．已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 解析：選C.設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 2．若x∈(0,2π)，則sin x＞的必要不充分條件是(　　) A.＜x＜ B.＜x＜π C.＜x＜ D.＜x＜ 解析：選B.依題意，由sin x＞，x∈(0,2π)得知＜x＜，可以推得＜x＜π；反過來，由＜x＜π不能得出sin x＞，如?。紉＝＜π，此時sin x＝. 因此，sin x＞的必要不充分條件是＜x＜π，故選B. 3．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則＋＝________. 解析：原式＝＋，由題意知角α的終邊在第二、四象限，sin α與cos α的符號相反，所以原式＝0. 答案：0 4．在與2 010終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數(shù)為________． 解析：2 010＝π＝12π－， ∴與2 010終邊相同的角中絕對值最小的角的弧度數(shù)為－. 答案：－ 5．設(shè)α為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos α＝m，則sin α的值為________． 解析：設(shè)P(m，)到原點O的距離為r， 則＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 答案： 6．已知扇形的圓心角為α＝120，弦長AB＝12 cm，則弧長l為________． 解析：設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖． ∠AOB＝120，∠AOB＝60，AB＝6，由sin 60＝，得r＝4 cm， ∴l(xiāng)＝|α|r＝4＝π(cm)． 答案：π cm 第2課時　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. 2．誘導(dǎo)公式 角 函數(shù)　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α － － 3.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)對任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(√) (2)對任意角α，＝tan都成立．() (3)對任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.() (4)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．(√) (5)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．(√) (6)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．() (7)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝.() (8)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，則m＜－5或m≥3.() (9)角π＋α和α終邊關(guān)于y軸對稱．() (10)若α＋β＝90，則sin2α＋sin2β＝1.(√) 考點一　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 命題點 1.同角的正、余弦函數(shù)關(guān)系 2.同角的正、余弦與正切函數(shù)關(guān)系 例1]　(1)已知sin θ＝－，θ∈，則sin(θ－5π)sin的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．－ D. 解析：∵sin θ＝－，θ∈， ∴cos θ＝＝. ∴原式＝－sin(π－θ)(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－＝－. 答案：B (2)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則sin α－cos α的值為________． 解析：法一：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝， ∴sin αcos α＝－，∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝＝＝. 法二：∵α∈(0，π)， ∴由得 ∴sin α－cos α＝－＝. 答案： (3)已知cos＝，且α∈，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D． 解析：因為cos＝，所以sin α＝－，又α∈，∴α∈，∴cos α＝－，則tan α＝＝. 答案：B (4)已知tan θ＝2，則sin θcos θ＝________. 解析：∵tan θ＝2 ∴sin θcos θ＝＝＝＝. 答案： 方法引航]　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.,(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin αcos α)2＝12sin αcos α，可以知一求二.,(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 1．若本例(1)中，去掉θ∈條件，結(jié)果如何？ 解：由sin θ＝－可得cos θ＝ ＝，(θ在一、四象限為正，θ在二、三象限為負(fù)) ∴原式＝sin θcos θ＝. 2．若本例(2)改為sin α＋cos α＝，α∈求tan α. 解：由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝. ∴sin αcos α＝－＜0，又∵α∈，∴sin α＜0，cos α＞0. ∴sin α－cos α＝－＝－＝－. 聯(lián)立得 ∴tan α＝＝－. 3．若本例(4)改為，tan θ＝2，求sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ的值． 解：sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝ ＝＝ ＝＝. 考點二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 命題點 1.給角求值 2.給值求值 3.化簡三角函數(shù)式 例2]　(1)sin 600＋tan 240＝________. 解析：sin 600＋tan 240＝sin(540＋60)＋tan(180＋60)＝－sin 60＋tan 60＝－＋＝. 答案： (2)已知tan＝，則tan＝________. 解析：∵＋＝π， ∴tan＝tan ＝－tan＝－. 答案：－ (3)已知f(x)＝，化簡f(x)的表達(dá)式并求f的值． 解：∵f(x)＝ ＝－cos xtan x＝－sin x， ∴f＝－sin＝sin ＝sin＝sin＝. 方法引航]　1.利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟為去負(fù)—脫周—化銳． 2．(1)利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的思路和要求 ①思路方法：a.分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)公式；b.利用公式化成單角三角函數(shù)；c.整理得最簡形式． ②化簡要求：a.化簡過程是恒等變形；b.結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值． (2)巧用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程．常見的互余關(guān)系有－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等，常見的互補關(guān)系有＋θ與－θ；＋θ與－θ等． 1．cos－sin的值是________． 解析：原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝. 答案： 2．已知sin＝，則cos＝________. 解析：∵＋＝， ∴cos＝cos＝sin＝. 答案： 3．已知tan θ＝2，則＝________. 解析：原式＝＝＝＝＝－2. 答案：－2 方法探究] 小“1”能起大作用 由于sin2α＋cos2α＝1恒成立，故在三角函數(shù)化簡與求值中巧妙利用“1”的代換，sin2α＋cos2α即為1，看到“1”就聯(lián)想到sin2α＋cos2α. 典例]　(1)sin21＋sin22＋…＋sin289＝________. 解析]　原式＝(sin21＋sin289)＋(sin22＋sin288)＋…＋(sin244＋sin246)＋sin245＝(sin21＋cos21)＋(sin22＋cos22)＋…＋(sin244＋cos244)＋ ＝＋＝44. 答案]　44 (2)若tan α＝3，則sin的值為(　　) A．－　　　　　　　B. C. D. 解析]　sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－， ∴sin＝sin 2α＋cos 2α＝＝－. 答案]　－ 高考真題體驗] 1．(2015高考福建卷)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：選D.因為sin α＝－，且α為第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－. 2．(2016高考全國乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 解析：因為sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因為θ為第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－. 答案：－ 3．(2016高考四川卷)sin 750＝________. 解析：sin 750＝sin(2360＋30)＝sin 30＝. 答案： 4．(2013高考課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________. 解析：∵tan＝， ∴＝，解得tan θ＝－. ∵θ為第二象限角，tan θ＝－＞－1， ∴2kπ＋＜θ＜2kπ＋π， ∴(sin θ＋cos θ)2＝ ＝＝＝. sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－. 答案：－ 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組　基礎(chǔ)演練 1．已知α為第二象限角，且sin α＝，則tan(π＋α)的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選D.因為α為第二象限角，cos α＝－＝－，tan(π＋α)＝tan α＝－. 2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值為(　　) A．1 B．2sin2α C．0 D．2 解析：選D.原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 3．若sin＝，則cos＝(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：選B.cos＝cos ＝sin＝. 4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝. ∵|θ|＜，∴θ＝. 5．已知sin＝，－＜α＜0，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．1 解析：選C.由已知得cos α＝，sin α＝－， cos＝cos α＋sin α＝－. 6．若sin θcos θ＝，則tan θ＋＝________. 解析：tan θ＋＝＋＝＝2. 答案：2 7．若cos(π－α)＝－，則的值為________． 解析：由cos(π－α)＝－，得cos α＝. 則＝ ＝cos α＝. 答案： 8．若＝2，則sin(θ－5π)sin＝________. 解析：由＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， 兩邊平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝， ∴sin(θ－5π)sin＝sin θcos θ＝. 答案： 9．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，求sin α的值________． 解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，?、? tan α－6sin β＝1，?、? ①②聯(lián)立，解得tan α＝3， ∴＝3，∴cos α＝sin α， ∴sin2α＋sin2α＝1 ∴α為銳角，∴sin α＝. 答案： 10．已知sin θ＝，＜θ＜π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解：(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝. 又＜θ＜π.∴cos θ＝－. ∴tan θ＝＝－. (2)由(1)知，＝＝－. B組　能力突破 1．若cos θ＝，sin θ＝－，則角θ的終邊所在的直線方程為(　　) A．3x＋4y＝0　　　　　　 B．4x＋3y＝0 C．3x－4y＝0 D．4x－3y＝0 解析：選B.依題意得tan θ＝＝－，因此所求的直線的斜率是－，其方程是y＝－x，即4x＋3y＝0. 2．已知sin α＋cos α＝，則sin2＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B.∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－，∴sin2＝＝＝. 3．若θ∈，sin 2θ＝，則sin θ＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.∵θ∈，∴2θ∈， 故cos 2θ≤0， ∴cos 2θ＝－＝－＝－. 又cos 2θ＝1－2sin2θ， ∴sin2θ＝＝＝. 又sin θ＞0，∴sin θ＝，故選D. 4．在△ABC中，已知2cos2A－3cos(B＋C)＝2，則A＝________. 解析：由2cos2A－3cos(B＋C)＝2，得 2cos2A－3cos(π－A)＝2， 即2cos2A＋3cos A－2＝0，得 cos A＝或cos A＝－2(舍去)， 則在△ABC中，A＝. 答案： 5．已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根，求cos3＋sin3的值． 解：由已知原方程的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， ∴a≥4或a≤0. 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 則a2－2a－1＝0，從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. ∴cos3＋sin3＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)1－(1－)]＝－2. 第3課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及變形 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β)) ⑤tan(α－β)＝(T(α－β)) ⑥tan(α＋β)＝(T(α＋β)) (2)公式變形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， ③tan 2α＝. (2)公式變形 ①cos2α＝，sin2α＝； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin αcos α＝sin. 3．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定．() (4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．() (5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．() (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√) (8)不存在實數(shù)α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.() (9)存在實數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y＝的x無意義．() 考點一　三角函數(shù)式的給角求值 命題點 1.已知非特殊角求函數(shù)式的值 2.已知含參數(shù)的角化簡函數(shù)或求值 例1]　(1)求值：－sin 10； 解：原式＝－sin 10 ＝－sin 10 ＝－sin 10 ＝－2cos 10＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β. 解：法一：(復(fù)角→單角，從“角”入手) 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 法二：(從“名”入手，異名化同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β ＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β ＝cos2β－cos 2β ＝－cos 2β ＝－cos 2β＝. 法三：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次) 原式＝＋－cos 2αcos 2β ＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝. 1．求值sin 50(1＋tan 10)． 解：sin 50(1＋tan 10)＝sin 50(1＋tan 60tan 10) ＝sin 50 ＝sin 50 ＝ ＝＝＝1. 2．在△ABC中，已知三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan＋tan＋tantan的值為________． 解析：因為三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π， 所以A＋C＝，＝，tan＝， 所以tan＋tan＋tantan ＝tan＋tan tan ＝＋tantan ＝. 考點二　三角函數(shù)式的給值求值 命題點 1.已知某角的三角函數(shù)值求其它的三角函數(shù)值 2.已知某角的三角函數(shù)值，求三角函數(shù)的值 3.已知三角函數(shù)式的值，求三角函數(shù)值 例2]　(1)(2016高考全國丙卷)若tan θ＝－，則cos 2θ＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C. D. 解析：法一：cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ ＝＝.故選D. 法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝， 因而cos 2θ＝1－2sin2θ＝. 答案：D (2)已知tan＝，且－＜α＜0，則等于(　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析：由tan＝＝，得tan α＝－. 又－＜α＜0，所以sin α＝－. 故＝＝2sin α＝－. 答案：A (3)已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，則＝________. 解析：2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0 則(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈，sin α＋cos α≠0， 則2sin α＝3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝， ∴ ＝＝. 答案： 1．在本例(1)中，已知條件不變，求tan的值． 解：tan＝＝＝. 2．在本例(1)中，已知條件不變，求2sin2θ－sin θcos θ－3cos2θ的值． 解：原式＝ ＝ ＝＝－. 3．已知cos＋sin＝，則cos＝________. 解析：由cos＋sin＝，得 sin α＋sincos α－cos πsin α＝ ∴sin α＋cos α＝， 即sin＝，∴sin＝， 因此cos＝1－2sin2＝1－22＝. 答案： 考點三　已知三角函數(shù)式的值求角 命題點 1.利用弦函數(shù)值求角 2.利用切函數(shù)值求角 例3]　(1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，則β＝________. 解析：∵cos α＝，0＜α＜. ∴sin α＝. 又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜. ∴0＜α－β＜，則sin(α－β)＝. 則cos β＝cosα－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝＋＝＝ 由于0＜β＜，所以β＝. 答案： (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值為________． 解析：∵tan α＝tan(α－β)＋β]＝ ＝＝＞0，∴0＜α＜. 又∵tan 2α＝＝＝＞0， ∴0＜2α＜， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－＜0， ∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π. 答案：－π 方法引航]　1.解決給值求角問題應(yīng)遵循的原則 (1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)． (2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且①若角的范圍是，選正、余弦皆可；②若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；③若角的范圍是，選正弦較好． 2．解給值求角問題的一般步驟 (1)求角的某一個三角函數(shù)值． (2)確定角的范圍． (3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角． 1．設(shè)α，β為鈍角，且sin α＝，cos β＝－，則α＋β的值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.或 解析：選C.∵α，β為鈍角，sin α＝，cos β＝－， ∴cos α＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝. 2．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝1. ∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜， ∴α＋β＝. 方法探究] 三角恒等變換在化簡、求值、證明中的綜合應(yīng)用 三角恒等變換要重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 典例]　某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： (1)sin213＋cos217－sin 13cos 17； (2)sin215＋cos215－sin 15cos 15； (3)sin218＋cos212－sin 18cos 12； (4)sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； (5)sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (Ⅰ)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解]　(Ⅰ)選擇(2)式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝. (Ⅱ)法一：三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 法二：三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 高考真題體驗] 1．(2016高考全國甲卷)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選D.因為cos＝coscos α＋sinsin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故選D. 2．(2016高考全國丙卷)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：選A.法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或，則sin 2α＝2sin αcos α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＋＝. 法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝. 3．(2015高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)sin 20cos 10－cos 160sin 10＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選D.sin 20cos 10－cos 160sin 10 ＝sin 20cos 10＋cos 20sin 10＝sin 30＝. 4．(2014高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析：選B.由條件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因為－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故選B. 5．(2015高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos2α＝＝ ＝＝－1. 答案：－1 6．(2016高考四川卷)cos2－sin2＝________. 解析：由二倍角公式，得cos2－sin2＝ cos＝. 答案： 課時規(guī)范訓(xùn)練 A組　基礎(chǔ)演練 1．tan 15＋＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2＋ C．4 D. 解析：選C.法一：tan 15＋＝＋ ＝＝＝4. 法二：tan 15＋＝＋ ＝＋＝＝4. 2.的值是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.原式＝ ＝ ＝＝. 3．已知θ∈(0，π)，且sin＝，則tan 2θ＝(　　) A. B. C．－ D. 解析：選C.由sin＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝. 解方程組， 得或. 因為θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以不合題意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－，故選C. 4．若θ∈，sin 2θ＝，則sin θ等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝＋1＝2， 又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝. 同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 5．已知sin 2(α＋γ)＝nsin 2β，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由已知可得sin(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝nsin(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，則sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝nsin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n－1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝，故選D. 6．若sin＝，則cos 2θ＝________. 解析：∵sin＝cos θ＝， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝22－1＝－. 答案：－ 7．若點P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，則sin 2α＋2cos 2α＝________. 解析：∵點P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上 ∴sin α＝－2cos α， 于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1) ＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2. 答案：－2 8．設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈，sin α≠0， ∴cos α＝－. 又∵α∈，∴α＝π， ∴tan 2α＝tanπ＝tan＝tan＝. 答案： 9．化簡：(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜＜， ∴cos＞0， ∴＝＝2cos. 又(1＋sin θ＋cos θ) ＝ ＝2cos ＝－2coscos θ. 故原式＝＝－cos θ. 10．已知α∈，且sin＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值． 解：(1)因為sin ＋cos ＝， 兩邊同時平方，得sin α＝. 又＜α＜π，所以cos α＝－. (2)因為＜α＜π，＜β＜π， 所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cosα－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－＋＝－. B組　能力突破 1．已知sin α＋cos α＝，則1－2sin2＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：選C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝， ∴sin 2α＝－. 因此1－2sin2＝cos2＝sin 2α＝－. 2．已知f(x)＝2tan x－，則f的值為(　　) A．4 B. C．4