2022年高中數(shù)學必修一教案：3-1-1《實數(shù)指數(shù)冪及其運算》

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1、2022年高中數(shù)學必修一教案：3-1-1《實數(shù)指數(shù)冪及其運算》 第一課時 學習目標 1．知識與技能目標 理解整數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)，并能用于相關(guān)計算中； 理解根式的概念和性質(zhì)，并能用于相關(guān)計算中. 2．過程與方法目標 通過復習回顧初中所學二次根式的相關(guān)性質(zhì)，用類比的思想來完成根式的學習； 3．情感態(tài)度與價值觀目標 通過復習回顧舊知識，來完成新知識的學習，在這一過程中培養(yǎng)觀察分析、抽象概括能力、歸納總結(jié)能力、化歸轉(zhuǎn)化能力； 重點難點 教學重點：根式的概念、性質(zhì) 教學難點：根式的概念 教學過程 （I）復習回顧 師：在初中，我們已經(jīng)學習了整數(shù)指數(shù)冪的概念及其性質(zhì).現(xiàn)在，

2、我們一起來看屏幕. 整數(shù)指數(shù)冪概念 整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì) 規(guī)定： a0=1（a≠0） （a≠0,n） 師：這兒我們?yōu)槭裁炊家骯≠0？（引導學生分析清楚） 師：另外，我們在初中還學習了平方根、立方根這兩個概念. 22=4 2，-2叫4的平方根 （-2）2=4 23=8 2叫8的立方根 （-2）3=-8 -2叫-8的立方根 25=32 2叫32的5次

3、方根 2n=a 2叫a的n次方根 師（生）：我們來看，若22=4，則2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，則2叫做32的5次方根，類似地，若2n=a，則2叫a的n次方根.這樣，我們可以給出n次方根的定義. （II）講授新課 1.n次方根的定義： 若xn=a(n>1且n∈N*)，則x叫做a的n次方根. 師： n次方根的定義給出了，我們考慮這樣一個問題，x如何用a 表示呢？ 生：正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根；正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù). 師：跟平方根一樣，偶次方根有

4、下列性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，負數(shù)沒有偶次方根；跟立方根一樣，奇次方根有下列性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是正數(shù)，負數(shù)的奇次方根是負數(shù). 這樣，再由n次方根的定義我們便可得到n次方根的性質(zhì)： 2.根式運算性質(zhì)： ①（n>1,且n） ② 師：關(guān)于性質(zhì)的推導，我們一起來看： 性質(zhì)①推導過程： 當n為奇數(shù)時， 當n為偶數(shù)時， 綜上所述，可知： 性質(zhì)②推導過程： 當n為奇數(shù)時，由n次方根定義得： 當n為偶數(shù)時，由n次方根定義得： 則 綜上所述： 師：性質(zhì)②有一定變化，大家應重點掌握，接下來，我們來看例題： 3.例題講解 例1：求

5、下列各式的值： 解： 師：根指數(shù)?n為奇數(shù)的題目較易處理，而例題側(cè)重于根指數(shù)n為偶數(shù)的運算，說明此類題目容易出錯，應引起大家的注意.為使大家進一步熟悉性質(zhì)運用，請大家來做練習題. （III）課堂練習 （IV）課時小結(jié) （V）課后作業(yè) 教材練習A：1 第二課時 學習目標 1．知識與技能目標 理解分數(shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)，并能用于相關(guān)計算中； 會對根式、分數(shù)指數(shù)冪進行互化； 了解無理指數(shù)冪. 2．過程與方法目標 通過復習回顧初中所學的整數(shù)指數(shù)冪及上節(jié)課所學根式的相關(guān)性質(zhì)，用類比的思想來完成分數(shù)指數(shù)冪的學習； 3．情感態(tài)度與價值觀目

6、標 培養(yǎng)學生用聯(lián)系觀點看問題； 教學重難點 教學重點： 1.分數(shù)指數(shù)冪的概念. 2.分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 教學難點：對分數(shù)指數(shù)冪概念的理解. 教學過程 （I）復習回顧 師：上一節(jié)課，我們一起復習了整數(shù)指數(shù)冪折運算性質(zhì)，并學習了根式的運算性質(zhì). 整數(shù)指數(shù)冪概念 整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì) 規(guī)定： a0=1（a≠0） （a≠0,n） ①（n>1,且n） ② 師：對于整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)（2），當a>0,m,n是分數(shù)時也成立. （說明：對于這一點，課本采用

7、了假設性質(zhì)（2）對a>0,m,n是分數(shù)也成立這種方法，我認為不妨先推廣性質(zhì)（2），為下一步利用根式運算性質(zhì)推導正分數(shù)指數(shù)冪的意義作準備）. 師：對于根式的運算性質(zhì)，大家要注意被開方數(shù)an的冪指數(shù)n與根式的根指數(shù)n的一致性.接下來，我們來看幾個例子. 例子：當a>0時 ① ② ③ ④ ⑤ 師：上述推導過程主要利用了根式的運算性質(zhì)，例子③、④、⑤用到了推廣的整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)（2）.因此，我們可以得出正分數(shù)指數(shù)冪的意義. （II）講授新課 1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義： 師：大家要注意兩點，一是分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形

8、式；二是根式與分數(shù)指數(shù)冪可以進行互化. 另外，我們還要對正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪和0的分數(shù)指數(shù)冪作如下規(guī)定. 2.規(guī)定： （1） （2）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0. （3）0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義. 師：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).當a>0時，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于有理指數(shù)冪也同樣適用.即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì)： 3.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)： （1）ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q) （2）(ar)s=ar?(a>0,r,s∈Q) （3）(a?b)r=ar?br(a>0,b>0,r∈Q) 4.例題講解 例2：求值：

9、 分析：此題主要運用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì). 解： 例3：用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式： 分析：此題應結(jié)合分數(shù)指數(shù)冪意義與有理指數(shù)冪運算性質(zhì). 解： 5．無理指數(shù)冪 師：若a>0,p是一個無理數(shù)，則ap（如）表示一個確定的實數(shù)，即有理指數(shù)冪還可以推廣到無理指數(shù)冪. 我們現(xiàn)在還無法給出無理指數(shù)冪嚴格的定義，但是上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，而有關(guān)概念和證明我們現(xiàn)在也不考慮. 現(xiàn)在我們可能還有一些疑問，究竟是一個什么樣的數(shù)呢？ 我們按照要求的精確度，取無理數(shù)的不足近似值或過剩近似值： 1.4，1.41，1.414，……（的不足近似值）； 1.5，1.42，1.415，……（的過剩近似值）. 其次，我們相應地可用有理指數(shù)冪的序列 31.4，31.41，31.414，……或31.5，31.42，31.415，…… 來近似地計算無理指數(shù)冪的不足或過剩近似值. 一般地，當a>0，α為任意實數(shù)時，實數(shù)指數(shù)冪aα都有意義. 例1．利用科學計算器計算（精確到0.001）： 例2．利用科學計算器計算函數(shù)值.已知 課后作業(yè) 教材練習A：2，3；B：1，2，3