數(shù)學(xué)第十一章 統(tǒng)計(jì) 第二節(jié) 用樣本估計(jì)總體 理

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1、第二節(jié)用樣本估計(jì)總體總綱目錄教材研讀1.常用統(tǒng)計(jì)圖表考點(diǎn)突破2.樣本的數(shù)字特征考點(diǎn)二莖葉圖考點(diǎn)二莖葉圖考點(diǎn)一頻率分布直方圖考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征教材研讀教材研讀1.常用統(tǒng)計(jì)圖表(1)頻率分布表的畫(huà)法:第一步:求極差極差,決定組數(shù)和組距,組距=;第二步:分組分組,通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間;第三步:登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖:反映樣本頻率分布的直方圖.橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示,每個(gè)小矩形的面積表示樣本極差組數(shù)頻率組距落在該組內(nèi)的頻率頻率.(3)莖葉圖的畫(huà)法:第一步:將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分;第二步:各

2、個(gè)數(shù)據(jù)的莖按大小大小次序排成一列;第三步:將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫(xiě)在其莖的右(左)側(cè).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)通常用于描述出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征把一組數(shù)據(jù)按大小順序大小順序排列,處在最中間最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn),但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,xn,那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)=(x1+x2+xn)平均數(shù)和每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān),可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均

3、數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低x1ns=.(ii)方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差.s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中xi(i=1,2,3,n)是樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量樣本容量,是樣本平均數(shù)樣本平均數(shù).222121()()() nxxxxxxn1nxxxx(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差(i)標(biāo)準(zhǔn)差:表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,1.一個(gè)容量為32的樣本,已知某組樣本的頻率為0.25,則該組樣本的頻數(shù)為()A.4B.8C.12D.16B答案答案B樣本的頻數(shù)=320.25=8.B2.把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組,分組區(qū)間與頻數(shù)如下:10,2

4、0),2;20,30),3;30,40),4;40,50),5;50,60),4;60,70,2,則在區(qū)間10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A.0.05B.0.25C.0.5D.0.7D答案答案D由題意知,在區(qū)間10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2+3+4+5=14,故其頻率為=0.7.1420B3.在一段時(shí)間內(nèi)有2000輛車(chē)通過(guò)高速公路上的某處,現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200輛進(jìn)行車(chē)速統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90120km/h,試估計(jì)2000輛車(chē)中,在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)有()DA.30輛B.300輛C.170輛D.1700輛答案答案D以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)頻

5、率為1-(0.01+0.005)10=0.85.所以以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)約有0.852000=1700輛.B4.下圖是某班8位學(xué)生詩(shī)詞比賽得分的莖葉圖,那么這8位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為.答案答案93,92解析解析依題意,結(jié)合莖葉圖,將題中的數(shù)由小到大依次排列得到:86,86,90,91,93,93,93,96,因此這8位學(xué)生得分的眾數(shù)是93,中位數(shù)是=92.91 93293,92B5.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.(1)平均命中環(huán)數(shù)為;(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.答案答案(1)7(2)2解析解析(1)=(7+8+7+9+5+4

6、+9+10+7+4)=7.x110(2)方差s2=(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4.標(biāo)準(zhǔn)差s=2.110B72考點(diǎn)一頻率分布直方圖考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(2017北京朝陽(yáng)二模,16)從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖.(1)求a的值;(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,估計(jì)該市中學(xué)生中全體男生的平均身高;(3)從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生,根據(jù)直方圖的信息,估計(jì)其身高在180cm以上的頻率.若從全市中學(xué)的男生(人

7、數(shù)眾多)中隨機(jī)抽取3人,用X表示身高在180cm以上的男生人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解析解析(1)根據(jù)題意得(0.0052+a+0.0202+0.040)10=1,解得a=0.010.(2)設(shè)樣本中男生身高的平均值為,則=1450.05+1550.1+1650.2+1750.4+1850.2+1950.05=(145+195)0.05+1550.1+(165+185)0.2+1750.4=17+15.5+70+70=172.5.所以估計(jì)該市中學(xué)生中全體男生的平均身高為172.5cm.(3)從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生,其身高在180cm以上的概率為.由已知得,隨機(jī)變量X

8、的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=,xx1403C0143342764P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.隨機(jī)變量X的分布列為13C114234276423C21413496433C314034164X0123P27642764964164因?yàn)閄B,所以E(X)=3=.13,41434方法技巧方法技巧解決關(guān)于頻率分布直方圖的問(wèn)題,關(guān)鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系.從圖中可直接看出組距、,從而可間接計(jì)算出頻率(小長(zhǎng)方形的面積).解決直方圖的有關(guān)問(wèn)題時(shí),常用到兩個(gè)等量關(guān)系:小長(zhǎng)方形的面積=組距=頻率,小長(zhǎng)方形的面積之和等于1(頻率之和等于1).頻率組距頻率組距1-1某校為了解高一

9、學(xué)生12月份的閱讀情況,抽查并統(tǒng)計(jì)了100名學(xué)生某一周的閱讀時(shí)間,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),則這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在8,12小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為.38答案答案38解析解析由頻率分布直方圖可知閱讀時(shí)間在8,12小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為2(0.05+0.14)100=38.1-2某校為了解全校高中學(xué)生五一小長(zhǎng)假參加實(shí)踐活動(dòng)的情況,抽查了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間,繪成頻率分布直方圖(如圖),則這100名學(xué)生中參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間在610小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為.58答案答案58解析解析1-(0.04+0.12+0.05)2=0.58,1000.58=58(人).考點(diǎn)二莖葉圖典例典例2某中學(xué)為了解

10、初三年級(jí)學(xué)生“擲實(shí)心球”項(xiàng)目的整體情況,隨機(jī)抽取男、女生各20名進(jìn)行測(cè)試,記錄的數(shù)據(jù)如下:男生投擲距離(單位:米)女生投擲距離(單位:米)9775.468766.4556669667.0024455558855308.173119.22010.男生投擲距離(米)5.4,6.0)6.0,6.6)6.6,7.4)7.4,7.8)7.8,8.6)8.6,10.0) 10.0,+)女生投擲距離(米)5.1,5.4)5.4,5.6)5.6,6.4)6.4,6.8)6.8,7.2)7.2,7.6)7.6,+)個(gè)人得分(分)45678910已知該項(xiàng)目的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下表所示:注:滿分10分,9分以上(含9分)為

11、“優(yōu)秀”.(1)求上述20名女生的中位數(shù)和眾數(shù);(2)從上述20名男生中,隨機(jī)抽取2名,求抽取的2名男生中優(yōu)秀人數(shù)X的分布列;(3)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)和你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生“擲實(shí)心球”項(xiàng)目的整體情況.(寫(xiě)出兩個(gè)結(jié)論即可)得分解析解析(1)20名女生擲實(shí)心球得分如下:5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10.所以中位數(shù)為8,眾數(shù)為9.(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=.所以抽取的2名男生中優(yōu)秀人數(shù)X的分布列為212220CC339511128220C CC489528220CC1495X012P

12、339548951495(3)答案不唯一,合理即可.例如:由莖葉圖可得女生得分的平均數(shù)為=8,男生得分的平均數(shù)為=7.55.故男生的平均成績(jī)低于女生的平均成績(jī).男生達(dá)到優(yōu)秀的百分比為100%=40%,女生達(dá)到優(yōu)秀的百分比為100%=45%.所以男生達(dá)到優(yōu)秀的百分比低于女生.x女生x男生820920規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)莖葉圖的繪制需注意:“葉”的每個(gè)位置上只有一個(gè)數(shù)字,而“莖”的每個(gè)位置上的數(shù)的位數(shù)一般不需要統(tǒng)一;重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,不能遺漏,特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).(2)莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù),可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù),也可以用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù).通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù),數(shù)

13、據(jù)大致集中在哪塊莖,數(shù)據(jù)是否關(guān)于莖對(duì)稱(chēng),數(shù)據(jù)分布是否均勻等.2-1若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92A答案答案A將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96.故中位數(shù)為=91.5.平均數(shù)為91+=91.5.91 92242 10 12358 2-2如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位:分).已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x,y的值分別為()C甲組乙組909x215y87424A.

14、2,5B.5,5C.5,8D.8,8答案答案C甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15=10+x,x=5.又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=16.8,y=8.x,y的值分別為5,8.9 15(10)18245y考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征典例典例3(2017北京石景山一模,16)某超市從甲、乙兩種酸奶的日銷(xiāo)售量(單位:箱)的1200個(gè)數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)均在區(qū)間(0,50內(nèi))中,按照5%的比例進(jìn)行分層抽樣,統(tǒng)計(jì)結(jié)果按(0,10,(10,20,(20,30,(30,40,(40,50分組,整理如下圖:圖甲圖乙(1)寫(xiě)出頻率分布直方圖(圖乙)中a的值,記所抽取樣本中甲種酸奶與乙種酸奶日銷(xiāo)售量的方差分別為,試比較與的大小(只需寫(xiě)出結(jié)21s22s2

15、1s22s論);(2)從甲種酸奶日銷(xiāo)售量在區(qū)間(0,20的數(shù)據(jù)樣本中抽取3個(gè),記在(0,10內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為X,求X的分布列;(3)估計(jì)1200個(gè)日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)中,在區(qū)間(0,10中的個(gè)數(shù).解析解析(1)由題圖乙知10(a+0.020+0.030+0.025+0.015)=1,解得a=0.010.易知.(2)X的所有可能取值為1,2,3,則P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列為21s22s124236C CC15214236C CC35304236C CC15X123P153515(3)由題圖甲知,甲種酸奶的數(shù)據(jù)共抽取了2+3+4+5+6=20個(gè),其中有4個(gè)數(shù)據(jù)在區(qū)間(0

16、,10內(nèi),又因?yàn)榉謱映闃庸渤槿×?2005%=60個(gè)數(shù)據(jù),所以乙種酸奶的數(shù)據(jù)共抽取了60-20=40個(gè),由(1)知,乙種酸奶的日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,10內(nèi)的頻率為0.1,故乙種酸奶的日銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,10內(nèi)的有400.1=4個(gè).故抽取的60個(gè)數(shù)據(jù)中,共有4+4=8個(gè)數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,10內(nèi).所以估計(jì)1200個(gè)數(shù)據(jù)中,在區(qū)間(0,10內(nèi)的數(shù)據(jù)有1200=160個(gè).860規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì),方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)波動(dòng)大小.3-1甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示,分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù),s1,s2分別表示甲、乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()A.,s1s2B.=,s1s2C.=,s1=s2D.s21x2x1x2x1x2x1x2x1x2xB答案答案B經(jīng)計(jì)算,=85,s1=s2=.1x2x21.529.25B