數(shù)學第十一章 計數(shù)原理 11.1 排列、組合

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1、第十一章 計數(shù)原理11.1 排列、組合高考數(shù)學高考數(shù)學考點排列、組合考點排列、組合1.分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理(1)完成一件事有n類辦法,各類辦法相互獨立,每類辦法中又有多種不同的方法,則完成這件事的不同方法數(shù)是各類不同方法種數(shù)的和,這就是分類計數(shù)原理.(2)完成一件事,需要分成n個步驟,每一步的完成有多種不同的方法,則完成這件事的不同方法種數(shù)是各步驟的不同方法數(shù)的乘積,這就是分步計數(shù)原理.2.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于:分類計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立,用其中任一種方法都可以完成這件事;分步計數(shù)原理與分步有關(guān),各個步驟相知識清單互依存

2、,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成了.3.排列(1)定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù)定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用表示.(3)排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-m+1).(4)全排列:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個不同元素的一個全排列,=n(n-1)(n-2)321=n!.于是排列數(shù)公式寫成階乘形式為=.規(guī)定0!=1.AmnAmnAnnAmn!()!nnm4.組合(1)定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組

3、,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù)定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用表示.(3)計算公式:=.由于0!=1,所以=1.5.組合數(shù)的性質(zhì)(1)=;(2)=+.CmnCmnAAmnmm(1)(1)(1)1n nnmm m!()!nm nm0CnCmnCn mn1CmnCmn1Cmn 個基本原理的應用的解題策略個基本原理的應用的解題策略 如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事,則選用分類加法計數(shù)原理,即類與類之間是相互獨立的,即“分類完成”.如果只有各個步驟都做完,這件事才能完成,則選用分步乘法

4、計數(shù)原理,即步與步之間是相互依存的、連續(xù)的,即“分步完成”.無論分類加法計數(shù)原理,還是分步乘法計數(shù)原理,都要選擇合理的分類、分步標準,確保不重不漏.例1用三種不同的顏色,將如圖所示的四個區(qū)域涂色,每種顏色至少用1次,則相鄰的區(qū)域不涂同一種顏色的概率為(用數(shù)字作答).方法技巧方法1解析依題意知有兩個區(qū)域涂同一種顏色,另兩個區(qū)域涂另兩種顏色.當涂同一種顏色的兩個區(qū)域相鄰時,有3=18種涂法;當涂同一種顏色的兩個區(qū)域不相鄰時,有3=18種涂法.故相鄰的區(qū)域不涂同一種顏色的概率為.33A13C22A12答案12 排列、組合及其應用的解題策略排列、組合及其應用的解題策略求解排列、組合問題的思路:“排組分

5、清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘”.1.簡單問題直接法:把符合條件的排列數(shù)或組合數(shù)直接列式計算.2.相鄰問題捆綁法:在特定條件下,將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮,待整個問題排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列.它主要用于解決相鄰和不相鄰問題.3.相間問題插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空中,它與捆綁法有同等作用.4.多元問題分類法:將符合條件的排列分為幾類(每一類的排列數(shù)較易求出),然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理求出排列總數(shù).方法25.至少至多間接法:“至少”“至多”的排列、組合問題需分類討論且一般分類的情況較多,所以通常用間接法,即排除法.它適用于

6、反面明確且易于計算的問題.6.均分問題作商法:平均分組問題,若將m個元素平均分成n組,則分法總數(shù)為.例24名男生和5名女生站成一排.(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種?(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種?(3)男、女分別排在一起的站法有多少種?(4)男、女相間的站法有多少種?(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種?C CC!mmmnnnmmmmnnn解題導引(1)特殊元素優(yōu)先法或考慮位置或排除法結(jié)果(2)特殊元素優(yōu)先法結(jié)果(3)捆綁法結(jié)果(4)插空法結(jié)果(5)方程思想結(jié)果解析(1)解法一(特殊優(yōu)先):先排甲有6種,再排其余的人有種,共有站法6=241920(種).解法

7、二(考慮位置):先排中間和兩端的位置有種,再排其余位置有種,共有站法 =241920(種).解法三(排除法):-3=241920(種).(2)(特殊優(yōu)先)先排甲、乙有種,再排其余的人有種,共有 =10080(種).(3)(捆綁法)男、女分別捆綁成兩組有種排法,男、女在本組內(nèi)分別各有及種排法,故不同的站法數(shù)為 =5760(種).(4)(插空法)先排4名男生有種方法,再將5名女生插空,有種方法,所以共有 =2880種站法.88A88A38A66A38A66A99A88A22A77A22A77A22A44A55A22A44A55A44A55A44A55A(5)(方程思想)設(shè)甲、乙、丙三人順序一定的站

8、法有x種,則x=,x=60480(種).33A99A9933AA評析在解決排列、組合綜合性問題時,必須深刻理解排列與組合的概念,能夠熟練確定一個問題是排列問題還是組合問題,牢記排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯誤是重復和遺漏計數(shù).例3(2017浙江吳越聯(lián)盟測試,13)2016是這樣一個四位數(shù),其各個數(shù)位上的數(shù)字之和為9,則各個數(shù)位上的數(shù)字不同且其和為9的四位數(shù)共有個.解題導引對各數(shù)位上的數(shù)字是否含0進行討論把四個不同數(shù)字之和為9的組合列出來用排列和分步計數(shù)原理得結(jié)論解析對構(gòu)成滿足條件的四位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字是否含0進行分類討論.若不含0,則有1+2+3+4=109,不成立;若含0,

9、則9可以改寫為9=0+1+2+6=0+1+3+5=0+2+3+4,此時滿足條件的四位數(shù)共有33=54個.33A答案54評析本題考查分步計數(shù)原理,多元問題分類法,考查推理運算能力和分類討論思想.例4(2017浙江金華十校聯(lián)考(4月卷),7)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組,若甲組至少兩人,乙、丙組每組至少一人,則不同的分配方案的種數(shù)為()A.50B.80C.120D.140B解題導引對“至少”問題進行分類討論用分步計數(shù)原理計算每種情況的分配方案用分類計數(shù)原理得結(jié)論解析分兩種情況討論,若甲組2人,則有種方法,此時將剩余的3人分給乙、丙兩組,有種方法,共有種方法;若甲組3人,則有種方法,此時將剩余的

10、2人分給乙、丙兩組,有種方法,共有種方法.因此不同的分配方案的種數(shù)為+=80,故選B.25C23C22A25C23C22A35C22A35C22A25C23C22A35C22A例5(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬卷(五),7)4本不同的書全部分給甲、乙兩人,每人至少一本,則不同的分法有()A.10種B.14種C.16種D.20種解題導引先把4本書分成兩組用排列和分步計數(shù)原理得結(jié)論B解析首先將4本書分成兩組,共有+=7種分法;再將書分給甲、乙兩人,共有=2種分法.由乘法原理知,共有14種不同的分法,故選B.224222ACC14C22A評析本題考查排列、組合及其應用,平均分組問題,分步計數(shù)原理,考查運算求解能力和邏輯思維能力.