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1、
2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：
10.2用樣本估計(jì)總體與變量間的相關(guān)關(guān)系
一、用樣本估計(jì)總體
(一)頻率分布直方圖在總體估計(jì)中的應(yīng)用
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頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布
(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距,縱坐標(biāo)表示,頻率=組距.
(2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1,因此在頻率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值,所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比.
(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.
(4)眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(5)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐
2、標(biāo).
※例題解析※
〖例〗為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖,圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數(shù)為12.
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(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?
(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該學(xué)生全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?
(3)在這次測(cè)試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
思路解析:利用面積求得每組的頻率求樣本容量求頻率和求達(dá)標(biāo)率分析中位數(shù).
解答:(1)由已知可設(shè)每組的頻率為2x,4x,17x,15x,9x,3x
3、.則2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.則第二小組的頻率為0.024=0.08,樣本容量為120.08=150.
(2)次數(shù)在110次以上(含110次)的頻率和為170.02+150.02+90.02+30.02=0.88,則高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為0.88100%=88%.
(3)在這次測(cè)試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四組.因?yàn)橹形粩?shù)為平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
注:利用樣本的頻率分布可近似地估計(jì)總體的分布,要比較準(zhǔn)確地反映出總體分布的情況,必須準(zhǔn)確地作出頻率分布表和頻率分布直方圖,充分利用所給的數(shù)據(jù)正確地作出估計(jì).
(二)用
4、樣本的分布估計(jì)總體
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莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)
(1)所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到.
(2)莖葉圖便于記錄和表示,且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.
注:當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí),用莖葉圖顯得容易、方便.而當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較大和較多時(shí),用莖葉圖表示,就顯得不太方便.
※例題解析※
〖例〗在某電腦雜志的一篇目文章中,每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下:10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某報(bào)紙的一篇文章中,每個(gè)句子中所含的字?jǐn)?shù)如下:27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,1
5、2,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
(1)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;
(2)將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析,得到什么結(jié)論?
思路解析:(1)將十位數(shù)字作為莖,個(gè)位數(shù)字作為葉,逐一統(tǒng)計(jì);(2)根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù),得到結(jié)論.
解答:(1)如圖:
(2)電腦雜志上每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在10～30之間,中位數(shù)為22.5;而報(bào)紙上每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在10～40之間,中位數(shù)為27.5.可以看出電腦雜志上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)比報(bào)紙上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)要少.說(shuō)明電腦雜志作為讀物須通俗易懂、簡(jiǎn)明.
(三)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
〖例〗甲乙二人參加
6、某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;
(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).
思路解析:(1)先通過(guò)圖象統(tǒng)計(jì)出甲、乙二人的成績(jī);(2)利用公式求出平均數(shù)、方差,再分析兩人的成績(jī),作出評(píng)價(jià).
解答:(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為
甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
(2)由＞可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài),而乙的成績(jī)上下波動(dòng),可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?而乙的成績(jī)則無(wú)明顯提高.
注:(1)運(yùn)用方差解決
7、問(wèn)題時(shí),注意到方差越大,波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定;方差越小,波動(dòng)越小,越穩(wěn)定.
(2)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)單的描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì),方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.
(3)平均數(shù)、方差的公式推廣
①若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,那么的平均數(shù)是.
②數(shù)據(jù)的方差為.
a.
b.數(shù)據(jù)的方差也為;
c.數(shù)據(jù)的方差為.
二、變量間的相關(guān)關(guān)系
(一)利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系
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1.散點(diǎn)圖
在散點(diǎn)圖中,如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上,就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.
8、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.
注:函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型,而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.
2.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)
從散點(diǎn)圖可知,即一個(gè)變量的值由小變大時(shí),另一個(gè)變量的值也由小變大,這種相關(guān)稱為正相關(guān).如年齡的值由小變大時(shí),體內(nèi)脂肪含量也在由小變大.
反之,如果一個(gè)變量的值由小變大時(shí),另一個(gè)變量的值由大變小,這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān).
※例題解析※
〖例〗在某地區(qū)的12～30歲居民中隨機(jī)抽取了10個(gè)人的身高和體重的統(tǒng)計(jì)資料如表：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖并判斷居民的身高和體重
9、之間是否有相關(guān)關(guān)系。
思路解析:(1)用x軸表示身高,y軸表示體重,逐一描出各組值對(duì)應(yīng)的點(diǎn).(2)分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系.
解答:以x軸表示身高,y軸表示體重,可得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示:
由散點(diǎn)圖可知,兩者之間具有相關(guān)關(guān)系,且為正相關(guān).
(二)求回歸方程
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最小二乘法
(1)最小二乘法是種有效地求回歸方程的方法,它保證了各點(diǎn)與此直線在整體上最接近,最能反映樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的規(guī)律.
(2)最小二乘法估計(jì)的一般步驟:
①作出散點(diǎn)圖,判斷是否線性相關(guān);
②如果是,則用公式求a、b,寫(xiě)出回歸方程;
③根據(jù)方程進(jìn)行估計(jì).
注:如果兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,即
10、使求出回歸方程也毫無(wú)意義,而且用其進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)也是不可信的.
※例題解析※
〖例〗如表,其提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)
(1)請(qǐng)畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程
思路解析:作散點(diǎn)圖求出求得回歸方程
解答:(1)題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點(diǎn)圖如圖.
(2)對(duì)照數(shù)據(jù),計(jì)算得:
,
所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為:
因此,所求的線性回歸方程為.
(三)利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)
〖例〗煉鋼是一個(gè)氧
11、化降碳的過(guò)程,鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短,必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系.如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí),鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一列數(shù)據(jù),如表所示:
(1)作出散點(diǎn)圖,你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時(shí)間的一般規(guī)律嗎?
(2)求回歸方程;
(3)預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160時(shí),應(yīng)冶煉多少分鐘?
思路解析:(1)將表中的各對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn),得到散點(diǎn)圖;(2)按求回歸方程的步驟和公式,寫(xiě)出回歸方程;(3)利用回歸方程分析.
解答:(1)可作散點(diǎn)圖如圖所示:
由圖可知它們呈線性相關(guān)關(guān)系.
(2)
(3)把x=160代入得,y=172.25(分鐘),
預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160時(shí),應(yīng)冶煉172.25分鐘.
注: 利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)總體,回歸方程將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸,是我們對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制,依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù),有廣泛的應(yīng)用.
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