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1、
2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：
10.2用樣本估計總體與變量間的相關關系
一、用樣本估計總體
(一)頻率分布直方圖在總體估計中的應用
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頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布
(1)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距,縱坐標表示,頻率=組距.
(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,因此在頻率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比.
(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準確,后者直觀.
(4)眾數(shù)為最高矩形中點的橫坐標.
(5)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐
2、標.
※例題解析※
〖例〗為了了解高一學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖,圖中從左到右各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數(shù)為12.
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(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?
(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標,試估計該學生全體高一學生的達標率是多少?
(3)在這次測試中,學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)?請說明理由.
思路解析:利用面積求得每組的頻率求樣本容量求頻率和求達標率分析中位數(shù).
解答:(1)由已知可設每組的頻率為2x,4x,17x,15x,9x,3x
3、.則2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.則第二小組的頻率為0.024=0.08,樣本容量為120.08=150.
(2)次數(shù)在110次以上(含110次)的頻率和為170.02+150.02+90.02+30.02=0.88,則高一學生的達標率為0.88100%=88%.
(3)在這次測試中,學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四組.因為中位數(shù)為平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標.
注:利用樣本的頻率分布可近似地估計總體的分布,要比較準確地反映出總體分布的情況,必須準確地作出頻率分布表和頻率分布直方圖,充分利用所給的數(shù)據(jù)正確地作出估計.
(二)用
4、樣本的分布估計總體
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莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點
(1)所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到.
(2)莖葉圖便于記錄和表示,且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.
注:當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用莖葉圖顯得容易、方便.而當樣本數(shù)據(jù)較大和較多時,用莖葉圖表示,就顯得不太方便.
※例題解析※
〖例〗在某電腦雜志的一篇目文章中,每個句子的字數(shù)如下:10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某報紙的一篇文章中,每個句子中所含的字數(shù)如下:27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,1
5、2,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
(1)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;
(2)將這兩組數(shù)據(jù)進行比較分析,得到什么結(jié)論?
思路解析:(1)將十位數(shù)字作為莖,個位數(shù)字作為葉,逐一統(tǒng)計;(2)根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù),得到結(jié)論.
解答:(1)如圖:
(2)電腦雜志上每個句子的字數(shù)集中在10～30之間,中位數(shù)為22.5;而報紙上每個句子的字數(shù)集中在10～40之間,中位數(shù)為27.5.可以看出電腦雜志上每個句子的平均字數(shù)比報紙上每個句子的平均字數(shù)要少.說明電腦雜志作為讀物須通俗易懂、簡明.
(三)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
〖例〗甲乙二人參加
6、某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;
(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓練成績作出評價.
思路解析:(1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績;(2)利用公式求出平均數(shù)、方差,再分析兩人的成績,作出評價.
解答:(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為
甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
(2)由＞可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.
注:(1)運用方差解決
7、問題時,注意到方差越大,波動越大,越不穩(wěn)定;方差越小,波動越小,越穩(wěn)定.
(2)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡單的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標準差描述波動大小.
(3)平均數(shù)、方差的公式推廣
①若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,那么的平均數(shù)是.
②數(shù)據(jù)的方差為.
a.
b.數(shù)據(jù)的方差也為;
c.數(shù)據(jù)的方差為.
二、變量間的相關關系
(一)利用散點圖判斷兩個變量的相關關系
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1.散點圖
在散點圖中,如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關系,即變量之間具有函數(shù)關系.
8、如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系.
注:函數(shù)關系是一種理想的關系模型,而相關關系是一種更為一般的情況.
2.正相關、負相關
從散點圖可知,即一個變量的值由小變大時,另一個變量的值也由小變大,這種相關稱為正相關.如年齡的值由小變大時,體內(nèi)脂肪含量也在由小變大.
反之,如果一個變量的值由小變大時,另一個變量的值由大變小,這種相關稱為負相關.
※例題解析※
〖例〗在某地區(qū)的12～30歲居民中隨機抽取了10個人的身高和體重的統(tǒng)計資料如表：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，畫出散點圖并判斷居民的身高和體重
9、之間是否有相關關系。
思路解析:(1)用x軸表示身高,y軸表示體重,逐一描出各組值對應的點.(2)分析兩個變量是否存在相關關系.
解答:以x軸表示身高,y軸表示體重,可得到相應的散點圖如圖所示:
由散點圖可知,兩者之間具有相關關系,且為正相關.
(二)求回歸方程
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最小二乘法
(1)最小二乘法是種有效地求回歸方程的方法,它保證了各點與此直線在整體上最接近,最能反映樣本觀測數(shù)據(jù)的規(guī)律.
(2)最小二乘法估計的一般步驟:
①作出散點圖,判斷是否線性相關;
②如果是,則用公式求a、b,寫出回歸方程;
③根據(jù)方程進行估計.
注:如果兩個變量不具有線性相關關系,即
10、使求出回歸方程也毫無意義,而且用其進行估計和預測也是不可信的.
※例題解析※
〖例〗如表,其提供了某廠節(jié)能降耗技術改造生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù)
(1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的回歸方程
思路解析:作散點圖求出求得回歸方程
解答:(1)題設所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖.
(2)對照數(shù)據(jù),計算得:
,
所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為:
因此,所求的線性回歸方程為.
(三)利用回歸方程對總體進行估計
〖例〗煉鋼是一個氧
11、化降碳的過程,鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短,必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系.如果已測得爐料熔化完畢時,鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一列數(shù)據(jù),如表所示:
(1)作出散點圖,你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時間的一般規(guī)律嗎?
(2)求回歸方程;
(3)預測當鋼水含碳量為160時,應冶煉多少分鐘?
思路解析:(1)將表中的各對數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點,得到散點圖;(2)按求回歸方程的步驟和公式,寫出回歸方程;(3)利用回歸方程分析.
解答:(1)可作散點圖如圖所示:
由圖可知它們呈線性相關關系.
(2)
(3)把x=160代入得,y=172.25(分鐘),
預測當鋼水含碳量為160時,應冶煉172.25分鐘.
注: 利用回歸方程可以進行預測估計總體,回歸方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進行延伸,是我們對有線性相關關系的兩個變量進行分析和控制,依據(jù)自變量的取值估計和預報因變量值的基礎和依據(jù),有廣泛的應用.
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2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 10.2用樣本估計總體與變量間的相關關系
