數(shù)學(xué)第十一章 推理與證明 11.1 合情推理與演繹推理

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1、第十一章 推理與證明11.1合情推理與演繹推理高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)1.歸納推理(1)定義:根據(jù)某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.(2)一般步驟:通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).一般地,如果歸納的個別情況越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題就越可靠.知識清單2.類比推理(1)定義:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.簡言之,類比

2、推理是由特殊到特殊的推理.(2)一般步驟:(i)找出兩類事物之間的相似性或者一致性;(ii)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(或猜想).一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類比得出的命題就越可靠.類比推理的結(jié)論具有偶然性,既可能真,也可能假,它具有十分重要的實用價值,是一種合情推理.3.演繹推理主要的形式是三段論,其一般模式:(1)大前提已知的一般原理,(2)小前提所研究的特殊情況,(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷.形式可以表示為:大前提:M是P,小前提:S是M,結(jié)論:S是P.它的本質(zhì)是利用一般性原理推出相應(yīng)的結(jié)論,再用

3、結(jié)論之間的聯(lián)系推導(dǎo)出結(jié)論成立. 用歸納推理求解相關(guān)問題的方法用歸納推理求解相關(guān)問題的方法歸納推理問題的常見類型及解題策略:(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點,找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號特點.(2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點,注意縱向找規(guī)律.(3)與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象,采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系.(4)與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形,歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法檢驗其真?zhèn)涡?方法技巧方法1例1(2017江蘇常州高三質(zhì)量檢測,13)將正整數(shù)按下列方法分組:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

4、,16,記第n組中各數(shù)之和為An;由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組:03,13,13,23,23,33,33,43,記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn,則An+Bn=.解析由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,可以歸納出第n組有(2n-1)個正整數(shù),每組中的首項為(n-1)2+1,從而An=(n-1)2+1(2n-1)+=(2n-1)(n2-n+1),由03,13,13,23,23,33,33,43,可以歸納出第n組的兩個數(shù)為(n-1)3,n3,從而Bn=n3-(n-1)3,所以An+Bn=(2n-1)(n2-n+1)+n3-(n-1)3=2n3.(2n

5、1)(2n1 1)2 答案2n3 用類比推理求解相關(guān)問題的方法用類比推理求解相關(guān)問題的方法類比推理的難點是發(fā)現(xiàn)兩類對象的相似特征,由其中一類對象的特征得出另一類對象的特征,破解的方法是利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識,分析兩類對象之間的關(guān)系,通過兩類對象已知的相似特征得出所需要的相似特征.類比推理的一般步驟:(1)定類,即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征,如兩類不同的測度之間的關(guān)系導(dǎo)數(shù)關(guān)系;(2)推測,即用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個猜想;方法2(3)檢驗,即檢驗猜想的正確性,要將類比推理運用于簡單推理之中,在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力.例2二維空間中,圓

6、的一維測度(周長)l=2r,二維測度(面積)S=r2,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4r2,三維測度(體積)V=r3,應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測度V=8r3,則其四維測度W=.43解析二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2r,二維測度(面積)S=r2,觀察發(fā)現(xiàn)S=l,三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4r2,三維測度(體積)V=r3,觀察發(fā)現(xiàn)V=S,故猜想四維空間中,W=V,則W=2r4.43答案2r4 破解演繹推理思想瓶頸的技巧破解演繹推理思想瓶頸的技巧在應(yīng)用三段論推理來證明問題時,首先應(yīng)該明確什么是問題中的大前提和小前提.在演繹推理中,只要前提和推理形式是正確

7、的,結(jié)論必定是正確的,因此明確問題的大前提和小前提是正確解題的關(guān)鍵.例3(2017江蘇揚(yáng)州質(zhì)檢)對于定義域為0,1的函數(shù)f(x),如果同時滿足:對任意的x0,1,總有f(x)0;f(1)=1;對任意的x10,x20,x1+x21,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0;(2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x0,1),f(x)=x2(x0,1),f(x)=(x0,1)是不x方法3是理想函數(shù).解析(1)證明:取x1=x2=0,則x1+x2=01,f(0+0)f(0)+f(0),f(0)0.又對任意的x0,1,總有f

8、(x)0,f(0)0.于是f(0)=0.(2)對于f(x)=2x,x0,1,f(1)=2,不滿足定義中的條件,f(x)=2x(x0,1)不是理想函數(shù).對于f(x)=x2,x0,1,顯然f(x)0,且f(1)=1.任取x1,x20,1,x1+x21,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-=2x1x20,即f(x1)+f(x2)f(x1+x2).21x22xf(x)=x2(x0,1)是理想函數(shù).對于f(x)=,x0,1,顯然滿足條件.對任意的x1,x20,1,x1+x21,有f2(x1+x2)-f(x1)+f(x2)2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-20,即f2(x1+x2)f(x1)+f(x2)2.f(x1+x2)f(x1)+f(x2),不滿足條件.f(x)=(x0,1)不是理想函數(shù).綜上,f(x)=x2(x0,1)是理想函數(shù),f(x)=2x(x0,1)與f(x)=(x0,1)不是理想函數(shù).x12x x12x xxx