《數(shù)學(xué)第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第一節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第一節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 文（31頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入總綱目錄教材研讀1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念考點突破2.復(fù)數(shù)的幾何意義3.共軛復(fù)數(shù)的概念考點二復(fù)數(shù)的幾何意義考點二復(fù)數(shù)的幾何意義考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念4.復(fù)數(shù)的模5.復(fù)數(shù)的加法與減法6.復(fù)數(shù)的乘法與除法考點三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算考點三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a與b都是實數(shù),a叫做復(fù)數(shù)z的實部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.對于復(fù)數(shù)a+bi(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,它是實數(shù);當(dāng)b0時,叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且且b0時,叫做純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)的相等復(fù)數(shù)的相等如果a,b,c,d都是實數(shù),那么
2、a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且且b=0.教材研讀教材研讀2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù);除原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù);各象限內(nèi)的點都表示虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的.3.共軛復(fù)數(shù)的概念共軛復(fù)數(shù)的概念當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等、虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示,即若z=a+bi(a,bR),則=a-bi.zz4.復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(1)定義定義:復(fù)數(shù)z=a+
3、bi(a,bR)對應(yīng)的向量的模叫做z的模,記作|z|或|a+bi|,|z|=|a+bi|=.(2)性質(zhì)性質(zhì):|z1z2|=|z1|z2|,=,|zn|=|z|n,|=|z|.OZ22ab12zz12|zzz5.復(fù)數(shù)的加法與減法復(fù)數(shù)的加法與減法(1)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,dR).(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義a.復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)
4、z1、z2對應(yīng)的向量分別為、,設(shè)=+,則復(fù)數(shù)z1+z2是向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).b.復(fù)數(shù)減法的幾何意義1OZ2OZOZ1OZ2OZOZ若復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別為,則復(fù)數(shù)z1-z2是向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù).1OZ2OZ21Z Z6.復(fù)數(shù)的乘法與除法復(fù)數(shù)的乘法與除法設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交換律:z1z2=z2z1;結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的除法(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).2
5、2acbdcd22bcadcd7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*. 1.(2015北京東城一模)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=1-2i(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)答案答案C復(fù)數(shù)z=1-2i對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,-2).故選C.C2.(2018北京海淀高三期末)已知i是虛數(shù)單位,若i(a+i)=-1+i,則實數(shù)a的值為()A.1B.0C.-1D.-2答案答案Ai(a+i)=ai+i2=-1+ai=-1+i,a=1,故選A.A3.(2016北京房山一模)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2,-1
6、),則|z|=()A.B.5C.3D.15答案答案A|z|=.222( 1) 5A4.(2016北京朝陽一模)已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2i1i答案答案A=1+i.2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)22i2A5.(2018北京東城高三期末)已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)-i+=.1i答案答案-2i解析解析-i+=-i-i=-2i.1i-2i6.(2017北京西城二模)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是Z(1,-2),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=.z答案答案1+2i解析解析復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是Z(1,-2),z=1-2i,z的共軛復(fù)數(shù)=1+2i.z1+2i考點一復(fù)
7、數(shù)的有關(guān)概念考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念考點突破考點突破典例典例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位,如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等,那么實數(shù)a的值為()A.B.-C.3D.-3(2)已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=|1-i|+i,則z的實部為()A.B.-1C.1D.(3)已知=1-yi,其中x,y是實數(shù),i是虛數(shù)單位,則x+yi的共軛復(fù)數(shù)為()i2ia131321222121ixA.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i(4)(2017北京東城一模)如果(x2-1)+(x-1)i(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),那么實數(shù)x=.答案答案(1)C(2)A(3)D(4)-1解析解析(1)=,由題意知=,解得a=3.(
8、2)由z(1-i)=|1-i|+i,得z=+i,故z的實部為,故選A.(3)=(x-xi)=1-yi,解得x=2,y=1,則x+yi的共軛復(fù)數(shù)為2-i,故選D.i2ia21(2)i5aa 215a 25a 2i1i( 2i)(1 i)(1 i)(1 i)2122122121ix1211,21,2xxy (4)(x2-1)+(x-1)i是純虛數(shù),解得x=-1.210,10,xx 方法技巧方法技巧解決復(fù)數(shù)有關(guān)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)的點位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組,解之即可.(2)解題時一定要
9、先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bR)的形式,以確定實部和虛部.1-1設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)|=()A.B.2C.D.1zz102答案答案A|(1-z)|=|1-z|=|2+i|z|=.故選A.zz52101-2(2017北京海淀一模)已知復(fù)數(shù)z=a(1+i)-2(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)a=.A答案答案2解析解析z=a(1+i)-2=a+ai-2=(a-2)+ai為純虛數(shù),解得a=2.20,0,aa2典例典例2(1)(2016北京石景山一模)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)(2
10、017北京,2,5分)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)2i1i考點二復(fù)數(shù)的幾何意義考點二復(fù)數(shù)的幾何意義(3)(2016北京東城二模)如圖所示,在復(fù)平面內(nèi),點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則復(fù)數(shù)z=.答案答案(1)B(2)B(3)2-i解析解析(1)=-1+i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,1),位于第二象限.(2)本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,a-1.故選B.(3)由題圖知A(2,-1),點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2-i.2i1i2i(1 i)
11、(1 i)(1 i)222i1 i 10,10,aa 方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b)=(a,b).(2)由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題簡單化.OZOZ2-1(2015北京西城一模)復(fù)數(shù)z滿足zi=3-i(i是虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案答案Cz=-1-3i,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,-3),位于第三象限,故選C.3ii2(3i)ii13i1C2-2(2018北京西城
12、高三期末)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)D.(1,-1)2i1i答案答案B=-1+i,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,1),故選B.2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)2i1iB典例典例3(1)(2016北京,2,5分)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)=()A.iB.1+iC.-iD.1-i(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+i=(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A.B.C.D.112i2i1ii532考點三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算考點三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(3)(2016湖南長沙模擬)已知(a+bi)(1-2i)=5(i為虛數(shù)單位,a,bR),則a+b
13、的值為()A.-1B.1C.2D.3(4)(2016北京海淀二模)已知=i,其中i為虛數(shù)單位,aR,則a=.2i1i a答案答案(1)A(2)A(3)D(4)-2解析解析(1)=i,故選A.12i2i(12i)(2i)(2i)(2i)222i4i2i4i 5i5(2)由題意可得z=-i=1-2i,故|z|=,選A.1ii1 i1i 5(3)因為(a+bi)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故解得a=1,b=2,故a+b=3,故選D.(4)=i,2+i=i(1+ai),2+i=i-a,a=-2.25,20,abba2i1i a方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法
14、、乘法運(yùn)算可以類比多項式的運(yùn)算,除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(2)幾個常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時,記住以下結(jié)論,可提高計算速度.(1i)2=2i;=i;=-i.i(a+bi)=-b+ai,a,bR.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.1i1i1i1i3-1(2014北京,9,5分)若(x+i)i=-1+2i(i為虛數(shù)單位,xR),則x=.答案答案2解析解析由(x+i)i=-1+2i,得x=-i=-i=2.12ii 22i2ii 23-2(2015北京西城二模)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)=.10i3i答案答案1+3i解析解析=1+3i.10i3i10i(3i)(3i)(3i)2230i10i9i1030i101+3i3-3(2015北京海淀一模)若復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),且zR,則實數(shù)a=.iia答案答案0解析解析z=1-ai.因為zR,所以a=0.iia2i(i)ia 1i1a 0
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