（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第63講 兩直線的位置關系與對稱問題練習 理（含解析）新人教A版

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1、第63講　兩直線的位置關系與對稱問題 夯實基礎　【p144】 【學習目標】 1．掌握兩直線平行、垂直、相交的條件，能靈活運用點到直線的距離公式及兩直線平行、垂直的條件解決有關問題． 2．掌握中心對稱、軸對稱等問題的幾何特征和求解的基本方法．并能利用圖形的對稱性解決有關問題． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是(　　) A．1B．－3 C．1或D．－3或 【解析】由題得＝4，解方程即得k＝－3或. 【答案】D 2．點P(2，5)關于直線x＋y＝1的對稱點的坐標是(　　) A．(－5

2、，－2) B．(－4，－1) C．(－6，－3) D．(－4，－2) 【解析】設點P(2，5)關于直線x＋y＝1的對稱點Q的坐標為(m，n)， 則由題意可得∴m＝－4，n＝－1. 【答案】B 3．若兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為(　　) A.B.C.D. 【解析】因為兩條直線平行，所以3m＝6，所以m＝2. 所以兩條直線可以化為3x＋y－3＝0與3x＋y＋＝0 所以兩條平行線之間的距離為d＝＝. 【答案】D 4．若動點A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB中點M到原點距離

3、的最小值為(　　) A．3B．2C．3D．4 【解析】因為直線l1∥l2，所以AB的中點M的軌跡是x＋y－6＝0， 原點到直線l：x＋y－6＝0的距離為＝3， 故AB中點M到原點距離的最小值為3. 【答案】A 5．不論k為何實數(shù)，直線(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通過一個定點，這個定點的坐標是________． 【解析】直線(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根據(jù)k的任意性可得 解得∴不論k取什么實數(shù)時，直線(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都經過定點(2，3)． 【答案】(2，3)

4、【知識要點】 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?__k1＝k2__，特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果l1，l2的斜率存在，分別為k1，k2，則l1⊥l2?__k1k2＝－1__． ②如果l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2. 2．兩直線相交 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組的解一一對應． 相交?方程組有__唯一解__，交點的坐標就是方程組的解； 平行

5、?方程組__無解__； 重合?方程組有__無窮多組解__． 3．三種距離公式 (1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝____； (2)點P0(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝____； (3)兩平行線Ax＋By＋C1＝0，與Ax＋By＋C2＝0間的距離為__d＝__． 4．中心對稱 (1)設平面上的點M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若滿足：＝a，＝b，那么，我們稱P，P′兩點關于點M對稱，點M叫做對稱中心． (2)點與點對稱的坐標關系：設點P(x，y)關于M(x0，y0)的對稱點P′的坐標是(x′，y′)

6、，則 5．軸對稱 (1)設平面上有直線l：Ax＋By＋C＝0和兩點P(x，y)，P′(x′，y′)，若滿足下列兩個條件：①__PP′⊥直線l__；②__PP′的中點在直線l上__，則點P，P′關于直線l對稱． (2)對稱軸是特殊直線的對稱問題 對稱軸是特殊直線時可直接通過代換法得解： ①關于x軸對稱(以__－y__代__y__)； ②關于y軸對稱(以__－x__代__x__)； ③關于y＝x對稱(__x、y__互換)； ④關于x＋y＝0對稱(以__－x__代__y__，以__－y__代__x__)； ⑤關于x＝a對稱(以__2a－x__代__x__)； ⑥關于y＝b對稱(以

7、__2b－y__代__y__)． (3)對稱軸為一般直線的對稱問題 可根據(jù)對稱的意義，由垂直平分列方程，從而找到坐標之間的關系： 設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)對稱，則 6．直線系 (1)與Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為：Ax＋By＋λ＝0；與Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為：Bx－Ay＋λ＝0.(λ為待定系數(shù)，λ∈R) (2)過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線方程可設為：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R且不包含直線A2x＋B2y＋C2＝0)，其中A1B

8、2≠A2B1. 典例剖析　【p144】 考點1　兩條直線的平行與垂直問題 已知直線l1的方程為3x＋4y－12＝0. (1)若直線l2與l1平行，且過點(－1，3)，求直線l2的方程； (2)若直線l2與l1垂直，且l2與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線l2的方程． 【解析】(1)由直線l2與l1平行，可設l2的方程為3x＋4y＋m＝0. 將x＝－1，y＝3代入，得－3＋12＋m＝0，解得m＝－9， 直線l2的方程為3x＋4y－9＝0. (2)由直線l2與l1垂直，可設l2的方程為4x－3y＋n＝0， 令y＝0，得x＝－，令x＝0，得y＝， 故三角形面積S＝··＝4，

9、 化簡得n2＝96，即n＝±4， 直線l2的方程是4x－3y±4＝0. 【點評】若直線l1、l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2的必要條件是A1B2－A2B1＝0；而l1⊥l2的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.解題中為避免討論，常依據(jù)上面結論結合淘汰法求解． 考點2　兩條直線相交 (1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________． 【解析】(1)法一：由方程組 解得 (若2k＋1＝0，即k＝－，則兩直線平行) ∴交點坐標為. 又∵交點位于第一象限， ∴ 解得－＜k＜.

10、 法二：如圖，已知直線 y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點A(4，0)，B(0，2)． 而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示過定點P(－2，1)，斜率為k的動直線． ∵兩直線的交點在第一象限， ∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)， ∴動直線的斜率k需滿足kPA＜k＜kPB. ∵kPA＝－，kPB＝， ∴－＜k＜. 【答案】－＜k＜ (2)如圖，設一直線過點(－1，1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，求該直線的方程． 【解析】與l1、l2平行且距離相等的直線

11、方程為x＋2y－2＝0. 設所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(－1，1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－. ∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0. 考點3　距離公式的應用 (1)直線l過點P(－1，2)且點A(2，3)和點B(－4，5)到l的距離相等，則直線l的方程為________________． 【解析】法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|， ∴k＝－. ∴直線

12、l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 綜上得直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 法二：當AB∥l時，有k＝kAB＝－， 直線l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 當l過AB中點時，AB的中點為(－1，4)． ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1 (2)正方形的中心為點C(－1，0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程． 【解析】點C到直線x＋3y－5＝0的距離

13、 d＝＝. 設與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 則點C到直線x＋3y＋m＝0的距離 d＝＝， 解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0. 設與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0， 則點C到直線3x－y＋n＝0的距離 d＝＝， 解得n＝－3或n＝9， 所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 綜上得正方形其他三邊所在直線方程分別為x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0. 【點評】利用距離公式應注

14、意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． 已知定點P(－2，－1)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)． (1)求證：直線l過某個定點，并求出該點的坐標； (2)求證：不論λ取何值，點P到直線l的距離不大于. 【解析】(1)方程(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0， 可整理為(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0. 令得 故x＝1，y＝1能使原方程左右兩邊相等恒成立， 所以直線l過定點，且該點的坐標為(1，1)． (

15、2)由(1)知直線l過定點(1，1)，設該點為A， 設P與直線l的距離為d， 而線段AP為點P與直線l上一點的連接線段， 可知d≤|AP|，而|AP|＝＝， 所以d≤， 即不論λ取何值，點P到直線l的距離不大于. (本題也可以建立以λ為自變量的目標函數(shù)來求解) 考點4　對稱問題 (1)過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________． 【解析】設l1與l的交點為A(a，8－2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10

16、＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0. 【答案】x＋4y－4＝0 (2)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則點A關于直線l的對稱點A′的坐標為________． 【解析】設A′(x，y)，由已知得 解得故A′. 【答案】 (3)已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程． 【解析】在直線m上任取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上． 設對稱點M′(a，b)，則 解得 ∴M′. 設直線m與直線l的交點為N，則 由 得N(4，3

17、)． 又∵m′經過點N(4，3)． ∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. 【點評】解決對稱問題的方法 (1)中心對稱 ①點P(x，y)關于Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足 ②直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決． (2)軸對稱 ①點A(a，b)關于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有 ②直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決． 方法總結　　【p146】 1．判斷兩條直線平行或垂直時，不要忘記考慮兩條直線中有一條或兩條直線均無斜率的情形．在兩條直線斜率都存在的條件下，才有l(wèi)1∥l2?k1＝k2且b

18、1≠b2與l1⊥l2?k1k2＝－1. 2．在運用公式d＝求平行直線間的距離時，一定要注意兩直線的x，y項系數(shù)對應相等． 3．求對稱點的步驟： (1)設點——設對稱點為(x，y)； (2)列式——利用中點公式(中心對稱情況)或垂直、平分的條件(軸對稱情形)來列關于x，y的方程組； (3)求解——解所列方程組，求到的解就是所求對稱點的坐標． 4．求對稱曲線的步驟： (1)設點——設所求曲線上的點為P(x，y)； (2)求點——求出P點的對稱點為Q(x′，y′)，即用x，y來表示x′，y′； (3)代入——將Q點坐標代入已知曲線的方程，所得的x，y的關系式就是所求對稱曲線的方程．

19、 注意記住幾種特殊的對稱性結論：①對稱中心是特殊點(如原點)；②對稱軸是特殊直線(如x軸，y軸，y＝x＋b，y＝－x＋b等直線)，求對稱點和對稱曲線可采用代入法直接求解． 5．對有關中點、角平分線、光線反射以及在直線上求一點使點到兩個已知點的距離之和最小(或距離之差最大)等問題，通常將其轉化為對稱問題來處理． 走進高考　　【p146】 1．(2018·北京)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為(　　) A．1B．2C．3D．4 【解析】由題意可得d＝ ＝ ＝ ＝ (其中cosφ＝，sinφ＝)， ∵

20、－1≤sin(θ－φ)≤1， ∴≤d≤， ＝1＋， ∴當m＝0時，d取最大值3. 【答案】C 2．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2，6]B．[4，8] C．[，3]D．[2，3] 【解析】∵直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴A(－2，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝2，∵點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，∴圓心為(2，0)，設圓心到直線的距離為d1，則d1＝＝2，故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的范圍是[，3]，則S△ABP＝|AB|

21、d2∈[2，6]． 【答案】A 考點集訓　　【p257】 A組題 1．直線x＋ay－7＝0與直線(4a＋1)x－y＋6＝0互相垂直，則a的值為(　　) A.B．－C.D．－ 【解析】∵直線x＋ay－7＝0與直線(4a＋1)x－y＋6＝0互相垂直， ∴(4a＋1)－a＝0， ∴a＝－. 【答案】B 2．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0與直線x＋ky＝0交于一點，則k＝(　　) A．－2B．2C．－D. 【解析】兩方程聯(lián)立可得交點坐標為(－1，－2)，代入第三條直線方程得－1－2k＝0， 解得k＝－. 【答案】C 3．若動點P1(x1，y1)，P2(x2，

22、y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，則P1P2的中點P到原點的距離的最小值是(　　) A．5B.C．15D. 【解析】因為l1∥l2，所以P1P2的中點P軌跡為直線：x－y－＝0，x－y－10＝0， 因此P到原點的距離的最小值是＝5. 【答案】A 4．已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0，若直線l2和l1關于直線l對稱，則l2的方程是(　　) A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0 【解析】設A(x，y)，A1(x1，y1)分別是直線l2，l1上關于l對稱的點． 則求得?、? 又點A1(x

23、1，y1)在直線l1上，則2x1－y1－2＝0，?、? 將①代入②得2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即x－2y－1＝0，故選B. 【答案】B 5．已知A(2，0)，l：x＋y－3＝0，若一條光線過點A，經過l反射到y(tǒng)軸結束，則這條光線經過的最短路程是__________． 【解析】設點A關于直線l的對稱點為B(m，n)， 所以由題得解之得B(3，1)． 因為點B到y(tǒng)軸的距離就是這條光線經過的最短路程， 所以最短路程是3. 【答案】3 6．已知直線l在x軸上的截距為1，又有兩點A(－2，－1)，B(4，5)到l的距離相等，則l的方程為________． 【解析】當直線l的斜率

24、不存在時，直線方程為x＝1， ∵A(－2，－1)，B(4，5)兩點到直線l的距離|1＋2|＝|1－4|＝3， ∴直線方程x＝1，滿足條件； 當直線斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， ∵A(－2，－1)，B(4，5)兩點到直線l的距離相等， ∴＝，解得k＝1， ∴直線方程x－y－1＝0，滿足條件； 綜上可得，直線方程為x＝1或x－y－1＝0. 【答案】x＝1或x－y－1＝0 7．已知直線l經過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點． (1)若點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5，0)到l的距離的最大值． 【

25、解析】(1)易知l不可能為l2，可設經過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0. ∵點A(5，0)到l的距離為3， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝， ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由 解得交點P(2，1)，如圖，過P作任一直線l，設d為點A到l的距離，則d≤PA(當l⊥PA時等號成立)． ∴dmax＝PA＝＝. 8．在△ABC中，已知A(，3)，AB邊上的中線CM所在直線方程為5x＋9y－18＝0，∠B的角平分線BT所在直線的方程為y＝1. (1)求頂點B的坐標； (

26、2)求△ABC的面積． 【解析】(1)設B(x0，y0)， 則AB的中點M在直線CM上． 所以5×＋9×－18＝0 即：5x0＋9y0＋6＝0，① 又點B在直線BT上，即：y0＝1，② 由①②可得x0＝－，y0＝1，即B點的坐標為(－，1)． (2)因為點A(，3)關于直線BT的對稱點D的坐標為(，－1)，而點D在直線BC上． 由題知得，kBC＝kBD＝＝－， 所以直線BC的方程為x＋y＝0. 因為直線BC和直線CM交于C點， 由知C(3，－3)， 則|BC|＝＝8，A點到直線BC的距離d＝＝2， 所以S△ABC＝×8×2＝8. B組題 1．已知三條直線2x－3y

27、＋1＝0, 4x＋3y＋5＝0, mx－y－1＝0不能構成三角形，則實數(shù)m的取值集合為(　　) A.B. C.D. 【解析】因為三條直線2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構成三角形，所以直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分別平行時，m＝，或－.直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－，所以實數(shù)m的取值集合為. 【答案】D 2．如圖，已知直線l1∥l2，點A是

28、l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為________． 【解析】以A為坐標原點，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，設B(a，－2)，C(b，3)． ∵AC⊥AB， ∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. Rt△ABC的面積S＝· ＝·＝ ≥＝6. 【答案】6 3．在平面直角坐標系內，到點A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________． 【解析】如圖，設平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1，2)，B

29、(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距離之和為PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．∵A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)， ∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1)． 由得Q(2，4)． 【答案】(2，4) 4．已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是. (1)求a的值； (2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件： ①點P在第一象限

30、； ②點P到l1的距離是點P到l2的距離的； ③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶. 若能，求點P的坐標；若不能，說明理由． 【解析】(1)直線l2：2x－y－＝0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d＝＝， 所以＝，即＝， 又a＞0，解得a＝3. (2)假設存在點P，設點P(x0，y0)． 若P點滿足條件②， 則P點在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上， 且＝， 即c＝或c＝， 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0； 若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式， 有＝， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0； 由于點P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能． 聯(lián)立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得(舍去)； 聯(lián)立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得 所以存在點P同時滿足三個條件． 17